Помощь в учёбе, очень быстро...
Работаем вместе до победы

Структура и свойства нелинейных эволюционных уравнений, интегрируемых общей дифференциальной спектральной задачей

Диссертация: Структура и свойства нелинейных эволюционных уравнений, интегрируемых общей дифференциальной спектральной задачей
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Вычислены конкретные примеры нелинейных уравнений, интегрируемых двумерным обобщением общей дифференциальной скалярной спектральной задачи для случаев N = 2 и N=3. Среди этих уравнений, наряду с известным семейством двумерных уравнений Кадомцева-Петвиашвили, содержатся двумерные обобщения известных одномерных уравнений, в частности, двумерное обобщение семейства уравнений Гарри-Дим и новое… Читать ещё >

Содержание

  • ВВЩЕНИЕ
  • ГЛАВА I. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ, ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ОБЩЕЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ МАТРИЧНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕЙ, ИХ ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВАЯ И ГАМИЛЬТОНОВА СТРУКТУРЫ
    • 1. 1. Вывод фундаментального соотношения
    • 1. 2. Рекурсионный оператор
    • 1. 3. Построение общих Бэклунд-преобразований
    • 1. 4. Общая форма интегрируемых уравнений
    • 1. 5. Гамильтонова структура интегрируемых уравнений
    • 1. 6. Теоретико-групповая структура интегрируемых уравнений
    • 1. 7. Примеры: N =
  • ГЛАВА 2. ОБЩАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА С N ПОТЕНЦИАЛАМИ V0, .. ., М ^ И КОНСТАНТНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ: ГРУППА ОБЩИХ БЭКЛУНД-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И ОБЩАЯ СТРУКТУРА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
    • 2. 1. Рекурсионный оператор при различных способах разрешения связи
    • 2. 2. Группа общих Бэклунд-преобразований и нелинейные эволюционные уравнения
    • 2. 3. Калибровочная инвариантность и гамильтонова интерпретация интегрируемых уравнений
    • 2. 4. Примеры: /V =
    • 2. 5. Примеры: М-в
  • ГЛАВА 3. ОБЩАЯ СТРУКТУРА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ, ИНТЕГРИРУЕМЫХ ОБЩЕЙ МАТРИЧНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕЙ
    • 3. 1. Общая структура нелинейных уравнений
    • 3. 2. Калибровочная инвариантность
    • 3. 3. Примеры. IOI
  • ГЛАВА 4. ОБЩАЯ СТРУКТУРА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В I + 2 ИЗМЕРЕНИЯХ, ИНТЕГРИРУЕМЫХ ОБОБЩЕННОЙ ДВУМЕРНОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕЙ
    • 4. 1. Некоторые важные соотношения
    • 4. 2. Рекурсионные операторы
    • 4. 3. Общий вид интегрируемых нелинейных уравнений. ИЗ
    • 4. 4. Примеры: Л/=2, // =

Структура и свойства нелинейных эволюционных уравнений, интегрируемых общей дифференциальной спектральной задачей (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Одним из основных методов описания физических процессов являются дифференциальные уравнения. Хорошо известна фундаментальная роль линейных уравнений: волнового уравнения, уравнения теплопроводности и уравнения Лапласа, встречающихся почти во всех разделах физики. Однако многие физические явления существенно нелинейны и требуют для своего описания нелинейных уравнений.

Традиционные методы решения линейных уравнений: методы преобразования Фурье, Лапласа и т. д. в применении к нелинейным уравнениям оказываются в большинстве случаев малоэффективными.

В 1967 году в работе Гарднера, Грина, Крускала и Миуры (ГПШ) [8] при решении задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза (Кд2>) Ut +6UUX+ ЪСхх=0 был открыт новый метод математической физики — метод обратной задачи рассеяния (МОЗР). Важным моментом работы ПЖМ было сопоставление нелинейному уравнению КдФ линейной спектральной задачи, потенциал которой отождествлялся с решением уравнения КдБ.

Лаке в работе [э] переформулировал первоначальные результаты ШМ на операторном языке, введя L, Aпару, и нашел бесконечное семейство интегрируемых уравнений, ассоциированных с уравнением Кд£. Им был предложен первый метод поиска интегрируемых уравнений.

В работе Захарова и Шабата в 1971 году [ю] с помощью спектральной задачи Дирака было проинтегрировано нелинейное уравнение Пфедингера Ltlt + Uxx +2/UlzU =О. Стало ясно, что метод ITKM применим не только к Кд§-.

Дальнейшее развитие МОЗР получил в замечательной работе Захарова и Шабата [ilj 1974 года. В этой работе был предложен метод одевания, который одновременно с построением интегрируемых нелинейных уравнений дает рецепт вычисления точных решений этих уравнений.

Метод описания класса интегрируемых уравнений, ассоциированных с данной спектральной задачей, был предложен также в работе Абловитца, Каупа, Ныоэлла и Сегура (AKHG) [и] .

Результатом перечисленных выше работ, а также ряда других важных работ (см., например, [l-б]), явилось значительное продвижение в понимании области применимости и в развитии техники МОЗР.

Были предложены методы построения нелинейных интегрируемых уравнений: метод L, А — пары Лакса [9] - U, V — схема [12], [l3,l] - метод одевания [пДДб] - АКНС — метод [и] .

Было осознано, что с различными спектральными задачами связаны бесконечные семейства нелинейных эволюционных уравнений. Помимо интегрируемых уравнений в частных производных были открыты другие типы нелинейных уравнений, интегрируемых МОЗР, например, интегродифференциальные, дифференциально-разностные, раз-ностно-разностные уравнения (см., например, [l-7]).

В настоящее время существует несколько мощных методов получения точных решений интегрируемых нелинейных уравнений: метод обратной задачи рассеяния (метод уравнения Гельфанда-Левитана—Марченко) [l-б], метод одевания [II, 1,15] Захарова-Шабата, метод задачи Римана [l2,I3,l] .

Метод обратной задачи рассеяния можно интерпретировать как нелинейный аналог преобразования Фурье [l4,I, 3,4]. При этом преобразовании коэффициентные функции линейной спектральной задачи, отождествляющиеся с решением системы нелинейных уравнений, отображаются в совокупность так называемых данных рассеяния. Закон эволюции данных рассеяния задается легко интегрируемыми линейными дифференциальными уравнениями. Задача интегрирования нелинейных уравнений сводится к нахождению коэффициентных функций спектральной задачи по данным рассеяния — обратной задаче квантовой теории рассеяния (см., например, [l, 3−5]).

В более современных и мощных методах — методе одевания и методе задачи Риманаточные решения интегрируемых нелинейных уравнений находятся без использования обратной задачи рассеяния [11,1,12,13,15] .

За последнее время сфера применимости МОЗР значительно расширилась. Особенно далеко продвинуто применение МОЗР в одномерном случае (одна пространственная переменная X и время t) (см, например, fl-б]). Предпринимаются попытки обобщить МОЗР на многомерный случай (несколько пространственных переменныхXi}., Х^ и время t), некоторые результаты получены в двумерном случае [i, 15−17] .

Уравнения, интегрируемые МОЗР, встречаются в самых разнообразных областях физики. Так, например, уравнение ВДВ Ut+ 6UUX+ + иххх= О встречается при описании множества процессов, в которых приходится одновременно учитывать простейшие нелинейные и дисперсионные эффекты. Примерами могут служить: I) волны на мелкой воде, 2) ионно-звуковые волны в плазме, 3) магнито-гидродинамичес-кие волны, 4) волны в ангармонической решетке, 5) продольные волны в упругих стержнях, 6) волны сжатия в жидкостях, заполненных газовыми пузырьками и т. д. (см., например, fl-7]).

Нелинейное уравнение Шредингера lUt+ У>хх+2lUfU = О используется при описании: I) стационарной самофокусировки плоской волны, 2) распространения термоимпульса в твердом теле, 3) ленг-мюровских волн в плазме и т. д. (см., например, [l-7]).

Уравнение синус-Гордон <Мп И описывает: I) распространение дислокаций в кристаллах, 2) движение блоховских границ в магнитных кристаллах, 3) некоторые вопросы единой теории элементарных частиц, 4) распространение магнитного потока по джо-зефсоновской линии и т. д. (см., например, [l-7]).

В процессе развития МОЗР выяснилось, что для нелинейных уравнений, интегрируемых этим методом, характерен ряд замечательных свойств:

Решения солитонного типа — это решения нелинейных уравнений типа уединенных волн U (.

Бесконечные наборы интегралов движения (см., например, [l-7]) — это свойство интегрируемых нелинейных уравнений резко отличает их от неинтегрируемых нелинейных уравнений, которые имеют конечное число интегралов движения: импульс, энергию, заряд и т. д.

Полная интегрируемость (см., например, [l, 3]), означающая существование канонических переменных типа действие — угол. Уравнения движения в этих переменных линейные и легко интегрируются.

Уравнения, интегрируемые МОЗР, допускают также очень своеобразный тип преобразований — так называемые Бэклунд-преобразования (ЕЛ) (см., например, [2−5,7,18]). Это нелинейные, неоднородные по полю преобразования, переводящие решения некоторого дифференциального уравнения в решения того же самого уравнения. Формулы, задающие ЕЛ, можно использовать для нахождения явного вида мно-госолитонных решений.

Интегрируемые нелинейные уравнения обладают бесконечномерными группами симметрии нового типа (см., например, [19−20]). Существование таких групп симметрии, как правило, связано с наличием бесконечного числа интегралов движения для интегрируемых уравнений.

Одной из основных задач МОЗР является эффективное описание классов интегрируемых нелинейных уравнений. Существуют различные подходы к этой задаче. Простой и красивый метод описания интегрируемых нелинейных уравнений — АКНС — метод — был предложен в работе Абловитца, Каупа, Ньюэлла и Сегура [м] в 1974 году. Центральным моментом АКНС — метода является использование так называемого рекурсионного оператора L*. Понятие рекурсионного оператора было впервые введено для уравнения ВД> Ленартом (см.

21]). Абловитц, Кауп, Ньюэлл и Сегур показали [м], как вычислить рекурсионный оператор L* «исходя из спектральной задачи. Для спектральной задачи== \)($)> РассматРи~ вавшейся ранее в работе Захарова и Шабата [il] при $, АКНС, используя рекурсионный оператор Lf, показали, что уравнения, интегрируемые указанной спектральной задачей, могут быть представлены в следущем виде: (^J + 2A0(Lf)(^) — 0. Здесь A0(Lf) — произвольная мероморфная функция L+. Эти уравнения содержат в себе семейства нелинейных уравнений, ассоциированных с уравнениями КдФ, модифицированного уравнения КдФ (мКдФ), нелинейного уравнения Шредингера, уравнения синус-Гордон и т. д.

Гамильтонова структура полученных в работе АКНС [l4] нелинейных уравнений была детально исследована Флашкой и Ньюэллом.

22] .

Б последующих работах АКНС — метод был обобщен на матричную спектральную задачу [23−26,28,29,3lJ, квадратичный пучок [30,33] и другие спектральные задачи [27,29,32−34] .

Привлекательные черты АКНС — метода заключаются в том, что он позволяет: I) найти общую форму нелинейных уравнений, связанных с данной спектральной задачей, в простой и компактной форме, 2) вычислить бесконечномерную группу общих Бэклунд-преобразова-ний для этих уравнений, 3) исследовать гамильтонову структуру одновременно для всего класса уравнений, интегрируемых данной спектральной задачей. С помощью Бэклунд-преобразований, полученных АКНС-методом, могут быть построены многосолитонные решения интегрируемых нелинейных уравнений. Отметим, однако, что более эффективными и мощными методами построения точных решений интегрируемых нелинейных уравнений являются метод одевания [lI, I, I5] и метод задачи Римала [l2,I3,l] .

Настоящая диссертация посвящена развитию и обобщению МНСметода в применении к общей дифференциальной спектральной задаче дН + + здесь и ниже дд/дх) и её различным вариантам — скалярному (Vkfaifyскалярные фугк-ции) и матричному (Vfrfat-) — МхЛ1 — матричные функции). ЖНСметод применен в диссертации также к общей матричной спектральной задаче с ненулевой диагональной частью потенциала и к двумерному обобщению общей дифференциальной спектральной задачи. В основу диссертации положены работы [54−57, 59] .

Общая дифференциальная спектральная задача и нелинейные уравнения, интегрируемые этой задачей, впервые рассматривались в работе Захарова и Шабата [п]. В этой работе был предложен метод одевания, позволяющий как получать новые системы интегрируемых нелинейных уравнений, так и находить их точные решения.

Затем были выполнены важные работы [35−39J Гельфанда и Дикого, в которых методами резольвенты и исчисления символов дифференциальных операторов были получены широкие классы нелинейных уравнений, интегрируемых общей дифференциальной спектральной задачей, была исследована гамильтонова структура этих уравнений.

Начиная с работ Гельфанда и Дикого [35−39], общая дифференциальная спектральная задача и нелинейные уравнения, интегрируемые этой задачей, становятся объектом интенсивного изучения. В работах [40−49] исследовались алгебраическая и гамильтонова структуры интегрируемых нелинейных уравнений, некоторые спекиаль-ные Бэклунд-преобразования, факторизация оператора Ь^ + J .+ V0 и другие важные свойства нелинейных уравнений.

В настоящей диссертации, в рамках обобщенной АКНС-техники, развитой в работах [25−29,33,34], исследуются теоретико-групповая и гамильтонова структуры нелинейных эволюционных уравнений, интегрируемых общей дифференциальной спектральной задачей.

В главе I осуществляется построение бесконечномерной абеле-вой группы общих Бэклунд-преобразований (группы общих БП) [54] и получаются интегрируемые нелинейные уравнения [54], связанные с общей дифференциальной спектральной задачей: д" + v"b**+ + г где — матричные функции, такие, что Vfifat)—*- О.

Общая дифференциальная матричная спектральная задача рассматривается, таким образом, в данной главе в фиксированной калибровке С Vf/.ifal)^ 0) и с нулевыми граничными условиями для потенциалов (Vkfafyj^Too.

0).

На многообразии матриц рассеяния { S (X, t)} данной спектральной задачи действие группы общих ЕП задается простым линейным образом. На многообразии потенциалов { V (x, t), Vfaty-^j^o} где У (х, 1)= (.Vt/-2(Х>1))Т «действие группы общих.

БП задается формулой [54] :

ЛШ (Х*У-Мк=О,.

К—О где Вк (Af, t) — произвольные целые функции Л*. А+ (V, V'),.

Жк (К V') и Мк (V, V') — некоторые интегродифференциальные операторы. V') — рекурсионный оператор, играющий центральную роль во всех построениях. йнфинитезимальной формой общих БП, генерируемых сдвигом по времени, являются нелинейные эволюционные уравнения. Эти уравнения имеют вид [54]: |/ H-i ot k=d где Q^(Lfji) — произвольные функции, мероморфные по L *,.

Z. ^ — Л* jv=v< > 2м^ Таким образом, эта формула дает компактное и простое описание нелинейных уравнений, интегрируемых общей дифференциальной спектральной задачей.

Отметим, что группа общих БП при Н — 2, 1 и.

О впеРвые построена в работе Калодздеро [50] .

При А/ = 2 и произвольном М группа общих Ш была вычислена в работе Калодаеро и Дегаспериса [52], которые детально исследовали свойства построенной ими группы общих БП [51,52]. «Общие» HI, вычисленные в работе Адлера [53] при произвольном /V, М=1 и Ук (эс, t)/хj^ О (к = 0,1,., М-2) являются лишь частным случаем (Д, — О, Bfj-i — константы) общих БП, построенных в настоящей работе [54] .

Рекурсионный оператор (типа Lf = A*/w) для общей дифференциальной спектральной задачи был вычислен также с помощью совершенно другой техники в работах [41,43] .

Впервые гамильтонова структура уравнений, интегрируемых общей дифференциальной спектральной задачей, была исследована в работах [35−39]. В главе I с помощью МНС-техники показано, что интегрируемые нелинейные уравнения с целыми по.// функциями k = iM-i) являются гамильтоновыми относительно бесконечного семейства гамшгьтоновых структур [54]. Раяее в работах [35−39J и (41,66−67] обсуждались первая и вторая гашльто-новы структуры.

В главе I исследуется также теоретико-групповая структура интегрируемых нелинейных уравнений. Показано, что бесконечномерная группа общих ЕП содержит в качестве своих подгрупп помимо группы, порождающей сдвиги по времени, I) бесконечномерную Б-группу авто-Бэклунд-преобразований (дBk (Af, i)/dt = О), 2) бесконечномерную группу симметрий (Ьк (A*t) = eccp/k (Af), 3) бесконечномерную группу обобщенных ЕП (dBf<(Af, i)/dt ф О) .

В конце главы I вычисляются конкретные примеры [54J рекур-сионных операторов, общих ЕП и интегрируемых нелинейных уравнений для случаев У = 2,3, Ч общей дифференциальной матричной спектральной задачи. Некоторые из вычисленных в главе I конкретных Бэклунд-преобразований и интегрируемых систем нелинейных уравнений являются новыми.

В главе 2 рассматривается общая дифференциальная скалярная спектральная задача где Vk (x, t) — скалярные функции, такие, что ^ Vkoo.

Данная спектральная задача обобщает скалярный случай общей дифференциальной спектральной задачи, рассмотренной в главе I, по двум направлениям: I) предполагается наличие дополнительного потенциала Vы-* «что означает калибровочную свобода у спектральной задачи, 2) потенциалы (зс, t) удовлетворяют константным граничным условиям (У^ФО).

Традиционно [l4, 22−34] нелинейные уравнения, интегрируемые различными спектральными задачами, при работе в рамках МНС-техники получались в фиксированной калибровке и содержали лишь динамические переменные. На примере общей дифференциальной спектральной задачи в главе 2 развита АКНС-техника для работы со спектральными задачами без наложения калибровочных условий. Эффективно описаны неоднозначности в рекурсионных операторах и произвол в интегрируемых нелинейных уравнениях и в общих БП, обусловленные калибровочной свободой [55,5б] .

Так, например, действие построенной в главе 2 бесконечномерной абелевой группы общих БП на многообразии потенциалов.

Vfrt). VfrVj^rVJ, где V (x, t)? (VJx, i),-., K, M)T задается формулой [56] :

Z&M.vjJUm (v-q) — о, к=о где Bk (Л*, t) — произвольные целые функции стандартного рекур-сионного оператора A * (V, V') JfK Ю «V'h^ V'} - некоторые интегродифференциальные операторыC*(V, V') — (?(V, V'),., некоторые дифференциальные операторыs (зс, t).

В главе 2 исследуются также трансформационные свойства ре-курсионных операторов, общих ЕП и нелинейных уравнений относительно группы калибровочных преобразований, сохраняющих спектральную задачу. Показано, что построенные общие БП и интегрируемые нелинейные уравнения имеют калибровочно-инвариантные части. Дается явно калибровочно-инвариантная формулировка общих БП и интегрируемых нелинейных уравнений, рассматривается гашльтоно-ва интерпретация нелинейных уравнений [55,5б] .

В конце главы 2 приводятся конкретные примеры общих БП и интегрируемых нелинейных уравнений для случаев А/=2 и Л/=3 [55,5б]. Некоторые из вычисленных в главе 2 конкретных Бэклунд-преобразований и интегрируемых систем нелинейных уравнений являются новыми.

Ситуация с неоднозначностью задания рекурсионного оператора, с произволом в нелинейных уравнениях и с калибровочной инвариантностью типична при работе в рамках АКНС-метода со спектральными задачами без фиксации калибровки. Это также продемонстрировано [57] в главе 3 диссертации на примере общей матричной спектральной задачи где, А — постоянная диагональная М* N матрица, Pfe, t) -произвольная матрица /Vх А/ (Pfafy 0). В предположении Р3Ф 0 (Р§-)(*>£) — диагональная часть P (x, t)) в главе 3 диссертации получены нелинейные уравнения, интегрируемые общей матричной спектральной задачей, исследованы их трансформационные свойства относительно группы калибровочных преобразований, дана явно калибровочно-инвариантная формулировка этих уравнений. Среди вычисленных в главе 3 конкретных интегрируемых систем нелинейных уравнений содержится (при А/ = 2) новая интегрируемая смешанная система уравнений Кортевега-де Фриза и Бюргерса.

Актуальной задачей является получение интегрируемых нелинейных уравнений в многомерном случае [15−17]. В главе 4 диссертации рассмотрено следующее двумерное обобщение общей дифференциальной спектральной задачи: * + ¦¦¦+ Vofafii) + f О, где V^ t) — скалярные функции, V^ (х, у>, t) — 1 у г ® t9] • с помощью билокального подхода, развитого в работе [58], в рамках АКНС-техники в главе 4 получены обширные классы нелинейных уравнений [59], интегрируемых указанной двумерной спектральной задачей. Среди этих уравнений (при fj) содержится двумерное обобщение семейства одномерных уравнений Гарри-Дим (см., например, [4]), а при /V =3 получено новое уравнение (аналог уравнения Гарри-Дим), не содержащееся в семействе уравнений Гарри-Дим.

В заключении к диссертации сформулированы основные полученные результаты.

Результаты,изложенные в диссертации, докладывались на научных семинарах теоретического отдела Института ядерной физики СО АН СССР, на научном семинаре теоретического отдела ВНИЦПВ, на научных семинарах кафедры теоретической физики НЭТИ и опубликованы в работах [54−57, 59] .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. В рамках АКНС-техники построена бесконечномерная группа общих Бэклунд-преобразований (группа общих ЕЛ), соответствующих общей дифференциальной матричной спектральной задаче.

2. Дано компактное и простое описание классов нелинейных уравнений, интегрируемых общей дифференциальной матричной спектральной задачей.

3. Исследованы теоретико-групповая и гамильтонова структуры полученных нелинейных уравнений, интегрируемых общей дифференциальной матричной спектральной задачей. Рассмотрены следующие подгруппы бесконечномерной группы общих Ш: бесконечномерная группа авто-БП, бесконечномерная группа симметрий и бесконечномерная группа обобщенных ЕЛ интегрируемых нелинейных уравнений.

4. Развита АКНС-техника для работы со спектральными задачами (на примере общей дифференциальной и общей матричной спектральных задач) без наложения калибровочных условий. Эффективно описаны неоднозначности в рекурсионных операторах и произвол в интегрируемых нелинейных уравнениях и в общих ЕЛ, обусловленные калибровочной свободой.

5. Построены бесконечномерная группа общих ЕЛ и интегрируемые нелинейные уравнения, связанные с общей дифференциальной скалярной спектральной задачей А/ -го порядка с N потенциалами и константными граничными условиями. Дана явно калибровочно—инвариантная формулировка общих БП и интегрируемых нелинейных уравнений.

6. Получены нелинейные уравнения, интегрируемые общей матричной спектральной задачей с ненулевой диагональной частью потенциала. Дана явно калибровочно-инвариантная формулировка интегрируемых нелинейных уравнений".

7. С помощью АКНС-техники описаны классы нелинейных уравнений, интегрируемых двумерным обобщением общей дифференциальной спектральной задачи.

8. В диссертации приводятся конкретные примеры рекурсион-ных операторов, интегрируемых систем нелинейных уравнений, общих ЕП, соответствующих общей дифференциальной спектральной задаче для случаев N = 2,5,4. Некоторые из вычисленных общих ЕП и интегрируемых систем нелинейных уравнений являются новыми.

9. Приводятся конкретные примеры систем нелинейных уравнений, интегрируемых общей матричной спектральной задачей с ненулевой диагональной частью потенциала, для случая. Среди полученных нелинейных уравнений, наряду с известными уравнениями, содержится новая смешанная система уравнений Кортевега-де Фриза и Бюргерса.

10. Вычислены конкретные примеры нелинейных уравнений, интегрируемых двумерным обобщением общей дифференциальной скалярной спектральной задачи для случаев N = 2 и N=3. Среди этих уравнений, наряду с известным семейством двумерных уравнений Кадомцева-Петвиашвили, содержатся двумерные обобщения известных одномерных уравнений, в частности, двумерное обобщение семейства уравнений Гарри-Дим и новое уравнение (аналог уравнения Гарри-Дим), не содержащееся в семействе уравнений Гарри-Дим. Приводятся примеры чисто двумерных уравнений, имеющих своим одномерным пределом тривиальные линейные уравнения.

Автор выражает глубокую благодарность и признательность к.ф.-м.н., ст. научн. сотруднику ШФ СО АН СССР Б.Г.Конопельчен-ко, во многом определившему направление данной работы, за неоце-. нимую помощь, постоянное внимание и поддержку, которые были оказаны во время работы над диссертацией.

Автор выражает благодарность в адрес руководства Физико-технического факультета и кафедры теоретической физики Новосибирского электротехнического института за предоставленную возможность завершить работу.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Теория солитонов: Метод обратной задачи /В.Е.Захаров, С. В. Манаков, С. П. Новиков, Л. П. Питаевский. — М.: Наука, 1980. -320 е., ил.
  2. Р., Кодри Ф. (редакторы). Солитоны /Пер. с англ. Б. А. Дубровина и др.- Под ред. С. П. Новикова. М.: Мир, 1983.- 408 с., ил.
  3. Ablowitz M.J., Segur Н. Solitons and the Inverse Scattering Transform. Philadelphia: SIAM Studies in Applied Mathematics, 1981. — 456 p., ill.
  4. Calogero P., Degasperis A. Spectral Transform and Solitons: Tools to solve and investigate nonlinear evolution equations. Amsterdam: Horth-Holland Publishing Company, 1982.- 516 p., ill.
  5. Лэм Дж., Л. Введение в теорию солитонов /Пер. с англ. Н.Г. Пащенко- Под ред. В. Е. Захарова. М.: Мир, 1983. — 294 е., ил.
  6. К., Скотт Э. (редакторы). Солитоны в действии /Пер.с англ. под ред. А.В.Галонова-Грехова и Л. А. Островского, -М.: Мир, 1981. 312 е., ил.
  7. Method for solving the Korteweg-de Vries equation /G.S.Gardner, G.M.Green, M. Kruskal and R.M.Miura. Phys. Rev. Lett., 1967, vol.19, p. Ю95-Ю97.
  8. Lax P.D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves. Comm. Pure Appl. Math., 1968, vol. 21, p. 467−490.
  9. B.E., Шабат А. Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн. ЖЭТФ, 1971, т. 61, & I, с.118−134.
  10. В.Е., Шабат А. Б. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. I. Функц. анализ и его прилож., 1974, т.8, в. З, с.43−53.
  11. В.Е., Шабат А. Б. Интегрирование нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. П. Функц. анализ и его прилож., 1979, т.13, в. З, с.13−22.
  12. В.Е., Михайлов А. В. Релятивистски инвариантные двумерные модели теории поля, интегрируемые методом обратной задачи рассеяния. ЖЭТФ, 1978, т.74, с.1953−1973.
  13. The inverse scattering transform Fourier analysis for nonlinear problems /M.S.Ablowitz, D.S.Kaup, A.C.Newell and H. Se-gur. — Stud.Appl.Math., 1974, vol.53, p. 249−315.
  14. В.Е. Метод обратной задачи рассеяния. В кн.: Р. Буллаф, Ф. Кодри (редакторы). Солитоны/Пер. с анг. Б. А. Дубровина и др., Под ред. С. П. Новикова. — М.: Мир, 1983.- с.270−309.
  15. Zakharov 7.Е. Integrable systems in multidimensional spaces.- In: Mathematical problems in theoretical physics, Lect. Notes in Phys.-Berlin:Springer, 1982, vol.153, p. 190−216.
  16. В.Е., Манаков C.B. Многомерные нелинейные интегрируемые системы и методы построения их решений. В кн.: Зап.научн.семин. ЛОМИ. — Ленинград: Наука, 1984, т. 133, с.77−91.
  17. Backlund transformations. Lecture Notes in Mathematics /ed. R.M.Miura. Berlin: Springer, 1976, vol. 515, 234 p., ill.
  18. Anderson R.L., Ibragimov N.H. Lie-Backlund Transformations in Applications. Philadelphia: SIAM Studies in Applied Mathematics, 1979. — 220 p.
  19. H.X. Группы преобразований в математической физике. -М.: Наука, I983.-280C.
  20. Korteweg-de Vries and generalizations. VT: Methods for exact solution /G.S.Gardner, G.M.Green, M. Kruskal and R.M.Miura. Comm. Pure Appl. Math., 1974, vol. 27, p.97−133.
  21. Flaschka H., Newell A. Integrable systems of nonlinear evolution equations. In: Dynamical Systems, Theory and Applications, Lecture Notes in Physics /Ed. by J. Moser — Berlin: Springer, 1975, vol. 36, p. 355−440.
  22. Newell A.G. General structure of integrable evolution equations. Proc. Roy. Soc. (London), 1979, vol. A365, p.283−311.
  23. П. П. Порождающие операторы интегрируемых нелинейных уравнений. -В кн.: Зап. научн. семин. ЛОМИ. -Ленинград: Наука, 1980, т.96, с.105−112.
  24. Konopelchenko B.G. The linear spectral problem of arbitrary order: the general form of the integrable equations and their Backlund transformations. Phys. Lett., 1980, vol. 75A, No. 6, p. 447−450.
  25. Konopelchenko B.G. On the structure of integrable evolution equations. Phys. Lett., 1980, vol. 79A, No. 1, p.39−43.
  26. Konopelchenko B.G. Transformation properties of the integrable evolution equations. Phys. Lett., 1981, vol. 100B, No. 3, p. 254−260.
  27. Konopelchenko B.G. On the structure of equations integrable by the arbitrary order linear spectral problem. Journal of Phys. A: Math. Gen., 1981, vol. 14, H°6, p. 1237−1259.
  28. Konopelchenko B.G. Honlinear Transformations and Integrable Evolution Equations. Fortschr. Phys., 1983, Bd. 31,1. Heft 5, p. 253−296.
  29. B.C., Иванов М. И., Кулиш П. П. Квадратичный пучок и нелинейные уравнения. ТШ, 1980, т.44, В 3, с.342−357.
  30. Gerdjikov V.S., Kulish P.P. The generating operator for the IT x N linear system. Physica, 1981, vol. 3D, p. 549−564.
  31. И.Т., Гердаиков B.C., Иванов М. М. Гамильтоновы структуры нелинейных эволюционных уравнений, связанных с полиномиальным пучком. В кн.: Зап.научн.семин. ЛОМИ. — Ленинград: Наука, 1982, т.120, с.55−68.
  32. Konopelchenko B.G., Formusatic I.В. On the structure of nonlinear evolution equations integrable by the Z2-graded quadratic bundle. Journal of Phys. A: Math. Gen., 1982, vol.15, H°7, p.2017−2040.
  33. .Г. Интегрируемые эволюционные уравнения: семейство гамильтоновых структур и редукции. Функ. анализ и его прилож., 1982, т.16, в. З, с, 63−65.
  34. И.М., Дикий Л. А. Асимптотика резольвенты Штурм-лиувиллевских уравнений и алгебра уравнений Кортевега-де Фриза. УМН, 1975, т. ЗО, & 5, с.67−100.
  35. И.М., Дикий Л. А. Структура алгебры Ли в формальном вариационном исчислении. Функц. анализ и его прилож., 1976, т.10, в.1, с.18−25.
  36. И.М., Дикий Л. А. Дробные степени операторов и гамшгьтоновы системы. Функц. анализ и его прилож., 1976, т.10, в.4, с.13−29.
  37. И.М., Дикий Л. А. Резольвента и гамильтоновы системы. Функц. анализ и его прилож., 1977, т. П, в.2, с. П-27.
  38. И.М., Дикий Л. А. Исчисление струй и нелинейные гамильтоновы системы. Функц. анализ и его прилож., 1978, т.12, в.2, с.8−23.
  39. Ю.И. Алгебраические аспекты нелинейных дифференциальных уравнений. В кн.: Итоги науки и техники, серия «Современные проблемы математики», 1978, т. П, с.5−152.
  40. Adler М. On a trace functional for formal pseudodifferential operators and symplectic structure of the Korteweg-de Vries type equations. Invent. Math., 1979, vol. 50, p.219−248.
  41. Д.P., Манин Ю. И. Гамильтонов оператор Гельфанда--Дикого и коприсоединенное представление группы Вольтерра. Функц. анализ и его прилож., 1979, т. 13, $ 4, с.40−46.
  42. Symes V/. Relations among generalized Korteweg-de Vries systems. Journal of Math. Phys., 1979, vol. 20, p. 721−725.
  43. B.B., Шабат А. Б. (L, A) пары и замена типа Ри-катти. — Функц. анализ и его прилож., 1980, т.14, в.2,с.79−80.
  44. Fordy А.P., Gibbons J. Factorization of Operators. I. Miura transformations. Journal of Math. Phys., 1980, vol. 21, p. 2508−2510.
  45. Fordy A.P., Gibbons J. Factorization of Operators. II. -Journal of Math. Phys., 1981, vol. 22, p. 1170−1175.
  46. Kupershmidt В.A., V/ilson G. Modifying Lax equations and the second hamiltonian structure. Invent. Math., 1981, vol. 62, p. 403−436.
  47. В.Г., Соколов В. В. Уравнения типа Кортевега-де-Фриза и простые алгебры Ли. ДАН СССР, 1931, т.258, $ I, C. II-I6.
  48. Mikhailov A.V. The Reduction problem and the inverse scattering method. Physica, 1981, vol. 3D, p. 73−117.
  49. Calogero F. A Method to generate solvable nonlinear evolution equations. Lett. Nuovo Gim., 1975″ vol. 14, p.443−448.
  50. Calogero F., Degasperis A. Nonlinear evolution equations, solvable by the inverse scattering transform. I. Nuovo Cim., 1976, vol. 32B, p. 201−242.
  51. Calogero P., Degasperis A. Nonlinear evolution equations, solvable by the inverse scattering transform. II Nuovo Cim., 1977, vol. 39B, p. 1−54.
  52. Dubrovsky V.G., Konopelchenko B.G. Backlund-Calogerо group for the general differential spectral problem of an arbitrary order. Novosibirsk, 1983* - 29 p. — (Preprint/Institute of Nuclear Physics- IYaP 83−57).
  53. Konopelchenko B.G., Dubrovsky V.G. On the general structure of nonlinear equations integrable by the General Linear Spectral Problem.-Phys.Lett., 1983, vol. 95A, № 9, p. 457−462.
  54. Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967, 575 с.
  55. М. Обобщенная матричная форма метода обратной задачи рассеяния. В кн.: Р. Будпаф, Ф. Кодри (редакторы). Соли-тоны /Пер. с англ. Б. А. Дубровина и др — Под ред. С. П. Новикова. — М.: Мир, 1983, с.310−322.
  56. Каир D.J. On the inverse scattering problem for cubic eigenvalue problems of the class 1jrxxx GQf. r + SR^r ^i/r- Studies in Appl. Math., 1980, vol. 62, p. 189−216.
  57. Caudrey P.J. The inverse problem for the third order equation UXXXS- Phys. Lett., 1980, vol. 79A, p. 264−268.
  58. И.М., Дикий Л. А. Семейство гамильтоновых структур, связанных с интегрируемыми нелинейными дифференциальными уравнениями, 1978, 22 с. (Препринт/Институт прикладной математики Ш. СССР, ИПМ № 136).
  59. И.М., Дорфман И. Я. Скобка Схоутена и гамильтоновы операторы. Функц. анализ и его прилож., 1980, т.14, в. З, с. 71−74.
  60. И.М., Дорфман И. Я. Гамильтоновы операторы и бесконечномерные алгебры Ли. Функц. анализ и его прилож., 1981, т.15, в. З, с.23−40.
  61. А. Г., Семенов-Тян-Шанский М.А. Семейство гамшгьтоновых структур, иерархия гамильтонианов и редукция для матричных дифференциальных операторов первого порядка. Функц. анализ и его прилож., 1980, т.14, в.2, с.77−78.
  62. Magri P. Simple Model in integrable Hamiltonian equation. -Journal of Math. Phys., 1978, vol. 19, p. 1156−1162.
  63. Magri P. A geometrical approach to the nonlinear solvable equations. In: Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems, Lect. Notes in Phys. — Berlin: Springer, 1980, vol.120, p. 233−263.
  64. П.П., Рейман А. Г. Иерархия симплектических форм для уравнений Шредингера и Дирака на прямой. В кн.: Зап.научн. семин. ЛОМИ. — Ленинград: Наука, 1978, т.77, с.134−147.
  65. В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974, 432 с, ил.
  66. А.В., Шабат А. Б. Уравнения Клейна-Гордона с нетривиальной группой. ДАН СССР, 1979, т.247, В 5, C. II03-II07.
  67. Н.Х., Шабат А. Б. Уравнение Кортевега-де Фриза с групповой точки зрения. ДАН СССР, 1979, т.244, В I, с.57−61.
  68. Н.Х., Шабат А. Б. Эволюционные уравнения с нетривиальной группой Ли-Бэклунда. Функц. анализ и его прилож., 1980, т.14, в.1, с.25−36.
  69. Wahlquist H.D., Estabrook Р.В. Backlund transformation for solutions of the KdV equation, Phys. Rev. Lett., 1973, vol. 23, p. 1386−1389.
  70. В.Е. К проблеме стохастизации одномерных цепочек нелинейных осцилляторов. ЖЭТФ, 1973, т.65, в.1, с.219−225.
  71. Sawada К., Kotera Т. Method for finding U-soliton solutions of KdV equation and KdV like equation. Progr. theoret. phys., 1974, vol. 51, p. 1355−1367.
  72. Dodd R.R., Gibbon J.D. Prolongation structure of a higher-order Korteweg-de Vries equation. Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 1976, vol. 358, p. 287−297.
  73. Bruschi M., Ragnisco 0. Nonlinear evolution equations as-soiated to the third order scalar differential operator. -Roma, 1981. 12 p. (Preprint/Universita Roma, № 254).
  74. Hirota R., Satsuma J. Soliton Solutions of a coupled Korte-weg-de Vries equation. Phys. Lett., 1981, vol. 85A, p. 407−408.
  75. Dodd R., Fordy A. On the integrability of a system of coupled KdV equations. Phys. Lett., 1982, vol. 89A, p. 168−170.
  76. Konopelchenko B.G. Hamiltonian structure of the integrable equations under matrix -iy-reduction. Lett. Math. Phys., 1982, vol. 6, p. 309−314.
  77. Konopelchenko B.G. On the gauge-invariant description of the evolution equations integrable by Gelfand-Diki-. spectral problems. Phys.Lett., 1982, vol. 92A, p. 323−327.
  78. Miura R.M. Korteweg-de Vries equation and generalizations. I.: A remarkable explicit nonlinear transformation. Journal of Math. Phys., 1968, vol. 9, p. 1202−1204.
  79. Olver P.J. Evolution equations possessing infinitely many symmetries. Journal of Math. Phys., 1977, vol. 18, p. 1212−1215.
  80. Konopelchenko B.G. On the General Structure of Nonlinear Evolution Equations Integrable by the Two-dimensional Matrix Spectral Problem. Comm. Math. Phys., 1982, vol. 87, p.105−125.
  81. Konopelchenko B.G. On the Adjoint Representation for spectral problems and its relation with the AKNS-method, Gauge transformations and Riemann Problem. Phys. Lett., 1983, vol. 9ЗА, p. 377−382.
  82. Konopelchenko B.G., Dubrovsky V.G. Some new integrable nonlinear evolution equations in 2+1 dimensions.- Phys, Lett., 1984, vol. 102A, p.15−17.
Заполнить форму текущей работой

Пора сдавать?