Первичный радикал решеточно упорядоченных алгебр

Понятие радикала является одним из основных инструментов построения структурной теории многих алгебраических систем. Теория радикалов наиболее развита для колец, алгебр, модулей и групп. Развитие структурной теории привело к появлению большого числа различных радикалов. В частности, в теории ассоциативных колец возникли следующие классические радикалы: локально нильпотентный радикал Левицкого, верхний нильрадикал Кёте, квазирегулярный радикал Джекобсона, нижний нильрадикал Бэра и первичный радикал. При построении структурной теории алгебр Ли в 18 881 890 годах появился разрешимый радикал В. Киллинга, а в 1971 году — слабо разрешимый радикал В. А. Парфенова [24].

В 1943 году Бэр [33] построил для колец нижний нильрадикал трансфинитным «бэровским» процессом. Первичный радикал кольца ввел в рассмотрение в 1949 году Маккой [36]. Левицкий [35] в 1951 году доказал совпадение радикала Бэра и радикала Маккоя. Первичный радикал исследовался для различных алгебраических систем: К. К. Щукиным для групп [32], А. В. Михалёвым и М. А. Шаталовой для Q-rpynn [21], С. А. Пихтильковым для алгебр Ли [25]. В перечисленных работах было получено поэлементное описание первичного радикала соответствующей алгебраической системы. Кроме этого, С. А. Пихтильковым в работе [25] было введено понятие нижнего слабо разрешимого радикала алгебры Ли и доказано, что этот радикал совпадает с первичным радикалом алгебры Ли [25, теорема 2.3.3].

Плодотворной оказалась идея распространить ионятие радикала на частично упорядоченные алгебраические системы, что видно на примере рассмотрения первичного радикала в решеточно упорядоченных кольцах (/кольцах), восходящего к статье Биркгофа и Пирса [34] 1956 года (см. также [4]). Поэлементное описание первичного радикала для /-колец, /-групп и /-модулей получено А. В. Михалёвым и М. А. Шаталовой [20, 19, 21], а для направленных групп — А. В. Михалёвым и Е. Е. Ширшовой [22, 23]. Для решеточно упорядоченных колец А. В. Михалёвым и М. А. Шаталовой [20] было показано, что стандартная процедура построения нижнего радикала приводит к /-первичному радикалу /-кольца.

До последнего времени понятие /-первичного радикала не исследовалось для решеточно упорядоченных алгебр Ли (/-алгебр Ли). Учитывая этот факт, профессором кафедры Высшей алгебры МГУ А. В. Михалёвым была поставлена задача: изучить свойства первичного радикала решеточно упорядоченных алгебр Ли, используя определение частично упорядоченной алгебры Ли над частично упорядоченным полем, введенное В. М. Копытовым в статье [12] 1972 года.

Алгебра Ли L над частично упорядоченным полем F называется частично упорядоченной, если на L задано отношение порядка ^ такое, что:

1. (L- ± — частично упорядоченная группа;

2. из х ^ у следует, что х ^ А у для всех х, у? L и A € F, А ^ 0;

3. из х ^ у следует, что х + [х, z] ^ у + [у, z] для всех x, y, z G L.

В 70−80-х годах прошлого века на базе понятия частично упорядоченной алгебры Ли была построена содержательная теория линейно упорядочиваемых алгебр Ли над линейно упорядоченным полем, ряд основных результатов которой отражен в работах [11, 12, 10, 16, 17, 18,1]. Так, в работах В.М. Копы-това [11, 12, 10] рассмотрено строение решетки выпуклых подалгебр линейно упорядоченной алгебры Ли и доказано, что все /-идеалы Z-алгебры Ли над линейно упорядоченным полем образуют полную подрсшетку в решетке всех идеалов данной алгебры. Помимо этого. В. М. Копытовым рассматривались вопросы упорядочиваемости алгебр Ли и в статье [12] им было доказано, что алгебра Ли над линейно упорядоченным полем линейно упорядочиваема тогда и только тогда, когда она обладает центральной системой, при этом конечномерная линейно упорядоченная алгебра Ли нильпотентна. Также при изучении взаимосвязи решеточно упорядоченных алгебр Ли с линейными порядками В. М. Копытовым в статье [10] было показано, что всякая /-алгебра Ли над линейно упорядоченным полем /-изоморфна /-подалгебре декартовой суммы линейно упорядоченных алгебр Ли.

В [12] В. М. Копытов указывает на то, что введенное им определение порядка на алгебре Ли можно рассматривать не только для этих алгебр, но и для произвольных алгебр над упорядоченными полями. Кроме того, нами было замечено, что существует связь между линейным порядком Копыто-ва ассоциативной алгебры, А и порядком Копытова на соответствующей ей алгебре Ли А^ (предложение 2.2.1), которая позволяет существенно расширить число примеров упорядоченных по Копытову алгебр Ли. Данные наблюдения послужили стимулом для изучения свойств порядка Копытова на произвольных линейных алгебрах над полями и привели к необходимости решения следующих задач:

1. Распространить понятие порядка Копытова с класса алгебр Ли на произвольные линейные алгебры над частично упорядоченными полями. В связи с этим изучить свойства модулей элементов в векторных решетках над полями с различным упорядочением.

2. Исследовать вопрос о линейной упорядочиваемости произвольной линейной алгебры над линейно упорядоченным полем, в частности, описать конечномерные решеточно упорядочиваемые по Копытову ассоциативные алгебры. Вместе с этим изучить свойства /-идеалов /-алгебр.

3. Получить поэлементное описание /-первичного радикала /-алгебры над частично упорядоченными полями, а также исследовать взаимосвязь /первичного радикала /-алгебры с ее нижним слабо разрешимым /-радикалом.

Данная работа посвящена решению сформулированных выше задач теории частично упорядоченных алгебр над частично упорядоченными полями.

Основными результатами диссертации являются следующие:

1. Найдены необходимые и достаточные условия линейной упорядочиваемости произвольной линейной алгебры над линейно упорядоченным полем (теорема 2.4.4). Описаны конечномерные линейно и решеточно упорядочиваемые ассоциативные алгебры и алгебры Ли (следствие 2.4.1 и следствие 2.6.1). Для произвольных /-алгебр над частично упорядоченными полями доказан аналог теоремы Леви (теорема 2.3.2). Помимо этого показано, что любая I-алгебра над направленным полем вкладывается в декартову сумму линейно упорядоченных алгебр (теорема 2.6.1).

2. В произвольных /-алгебрах над частично упорядоченными полями описаны свойства спрямляющих /-идеалов (раздел 2.5), наименьших /-идеалов, содержащих данный элемент /-алгебры (раздел 2.2), и изучены свойства /первичных /-идеалов (раздел 3.2), а также доказано, что все /-идеалы любой /-алгебры образуют полную подрешетку в решетке ее идеалов (теорема 2.2.3).

3. Получено поэлементное описание/-первичного радикала решеточно упорядоченных алгебр над частично упорядоченными и направленными полями (теоремы 3.3.3 и 3.3.4). Доказано, что /-первичный радикал /-алгебры совпадает с ее нижним слабо разрешимым /-радикалом (теорема 3.7.1).

Для получения данных результатов были развиты методы частично упорядоченных линейных алгебр, /-идеалов, /-первичного радикала.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны специалистам и аспирантам, занимающимся теорией/-алгебр над частично упорядоченными полями, и использоваться при дальнейшем исследовании различных вопросов теорий частично упорядоченных векторных пространств, колец и алгебр. Также полученные результаты могут быть использованы при чтении спецкурсов в университетах и институтах для студентов математических специальностей.

Результаты диссертационной работы докладывались на научно-исследовательском семинаре «Кольца и модули» кафедры Высшей алгебры МГУ под руководством проф. А. В. Михалёва, проф. В. Н. Латышева и проф. В. А. Артамонова, на научно-исследовательском семинаре кафедры алгебры МПГУ, на научно-практической конференции преподавателей, аспирантов и сотрудников математического факультета МПГУ (март 2007 г., март 2008 г. и март 2009 г.), Международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 80-летию В. Е. Воскресенского (Самара, 2007), Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша (Москва, 2008), Международной конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2009), Международном семинаре «Универсальная алгебра, теория чисел и их приложения» (Волгоград, 2009).

Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах автора [37]-[44].

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, и списка литературы. Полный объем диссертации — 87 страниц. Библиография содержит 44 наименования.

1. Бахтурин Ю. А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 448 с.

2. Биркгоф Г. Теория решеток. М.: Наука, 1984.

3. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Главы I-III. М.: Мир, 1976.

4. Голод Е. С. О ниль-алгебрах и финитно-аппроксимируемых р-группах. // Изв. АН СССР, сер. матем., 1964, 28, №. С. 273−276.

5. Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.: Мир, 1964.

6. Джекобсон Н. Строение колец. М.: Изд-во иностранной литературы, 1961.

7. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1972.

8. Копытов В. М. Решеточно упорядоченные алгебры Ли. // Сиб. матем. журнал. 1977. — Т. XVIII. — № 3. — С. 595−607.1. Копытов В. М. Решеточно упорядоченные группы. М.: Наука, 1984. -320 с.

9. Копытов В. М. Упорядочение алгебр Ли. // Алгебра и логика. 1972. -Т. 11. т. — С. 295−325.

10. Курош А. Г. Радикалы колец и алгебр. // Матем. сб. 1953. — Т. 33 — № 1. — С. 13−26.

11. Курош А. Г. Теория групп. М.: Наука, 1967.

12. Ламбек И. Кольца и модули. М.: Мир, 1971.

13. Медведев Н. Я. О решетках многообразий решеточно упорядоченных групп и алгебр Ли. // Алгебра и логика. 1977. — Т. 16. — № 1. — С. 40−45.

14. Медведев Н. Я. О продолжении порядков алгебр Ли. // Сиб. матем. журнал. 1977. — Т. XVIII. — т. — С. 469−471.

15. Медведев Н. Я. К теории решеточно упорядоченных колец. // Математические заметки. 1987. — Т. 41. — № 4. — С. 484−489.

16. Михалёв А. В., Шаталова М. А. Первичный радикал решеточно упорядоченных групп. // Вестник Моск. ун-та. 1990. — № 2. — С. 84−86.

17. Михалёв А. В., Шаталова М. А. Первичный радикал решеточно упорядоченных колец. // Сб. работ по алгебре. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. — С. 178−184.

18. Михалёв А. В., Шаталова М. А. Первичный радикал Г2-групп и ГЫ-групп. // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. — Т. 4. — № 4. -С. 1405−1413.

19. Михалёв А. В., Ширшова Е. Е. Первичный радикал р/-групп. // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. — Т. 12. — № 2. — С. 193−199.

20. Михалёв А. В., Ширшова Е. Е. Первичные радикалы АО-групп. // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. — Т. 12. — № 8. — С. 197−206.

21. Парфенов В. А. О слабо разрешимом радикале алгебр Ли. // Сиб. матем. журнал. 1971. — Т. 12. — № 1. — С. 171−176.

22. Пихтильков С. А. Структурная теория специальных алгебр Ли. Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2005. — 130 с.

23. Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. М.: Мир, 1965.

24. Хамфрис Дж.

Введение

в теорию алгебр Ли и их представлений. / Перев. с англ. Б. Р. Френкина. М.: МЦНМО, 2003.

25. Шаталова М. А. К теории радикалов в структурно упорядоченных кольцах // Математические заметки. 1968. — Т. 4. — № 6. — С. 639−648.

26. Шаталова М. А. 1аи Zj-кольца // Сиб. матем. журнал. 1966. — Т. VII. — № 6. — С. 1383−1399.

27. Ширшов А. И. О базах свободной алгебры Ли. // Алгебра и логика. -1962. Т. 1. — т. — С. 14−19.

28. Ширшова Е. Е. Ассоциированные подгруппы псевдорешеточно упорядоченных групп // Алгебраические системы. Межвузовский сб. научных трудов Ивановского гос. университета. Иваново, 1991. — С. 78−85.

29. Щукин К. К. ^/-разрешимый радикал группы. // Матем. сб. 1960. -Т. 52. — Ш. — С. 1021−1031.

30. Baer R. Radicals ideals // J. Math. 1943. — V. 65. -P. 537−568.

31. Birkhoff G., Pierce R. S. Lattice-ordered rings // An. Acad. Brasil. Ci. -1956. V. 28. -P. 41−69.

32. Levitzki J. Prime ideals and the lower radical // Amer. J. Math., 1951. -V. 73. -P. 25−29.

33. McCoy N.H. Prime ideals in general rings // Amer. J. Math., 1949. V. 71. -P. 823−833.

34. Кочетова Ю. В., Ширшова Е. Е. О гомоморфизмах частично упорядоченных алгебр Ли. // Избранные вопросы алгебры: Сборник статей, посвященный памяти Н. Я. Медведева. Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2007. -С. 131−142.

35. Кочетова Ю. В. О некоторых свойствах идеалов решеточно упорядоченных алгебр Ли // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. Математика. 2007. — Т. 57. — № 7. — С. 73−83.

36. Кочетова Ю. В. Первичный радикал решеточно упорядоченных алгебр Ли // Успехи математических наук. 2008. — Т. 63. — Вып. 5. — С.191.

37. Кочетова Ю. В. Первичные и полупервичные решёточно упорядоченные алгебры Ли // Фундаментальная и прикладная математика. 2008. -Т. 14. — № 7. — С. 137−143.

38. Кочетова Ю. В. О нижнем слабо разрешимом /-радикале решеточно упорядоченных алгебр Ли // Фундаментальная и прикладная математика. 2008. — Т. 14. — № 8. — С. 137−149.

39. Кочетова Ю. В. Решеточно упорядоченные линейные алгебры // Депонировано в ВИНИТИ, 24.09.2009, № 570-В2009, 20 с. 192.J.