В последние годы, благодаря космическим миссиям (HST, CoRoT, Kepler) получены уникальные по точности кривые блеска затмения звезд экзопланетами (см. например [1]-[4]). В связи с запуском в марте 2009 года космического телескопа Kepler высокоточные наблюдательные данные покрытий звезд экзопланетами приобретают массовый характер [5]. Предполагаемый список объектов Kepler Input Catalog (KIC) составляет 50 000 объектов [5]. Точность фотометрических данных достигает 10~4 — Ю-5 относительной интенсивности. Столь огромный массив высокоточных данных позволяет ставить новые задачи, а прежние решать на качественно ином уровне.
Фотометрический материал полученный обсерваториями Kepler, Corot, HST, а именно транзитные кривые блеска уже позволили определить радиусы звезд и экзопланет более чем в ста пятидесяти двойных систем (см. например каталог Interactive Extra-solar Planets Catalog [6]). Анализ кривой блеска HD 209 458, полученной на HST в 2000 году, выполнен в работе Брауна и др. [1]. Анализ многоцветных кривых блеска HD 209 458, полученных на HST в 2003 году выполнен в работе Кнутсона и др. [2]. В обеих работах были получены радиусы экзопланеты и звезды, наклонение орбиты и коэффициенты потемнения к краю для звезды. Наиболее детальное исследование данных рядов наблюдений с HST выполнил Соузворз [7]. Автор [7] получил значения радиусов экзопланеты и звезды, наклонение орбиты, а также значения коэффициентов потемнения к краю для звезды в различных законах потемнения.
Однако, в ряде случаев упускается из виду, что анализ транзитной кривой блеска позволяет получить не только геометрические параметры системы (радиусы звезды и экзопланеты, наклонение орбиты), но и получить информацию о потемнении звездного диска к краю. Двойная система с экзопланетой в этом отношении является идеальным лабораторным стендом позволяющим детально исследовать поверхностную структуру звезды. Вплоть до того, что можно восстановить распределение пятен на поверхности звезды [8]. Кроме того, часто оказывается, что результаты, полученные из анализа кривых блеска для различных эпох наблюдений, а также значения геометрических параметров для разных длин волн не вполне согласуются между собой в пределах своих ошибок.
В данной работе проводится статистический анализ транзитных кривых блеска двойных звездных систем с целью получения коэффициентов потемнения диска звезды к краю. В работах [9, 10, 11] проведен анализ наблюдательных данных указанных двойных систем, однако авторы выполнили интерпретацию кривых блеска при фиксированных коэффициентах потемнения к краю. В данной работе помимо определения геометрических параметров двойной системы исследован вопрос потемнения диска звезды к краю в предположении линейного и квадратичного закона потемнения.
При этом анализ наблюдательных данных проведен на основе метода доверительных областей, который позволяет проверить адекватность модели и указать на основе конкретной реализации наблюдательных данных консервативные (внешние) ошибки искомых параметров, а также позволяет судить о надежности интерпретации наблюдательных данных в рамках используемой модели [12].
Цель диссертации.
В работе преследовались цели:
1. Построить максимально простой и эффективный алгоритм вычисления кривой блеска в модели классической двойной системы.
2. Проверить возможность использования различных методов оценки ошибок параметров при интерпретации кривой блеска в модели классической двойной системы.
3. Исследовать на качественном и количественном уровне соотношение между интервалами ошибок, получающихся различными методами.
4. Интерпретировать кривые блеска систем с экзопланетами HD 209 458, Kepler-5b, Kepler-6b, Kepler-7b, HD 189 733 различными методами в линейном и квадратичном законе потемнения к краю.
5. Сравнить полученные значения параметров со значениями, полученными другими авторами. Исследовать зависимость полученных значений коэффициентов потемнения к краю от длины волны и сравнить со значениями, полученными из теории тонких атмосфер. Для системы HD 189 733 исследовать зависимость отношения радиуса планеты к радиусу звезды от длины волны.
Краткое содержание диссертации.
В первой главе описывается модель классической двойной системы и излагается эффективный алгоритм вычисления модельной кривой блеска, путём универсального для всех значений параметров выражения через эллиптические интегралы и кусочно заданные функции одной переменной. Рассматриваются линейный и квадратичный законы потемнения к краю.
Во второй главе излагаются применяемые в работе методы оценки ошибок, такие как метод дифференциальных поправок, метод доверительных областей, основанный на использовании статистик с законами распределения х2 и Фишера, метод Монте-Карло. Данные методы апробируются на примере кривой блеска YZ Cas и близких к ней модельных систем. Также исследуется количественное и качественное различие между различными методами оценки ошибок, в том числе между методами, в которых адекватность модели наблюдательным данным предполагается априори и теми, в которых адекватность модели наблюдательным данным проверяется одновременно с получением интервалов ошибок.
В третьей главе проводится интерпретация многоцветной кривой блеска системы HD 209 458. Различными методами вычисляются параметры системы в линейном и квадратичном законах потемнения к краю. В рамках различных методов оценки ошибок анализируется согласованность значений геометрических параметров, полученных для различных длин волн. Анализируется надёжность модели в линейном и в квадратичном законе потемнения к краю. Проводится анализ зависимости коэффициентов потемнения к краю от длины волны, при этом сравниваются вычисленные значения коэффициентов потемнения к краю и полученные из теории тонких атмосфер. При этом обнаружено расхождение между теоретическими и найденными значениями коэффициентов потемнения к краю, которое увеличивается с ростом длины волны. Новым результатом является вывод о том, что это расхождение сохраняется даже при использовании наиболее консервативных методов оценок ошибок параметров модели, в рамках статистики с законом распределения Хм, гДе М — число точек наблюдения.
В четвертой главе описана интерпретация кривых блеска систем Kepler-5b, Kepler-6b, Kepler-7b различными методами для линейного и квадратичного законов потемнения к краю. Анализируется надёжность модели. Полученные значения коэффициентов потемнения к краю сравниваются с теоретически предсказанными значениями. Для звёзд в системах Kepler-5b, Kepler-7b эмпирическое значение линейного коэффициента потемнения диска звезды к краю х получается меньше теоретического значения х из таблиц коэффициентов в работе Кларе [13]. Для звезды системы Kepler-6b эмпирический коэффициент потемнения к краю х весьма близок к теоретическому значению из таблиц Кларе [13]. В случае предположения квадратичного закона потемнения к краю, значения коэффициентов потемнения звездного диска к краю в нелинейном законе, полученные при интерпретации наблюдаемых кривых блеска как методом дифференциальных поправок, так и методом доверительных областей с использованием статистики с законом распределения Хр> гДе Р ~ число искомых параметров, а в случае звезды Kepler-5b также и с использованием статистики, распределенной по закону Хм, на выбранном уровне доверия 7 = 0.95 в пределах интервала ошибок согласуются с теоретическими значениями из таблиц Кларе [13].
В пятой главе проводится интерпретация многоцветной кривой блеска системы HD 189 733. Различными методами вычисляются параметры системы в линейном и квадратичном законах потемнения к краю. В рамках различных методов оценки ошибок анализируется согласованность значений геометрических параметров, полученных для различных длин волн. Анализируется зависимость отношения радиуса планеты к радиусу звезды от длины волны. Отмечено увеличение радиуса планеты с уменьшением длины волны, которое может объясняться релееевским рассеянием света и свидетельствовать о наличии у планеты атмосферы. Также проводится анализ зависимости коэффициентов потемнения к краю от длины волны, при этом сравниваются вычисленные значения коэффициентов потемнения к краю и полученные из теории тонких атмосфер. При этом в линейном законе потемнения к краю обнаружено расхождение между теоретическими и найденными значениями коэффициентов потемнения к краю, которое, в отличие от случая с системой HD 209 458, уменьшается с ростом длины волны. В квадратичном законе потемнения к краю удаётся согласовать теоретические и найденные значения коэффициентов потемнения на уровне доверия 7 = 0.95.
Научная новизна. В работе впервые:
1. Построено аналитическое выражение кривой блеска через эллиптические интегралы и простейшие кусочно-заданные функции одной переменной, являющееся универсальным для всех рассматриваемых значений параметров.
2. Рассмотрено количественное и качественное соотношение между ошибками параметров, полученными разными методами.
3. Интерпретация кривых блеска проводится одновременно разными методами, что позволяет делать выводы о надёжности полученных результатов.
4. Показано значимое расхождение между теоретической и наблюдаемой зависимостью коэффициента потемнения к краю в системах HD 209 458 и HD 189 733.
Практическая и научная ценность. Прежде всего представляет интерес комплексный подход к оценке ошибок параметров двойных звёздных систем путём интерпретации кривой блеска различными методами. Такой подход даёт возможность не только получить значения ошибок параметров, но и оценить адекватность модели наблюдательным данным, а также даёт возможность объяснить имеющие место расхождения между результатами, полученными для различных эпох наблюдений и между значениями геометрических параметров системы, полученными для различных длин волн.
Также предоставляет интерес полностью аналитический подход к расчёту кривой блеска, заданной с помощью универсального выражения через функции, для которых есть эффективные методы вычисления. Такой подход значительно облегчает практическую реализацию алгоритма вычисления кривой блеска и позволяет сделать работу этого алгоритма максимально быстрой. Полностью аналитический метод расчёта теоретической кривой блеска особенно важен при вычислении значений кривых затмения экзопланетами, поскольку в данном случае радиус затмеваемой планеты весьма мал, <0.1 радиуса звезды. Значительный интерес представляют значения эмпирических коэффициентов потемнения к краю для пяти звёзд, восстановленные из анализа кривых блеска при затмении звезды экзопланетой. Представляет также интерес выявленное наличие атмосферы у экзопланеты по зависимости радиуса экзопланеты от длины волны.
Апробация результатов. Результаты диссертации были доложены на следующих конференциях:
Всероссийская астрономическая конференция (ВАК-2010) «От эпохи Галилея до наших дней» (Казань, CAO РАН 2010);
Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2010» (Москва, МГУ 2010);
Международная астрофизическая конференция «Новейшие методы исследования космических объектов» (Казань, КГУ 2010);
VII Конференция молодых учёных «Фундаментальные и прикладные космические исследования11 (Москва, ИКИ РАН 2010);
Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2011» (Москва, МГУ 2011);
VIII Конференция молодых учёных «Фундаментальные и прикладные космические исследования» .
Москва, ИКИ РАН, 2011);
Third IAU Symposium on searching for life signatures (Санкт-Петербург, ИПА РАН, 2011) Institute of Applied Astronomy RAS.
Всероссийская конференция Астрофизика высоких энергий сегодня и завтра (Москва, ИКИ РАН, 2011).
На Семинаре отдела звездной астрофизики (Москва, ГАИШ 2011);
На защиту выносятся:
1. Эффективный алгоритм расчёта кривой блеска классической двойной звёздной системы в модели с линейным и квадратичным законом потемнения к краю. Получено аналитическое выражение для падения блеска классической двойной звёздной системы при затмении, универсальное для всех значений искомых параметров.
2. Исследование соотношения между интервалами ошибок, полученными разными методами. В приближении линейной модели получено аналитическое выражение для функции плотности распределения интервалов ошибок, полученных в рамках статистики, распределённой по закону xiti где M — число точек наблюдений.
3. Результаты интерпретации классической затменной двойной звёздной системы YZ Cas. Получены надёжные значения радиусов звёзд, наклонения орбиты, и коэффициентов потемнения к краю.
4. Результаты интерпретации многоцветной кривой блеска затменной двойной звёздной системы с экзопланетой HD209458. Получены надёжные значения радиуса звезды, радиуса экзопланеты, наклонения орбиты. Получена эмпирическая зависимость коэффициента потемнения к краю от длины волны в линейном и квадратичном законе потемнения диска звезды к краю (табл. 5.17, рис. 3.6). Показано, что имеется значимое расхождение между наблюдаемой зависимостью коэффициента потемнения к краю от длины волны и теоретической. Новым результатом является то, что значимое расхождение между теорией и наблюдениями остаётся даже при использовании метода доверительных областей, когда получаются наиболее консервативные оценки ошибок параметров модели.
5. Результаты интерпретации транзитных кривых блеска двойных звёздных систем с экзопланетами Kepler-5b, Kepler-6b, Kepler-7b (см. табл. 5.17). Получены надёжные значения радиуса звезды, радиуса экзопланеты, наклонения орбиты и значения коэффициентов потемнения к краю в линейном и квадратичном законе потемнения диска звезды к краю.
6. Результаты интерпретации многоцветной кривой блеска затменной двойной звёздной системы с экзопланетой НБ189 733. Получены надёжные значения радиуса звезды, радиуса экзопланеты, наклонения орбиты. Получена эмпирическая зависимость коэффициента потемнения к краю от длины волны в линейном и квадратичном законе потемнения диска звезды к краю (рис. 5.4). Обнаружено значимое расхождение между наблюдаемой зависимостью коэффициента потемнения к краю от длины волны и теоретической. Подтверждено увеличение наблюдаемого значения радиуса экзопланеты с уменьшением длины волны, что возможно свидетельствует о наличии атмосферы у экзопланеты, рассеивающей свет по релеевскому закону (рис. 5.3).
3.7 Выводы относительно системы НХ)209458.
В работе определены параметры системы НБ209 458 из анализа высокоточных спутниковых кривых блеска при затмении звезды экзопланетой. Определены радиусы экзопланеты и звезды, наклонение орбиты, а также значения линейных и нелинейных коэффициентов потемнения к краю звезды. При этом выполнен всесторонний анализ ошибок найденных параметров, рассмотрены как «внутренние», так и «внешние» ошибки параметров, которые получаются в 2 — 4 раза больше «внутренних». С учетом «внешних» ошибок, нам удалось согласовать значения геометрических параметров, соответствующих наблюдениям, полученным в разных.
Заключение
.
Окончательно подводя итоги скажем, что в диссертации представлен статистический подход к интерпретации кривых блеска двойных звездных систем с экзопланетами. Интерпретация выполнялась в рамках линейного и квадратичного законов потемнения к краю. Отметим ещё раз наиболее важные с физической точки зрения результаты. Так, на рис. 3.6 и 5.4 представлены зависимости коэффициента потемнения к краю от длины волны в линейном законе потемнения для систем HD 209 458 и HD 189 733 соответственно. Видно, что расхождение между наблюдаемыми значениями коэффициента потемнения к краю и полученными из теории тонких атмосфер значительно. Для обоих систем наблюдаемые значения коэффициента потемнения к краю систематически меньше теоретических. При этом в случае с системой HD 209 458 расхождение наблюдаемых и теоретических значений коэффициента потемнения к краю возрастает с ростом длины волны, в то время как в случае системы HD 189 733 это расхождение максимально для наименьших длин волн. В случае квадратичного закона потемнения к краю данное расхождение уменьшается.
В таблице 5.17 приведены теоретические и наблюдаемые коэффициенты потемнения к краю для видимого диапазона длин волн, полученные в линейном и квадратичном законе для всех пяти рассмотренных в диссертационном исследовании систем. В последнем столбце приведены центральные длины волн, соответствующие наблюдаемым кривым блеска. Следует отметить, что большинство из приведённых линейных коэффициентов потемнения к краю меньше соответствующих теоретических коэффициентов. Это различие сохраняется при переходе от линейного к квадратичному закону потемнения диска звезды к краю. Объяснение указанного различия представляет собой отдельную физическую задачу.
Важным результатом является подтверждение уменьшения радиуса экзопланеты с увеличением длины волны (см. рис 5.3). Данная зависимость свидетельствует о релеевском рассеянии излучения звезды в атмосфере экзопланеты.
Результатом работы являются:
1. Развит эффективный, полностью аналитический алгоритм расчёта кривой блеска классической двойной звёздной системы, в том числе, и для затмения звезды экзопланетой.
2. Получено качественное и количественное соотношение между интервалами ошибок, найденных в рамках различных методов.
3. Даны надёжные оценки коэффициентов потемнения к краю и геометрических параметров систем HD 209 458, Kepler-5b, Kepler-6b, Kepler-7b, HD 189 733.
