Идентификация управления и параметров нелинейной системы по настраиваемой модели с функциональными ограничениями

Актуальность темы

Функционирование реальных систем характеризуется действием неконтролируемых факторов и наличием неопределенности в наших знаниях о свойствах управляемой системы и среды. Это требует дальнейшего совершенствования математических моделей, развития теории и техники идентификации систем в условиях неопределенности по статистическим критериям. Обусловлено это тем, что во взаимодействии любой системы и среды всегда содержатся неконтролируемые составляющие, индивидуальные проявления которых нельзя ни измерить, ни предсказать заранее, так как нельзя полностью охватить все взаимосвязи явлений и избавиться от случайных возмущений и ошибок измерений.

Примером тому является, например, возрастание роли идентификации моделей процессов и систем летательных аппаратов для обеспечения сопровождения исследований на этапе летных испытаний. Наличие этого обстоятельства обусловлено тем, что для таких сложных объектов, точное измерение всех фазовых характеристик, физических параметров и управляющих воздействий в процессе летных испытаний не всегда представляется возможным. Поэтому эффективность исследований летательных аппаратов, испытывающих в процессе летных испытаний всевозможные случайные возмущения, обусловленные порывами ветра, турбулентностью атмосферы, отклонениями аэродинамических характеристикпомехи в радиоэлектронике и электромеханике измерительных систем управлениянизкочастотные и высокочастотные радиотехнические помехи системы «взлета-посадки» и другие помехи, во многом определяется способностью математических моделей отражать реальные свойства объектов испытаний. Одним из путей повышения эффективности летных испытаний является использование более точных и достоверных математических моделей объектов испытаний, полученных на основе применения современных методов идентификации. Использование точных и достоверных моделей позволяет повысить объективность исследований в процессе летных испытаний. Решать ряд задач без проведения дорогостоящих и опасных полетов, связанных, например, с отказами двигателя или элементов систем управления. Значительно уменьшить число испытаний, заменив их частично моделированием на стендах и тренажерах.

Задачи идентификации возникают так же при создании различных адаптивных систем управления и технологических процессов, в которых на основе идентификации объекта вырабатываются оптимальные управляющие воздействия и др.

Идентификация стохастических систем это целое научное направление, формирование которого в значительной мере было стимулировано основополагающими работами Аоки М., Гропа Д., Дейча A.M., Льюнга JL, Медича Дж., Мелса Дж., Райбмана Р. С., Сейджа Э., Цыпкина ЯЗ. Эйкхоффа П. [3,14,15,37,50,54,65,67] и других. Не останавливаясь подробно на развитии исследований в этом направлении, следует отметить, что идентификация динамических объектов в общем случае состоит в определении их структуры, оценке конструктивных и энергетических параметров системы, управляющих (входных) воздействий и характеристик вектора состояний объекта по наблюдаемым даннымвходным воздействиям и выходным величинам.

В современной теории идентификация динамических систем выбор структуры объектов испытаний определяется, как правило, структурой настраиваемой модели, которая описывается уравнениями, описывающими основные закономерности объекта, либо соотношениями, содержащими измеряемые входные и выходные величины, характеризующие состояния динамического объекта. Степень сложности и полноты применяемых моделей определяется конкретными задачами исследований, а также той априорной информацией, которая нам известна об объекте. К этой априорной информации относится: порядок дифференциальных уравнений, описывающих процессы управления, случайных возмущений и состояния системы, точки приложения помех, длительность временных характеристик объекта и многое другое.

Таким образом, при идентификации объекта испытаний в определенном смысле возникает задача синтеза наилучшей настраиваемой модели на основе имеющейся априорной информации об объекте, которую схематически можно представить, в частности, в виде, изображенном на рис. 1.

Рис. 1.

В каждый момент времени t еТ к входам объекта испытаний и настраиваемой модели поступает управляющее (входное) воздействие u (t).

На объект действует неконтролируемое, ненаблюдаемое случайное возмущение ?(/). Выходная величина объекта X (t) зависит как от воздействия u{t), ?(/), так и от неизвестных конструктивных и энергетических параметров, а. Вектор Z (t) с компонентами линейных комбинаций компонент вектора состояний объекта X{t) измеряются с аддитивной помехой r (t) линейным измерителем. Помеха r (t) предполагается обычно независимой от компонент вектора X{t) и представляет собой гауссовский белый шум с нулевым математическим ожиданием и матрицей интенсивности Gr (t).

Выходная величина настраиваемой модели X (t) зависит от u{t) е U, настраиваемых параметров aeW и аддитивной помехи n (t), представляющей собой гауссовский белый шум с нулевым математическим ожиданием и матрицей интенсивности Gn (t). Разность измеренных выходных характеристик объекта Z (t) и характеристик настраиваемой модели Z (t) образуют невязку г = Z{t)~ Z (t), по которой определяется, так называемая, функция потерь F{s). Наиболее часто используется квадратичная функция потерь.

Близость настраиваемой модели к динамическому объекту характеризуется средними потерями минимизация которых достигается изменением входных воздействий u (t) и параметров, а настраиваемой модели при помощи алгоритмов идентификации.

Вопросам оценивания и идентификации динамических систем посвящено значительное число работ, которые отличаются, прежде всего, используемым математическим аппаратом. Наибольшее распространение среди рассматриваемых методов оценки и идентификации динамических систем в последнее время получили методы фильтрации. Методы фильтрации позволяют идентифицировать не только функции управления u{t) и параметры системы а, но и определить оптимальную апостериорную оценку вектора состояний X{t) в каждый момент времени t еТ. Для получения оптимальной оценки X (t) в качестве критерия оптимальности наибольшее распространение получил критерий минимума среднего квадрата ошибки.

I (e) = M{F (e)},.

1).

I (?) = M{s2},.

2) представляющий собой частный вид байесовского критерия, в соответствии с которым оптимальной оценкой X (t) является условное математическое ожидание X (t) по наблюдению z{f) на всем отрезке времени t0.

В теории статистически оптимальных методов оценки состояний стохастических систем выделяется два основных подхода для определения апостериорной плотности вероятности pit, х 1).

Первый подход основан на применении формулы Байеса, записываемой в виде интегрального выражения через неизвестную так называемую весовую функцию, для определения которой составляется интегральное уравнение Винера. Он связан с решением интегрального уравнения Винера-Хопфа относительно весовой функции оптимального фильтра или решением оптимального фильтра, параметры которого находятся из решения дифференциального уравнения типа Рикатти. Этот подход был развит в работах Колмогорова А. Н. [27,28], Винера Н. [9], Калмана Р. и Бьюси Р. [70, 71]. Достаточно подробно изложен в монографиях [68,62,49] в рамках корреляционной теории статистически оптимальных систем. На основе этого подхода решены самые разнообразные задачи, представленные в работах [3,4, 37,1−3,55].

Второй подход к оценкам состояния стохастических систем основан на определении апостериорной плотности вероятности состояния системы из решения интегро-дифференциального уравнения в частных производных. Начало теории нелинейной фильтрации было положено Котельниковом В. А. [31]. Существенным вкладом в развитие теории нелинейной фильтрации явились работы Стратоновича P.JI., которые позволили получить основополагающие результаты нелинейной фильтрации на основе развитой им теории условных Марковских процессов [56,57]. Задаче нелинейной фильтрации посвящены также работы [35, 72]. Следует отметить, что поскольку принятые в теории Калмана-Бьюси случайные возмущения принадлежат классу гауссовских марковских процессов, то результаты Калмана-Бьюси могут быть получены, как частные, применением теории условных Марковских процессов. Оптимизация наблюдаемых стохастических систем на основе теории Марковских процессов позволила также подойти к постановке и решению широкого класса нелинейных задач идентификации динамических систем на основе принципа максимума [18,19,22−24], динамического программирования [40,64,30] и функций Ляпунова и обобщенной работы [18,22, 63].

Следует отметить, что в приведенных выше результатах по идентификации динамических стохастических систем достаточно полно решены проблемы идентификации линейных систем. Нелинейные стохастические системы исследованы в меньшей степени. Здесь в основном рассмотрены в отдельности задачи идентификации параметров систем, определение по наблюдениям программного управления и параметров закона управления по схеме обратной связи и задачи оценки компонент вектора состояний на основе нелинейной фильтрации.

Не исследованы достаточно полно задачи идентификации нелинейных стохастических систем более сложной структуры, учитывающих совместное оптимальное оценивание компонент вектора состояний системы и идентификацию параметров и управления системы с учетом ограничений, которые описывают различные требования, предъявляемые к системе. Обеспечение этих требований сужает множество состояний системы и допустимые области определения параметров системы и управления, обеспечивающих состояния системы, которые удовлетворяют заданным требованиям, и требуют привлечения нового математического аппарата для исследования задач идентификации.

Это обуславливает актуальность решения задач идентификации нелинейных стохастических систем с помощью идей и методов, используемых в общей теории экстремальных задач, математическом программировании и вариационном исчислении с тем, чтобы применить численные методы математического программирования и теории оптимальных процессов, для идентификации нелинейных стохастических систем с учетом ограничений, обусловленными требованиями к системе.

Цель работы — повышение эффективности идентификации нелинейных стохастических систем путем использования более точных настраиваемых моделей, учитывающих внешние возмущения, действующие на систему, помехи при измерении компонент вектора состояний и различные требования, которым должна удовлетворять идентифицируемая система. Развитие методов идентификации нелинейных стохастических систем, позволяющих на основе единой методологии исследовать системы, описываемые стохастическими дифференциальными уравнениями с ограничениями типа равенств на параметры системы, управление и компоненты вектора состояний.

Объектом исследований являются непрерывные и разрывные стохастические системы, которые описывают поведение летательных аппаратов и их систем, и обеспечивают заданные требования к их функционированию.

Задачи исследования:

1. Сформулировать задачи идентификации нелинейных стохастических систем по настраиваемым моделям в классе диффузионных стохастических дифференциальных уравнений с ограничениями типа равенств на параметры системы, функции управления и компоненты вектора состояний.

2. Исследовать условия идентифицируемости параметров и функций управления нелинейных стохастических систем в классе настраиваемых моделей.

3. Определить необходимые условия идентификации параметров и функций управления систем в классе настраиваемых моделей.

4. Разработать численные методы идентификации параметров и функций управления систем, сходящихся к оценкам, удовлетворяющих необходимым условиям идентификации.

5. Разработать методы совместного оптимального оценивания компонент вектора состояний системы и идентификации параметров и функций управления, обеспечивающих заданные требования, предъявляемые к системе.

Методы исследований. Теоретические исследования базируются на использовании современных методов общей теории экстремальных задач, теории оптимального управления, математического программирования, стохастических дифференциальных уравнений, теории диффузионных Марковских процессов, методов вычислений, численных методов оптимизации и др. Программная реализация численных методов идентификации осуществлена на базе современных информационных и компьютерных технологий в среде Matlab и Simulink.

Научная новизна:

1. Сформулированы задачи идентификации нелинейных стохастических систем по настраиваемым моделям в классе диффузионных стохастических дифференциальных уравнений с ограничениями типа равенств на параметры системы, функции управления и компоненты вектора состояний.

2. Определены условия идентифицируемости параметров и функций управления нелинейных стохастических систем с ограничениями в классе настраиваемых моделей.

3. Сформулированы критерии необходимых условий идентификации параметров и функций управления систем с ограничениями типа равенств на параметры системы, функции управления и компоненты вектора состояний.

4. Определены критерии необходимых условий идентификации параметров и функций управления в классе «простых» — ступенчатых управлений системы с ограничениями.

5. Разработаны численные методы идентификации нелинейных стохастических систем с ограничениями типа равенств со сходимостью алгоритмов к необходимым условиям идентификации.

6. Предложены методы совместного оптимального оценивания компонент вектора состояний системы и идентификации параметров и функций управления, обеспечивающих заданные требования к системе, на основе апостериорных семиинвариантов. Практическая ценность работы определяется тем, что решения задач идентификации стохастических систем представлены на единой методологической основе, которая позволяет решать большинство конкретных практических задач. Основное внимание в работе уделяется исследованию необходимых условий идентификации, позволяющих не только определить эти условия, но и построить на их основе численные алгоритмы идентификации, при изложении которых наибольшее внимание уделяется их прикладным аспектам. При этом качественные, принципиальные особенности идентификации систем формулируются в виде завершенных результатов, которыми непосредственно можно пользоваться на практике.

Рассмотренные в диссертации задачи сформулированы исходя из решения важной научно-технической проблемы автоматизации стендовых и летных испытаний летательных аппаратов и их систем.

Решение перечисленных выше задач осуществлялось в рамках выполнения совместных НИР, проводимых КГТУ им. А. Н. Туполева с ОАО ОКБ «Сокол» (г. Казань). Часть исследований выполнялась в составе госбюджетной НИР «Фундаментальные и прикладные вопросы информационных технологий моделирования и управления», а также НИР: «Модели, методы и программное обеспечение оптимального проектирования и оценивания сложных детерминированных и стохастических систем», «Разработка математических моделей, методов и информационных технологий оптимизации проектных управленческих решений и разработки автоматизированных рабочих систем», выполненных по плану приоритетных фундаментальных и прикладных исследований Академии наук Республики Татарстан.

Численные методы идентификации нелинейных стохастических систем по настраиваемым моделям в классе диффузионных стохастических дифференциальных уравнений с ограничениями типа равенств на параметры системы, функции управления и компоненты вектора состояний, могут быть использованы так же при идентификации различных технологических процессов, измерительных систем и др.

Реализация результатов работы. Результаты диссертационной работы, в том числе их программная реализация были использованы в системных исследованиях в ОАО ОКБ «Сокол» при разработке моделей идентификации параметров закона управления и оценке состояний летающих мишеней.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на VI Королевских чтениях «Всероссийская молодежная научная конференция» (г. Самара, 2001), Институт Проблем Информатики АН РТ. Республиканская научно-практическая конференция «Интеллектуальные системы и информационные технологии». Казань, 2001, IV Всероссийской научно-технической конференции «Информационные технологии в науке, проектировании и производстве» (г. Нижний Новгород, 2002), VIII Четаевской международной конференции. «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (г. Казань 2002), Международной молодежной научной конференции «XXXII Гагаринские чтения» (г. Москва, 2006), IX Международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения, информатики и экономики», (Москва 2006).

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 8 печатных работах, в том числе в 2 научных статьях. Материалы диссертации вошли в 5 отчетов по НИР, отчет НИОКР, в которых автор принимал участие как исполнитель и ответственный исполнитель. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и одного приложения. Работа содержит 123 страницы основного текста, 3 рисунка, 1 таблицусписок литературы включает 72 наименования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертационной работе были получены следующие результаты:

1. Определены условия идентифицируемости и необходимые условия идентификации параметров и управления нелинейных динамических систем, описываемых диффузионными стохастическими дифференциальными уравнениями;

2. Определены условия идентифицируемости и необходимые условия идентификации параметров и управления нелинейных динамических систем, описываемых диффузионными стохастическими дифференциальными уравнениями с функциональными ограничениями, описывающих различные требования, предъявляемых к идентифицируемой системе;

3. Определены необходимые условия идентификации параметров и управления нелинейных стохастических систем, в классе простых (кусочно-непрерывных) управлений;

4. разработаны численные методы идентификации параметров и управления нелинейных стохастических систем и доказана их сходимость к необходимым условиям идентификации;

5. Разработан алгоритм и численный метод совместной оценки параметров управления и состояния стохастических систем на основе семиинвариантов Марковского процесса, описываемого нелинейными стохастическими уравнениями;

6. Решена задача идентификации параметров закона управления и оценки высоты полета легкого экраноплана.