Анализ модельного подхода теории расширений в скалярной задаче дифракции и системах нежестких кристаллов фуллеритов

Термины: «модельный подход», «модельная задача» встречаются в различных разделах теоретической физики. Так, например, в теории дифракции^ в физике твердого тела получил широкое распространение модельный подход имеющий непосредственное отношение к методу потенциалов нулевого радиуса. Впервые потенциалы нулевого радиуса были введены Е. Ферми ([1],[2]), что позволило точно решить ряд физических задач.

Введение

потенциалов нулевого радиуса сводится к заданию «граничного условия» на волновую функцию Ф в точке: 1 а (г"м, ут г->о гЧ?(г, 9,<�р) дг) где г — расстояние от «центра потенциальной ямы» — точки, где находится потенциал нулевого радиуса, а — вещественный параметр. Активное применение и дальнейшая разработка метода начались с шестидесятых годов ([3]-[6]) и продолжаются в настоящее время [7|,[8]. Так, например, в работе [9] решена задача о возмущении оператора Лапласа, А сингулярным потенциалом вида Ja{z)5{l?^ -^{еМ3,геК,} (0.2) к сосредоточенным на прямой М с функцией а{г) е Ь2 (К, (1 + 22)1сЬ). Там же было показано, что оператор Лапласа возмущенный сингулярным потенциалом вида (0.2) с функцией а (г) = 1 может быть задан описанием его области определения, в которую входят все те функции и из пространства Гильберта Ь2(Ш), которые удовлетворяют «граничному условию» и (р, <�р, г) + р (1п р + Н (г)) и (р, (р, г) -> 0, (0.3) ор Р^ О где р — расстояние до прямой Ж, Н (г) — некоторая абсолютно непрерывная веществен-нозначная функция. Задачи о введении потенциалов нулевого радиуса и сингулярных потенциалов вида (0.2) могут быть рассмотрены методами теории расширений симметрических операторов в пространстве Гильберта [10]. При этом «граничные уеловия» (0.1),(0.3) описывают область определения самосопряженных операторов с сингулярными потенциалами. Важным этапом при рассмотрении той или иной модельной задачи является приведение модели в соответствие физическому содержанию задачи [11],[12],[13]. В случае потенциала нулевого радиуса, описывающего короткодействующее взаимодействие двух частиц при низких энергиях их относительного движения, неопределенным является параметр а, который по своему физическому содержанию определяет сечение упругого столкновения частиц [б]. В общем случае, физическая интерпретация «модельных параметров» следует из сравнения решений модельных задач с решениями реальных задач полученных прямыми методами. В некоторых случаях, как например в физике твердого тела, сужение множества параметров в модельных задачах может быть достигнуто использованием симметрийных соображений. Для функции Н (г) в работе [9] не дается физического толкования. Тем не менее, сама постановка задачи имеет отношение к скалярной теории дифракции на некомпактных препятствиях с осевой симметрией. К задачам скалярной теории дифракции приводят задачи о рассеянии акустической волны на «акустически абсолютно твердых» и «акустически абсолютно мягких» телах [14]. При этом, в случае «акустически абсолютно твердого» тела Б решение и (потенциал скорости) удовлетворяет граничному условию 0 для производной по внешней нормали к границе 5 и граничному условию $ 0 в случае «акустически абсолютно мягкого» тела [14]. Типичной для большого круга задач скалярной теории дифракции в трехмерном простанстве Е3 является следующая постановка задачи (стационарный по времени подход).

Пусть в пространстве К3 имеется компактная или некомпактная поверхность 5. Отыскивается решение к) (рассеянное ноле) удовлетворяющее во внешности поверхности 5 уравнению Гельмгольца.

0.4) и на поверхности $ одному из граничных условий.

1?(+ 0 (задача Дирихле),.

0.5) д щ (~а?')) |5= 0 (задача Неймана), 4.

0.6) ш+ $('И?) 4- |5= 0 (смешанная задача), (0.7) где функция к) = ехрг (к) определяет начальное возмущение.

Для однозначной разрешимости поставленных задач требуется, что бы функция к) удовлетворяла условию излучения.

— ¿-мф) = о, -> ОО. (0.8) в случае компактной поверхности Б или условию погашаемости в случае некомпактной поверхности 5. Такого рода задачи и в более общей постановке (обобщения и нестационарный по времени подход) всесторонне исследованы [18]-[20] и возможно выделить два основных подхода к их рассмотрению. Первый из них использует абстрактную теории рассеяния в духе теории Лакса-Филлипса [15] или теорию 5'-матрицы. В другом основное внимание уделяется построению решения. Выбор того или иного подхода тесно связан со спецификой рассматриваемой задачи.

Так в асимптотической теории дифракции (рассеяние в дальней зоне) выбор

1,1. Здесь приближения тесно связан с отношением между величинами к = к — волновой вектор падающей плоской волны, д, и Iмаксимальный поперечный и максимальный продольный размеры дифрагирующего тела. Построение асимптотики решения задачи дифракции возможно в тех случаях когда хотя бы для одного из параметров = Ы, е2 = к1, ?3 = ё/1 выполнено £г <�С 1 или 1 (?=1,2,3,). Последнее обстоятельство связано с тем, что в большинстве рассмотрений одним из основных подходов к задаче является представление решения в виде бесконечного ряда по степеням того или иного малого параметра (по степеням ?1 при £г 1 или 1 /е^ при ?, — 1) Довольно полный обзор работ связанных с задачами дифракции на односвязных трехмерных препятствиях при различных соотношениях между параметрами приведен в работе [16]. Среди упоминаемых работ имеется статья [17], которая хоть напрямую и не связана с теорий дифракции, но имеет непосредственное отношение к следующей постановке задачи.

Пусть поверхность Бе (56 С К3) в цилиндрической системе координат (г,(р, г) задана уравнением г = ?.?г,(г), -оо < г < оо, е > 0, (0.9) ад — 1) 6 с?(Ж), ад > 0.

Здесь Со°(К) — пространство основных функций. Ищется рассеянное ноле к) удовлетворяющее во внешней относительно поверхности области Ое уравнеию (0.4), граничному условию (0.5) и условию погашаемости. Кроме того, исследуется поведение решения к) в пределе при е —> 0, когда поверхность Бе стягивается к оси О/ декартовой системы координат. Имея решение оо егкзг^2сп со" п{ч> - <�р0)н?гу/к* - Щ), (0.10) п=о.

Ь0 = еу/к*-к1 сп = иЬ0)/Н^(Ь0). задачи дифракции плоской волны к) на прямом круговом цилиндре радиуса е, решение задачи (0.4)-(0.5) ищется в виде оо ие{1?) =^епип (!?, Е) (0.11).

71=0.

Для функции шо выбирается представление ^НрЦгу/Р^ёЫЬФ*'**, *2 е [0, оо) (0.12) я.

Функция шо удовлетворяет условию излучения по переменной г и уравнению (0.4) во всем пространстве К3 за исключением множества точек оси Ог. Как показано в [17] остается выбором плотности //о (£, е) из (0.12) удовлетворить «парциальному» граничному условию е*3* (Мгу/к*-Щ) — |5е= 0 (0.13).

В работе [17] данное требование (где только функция заменена на произвольную функцию ф из пространства С?°(К)) приводит для определения плотности ио (?, е) к уравнению.

1п (е^/^ё) + /"(? — с'ы&^н' = (о-14) к где 1пе = 1пг + 1п2 + ^(1) + тгг/2, а (£) = к € С,.

В работе [17] /г0(?, е) функция считается произвольной из пространства Сд0. Особенность выведенного уравнения заключается в том, что ядро интегрального оператора из уравнения (0.14) принадлежит пространству Шварца, а функция 1п (ё/к2 — имеет нули и особые точки. Обоснование представления (0.12) требует доказательства однозначной разрешимости уравнения (0.14). В работе [17] само уравнение (0.14) рассматривается в пространстве С ([—М, Л/]) функций нспрерывнб1х на замкнутом промежутке [—N. Ж] который не содержит нулей функции 1п (' с /к2 —. Таким образом рассматривается уравнение вида N.

— IV которое однозначно разрешимо в пространстве С ([—/V, Щ).

В первой главе диссертации решается задача аналогичная задаче (0.4),(0.5),(0.9) с тем отличием, что функция может быть произвольной из пространства Шварца 5(М). Так же как и в работе [17] основное внимание уделяется главному члену разложения (0.11), т. е. функции а>0 для которой используется представление (0.12). Неизвестная плотность ищется в виде ряда оо т=0.

Для вычисления функций е) выводится система зацепляющихся уравнений вида.

1п (еу/к* - е2) + - ^Кт^е)^ = (0.16) к с правой частью е) содержащей все функции //" ,", / (?, е) с т' < т. Доказывается существование и единственность решения уравнений (0.16) цепочки и обосновывается представление (0.12) для функции о/о (?, е)>- А именно, показано, что уравнение вида (0.16) для любого возможно рассмотреть в гильбертовом простанстве.

2(К3), в котором доказывается его однозначная разрешимостьполучены условия на функции Р (г) позволяющие при вычислении функции о/0(£,£) с точностью до величины порядка е использовать в (0.12) вместо плотности г/0(?, в) ее приближенное выражение /^о^, е). Особенностью задачи рассмотренной в первой главе диссертации является исследование поведения решения задачи дифракции в нулевом канале при стягивании дифрагирующей поверхности в прямую. Именно такая предельная форма препятствия делает задачу по своей постановке близкой к задаче возмущения самосопряженного оператора Гельмгольца, А + к2 сингулярным потенциалом вида (0.2). В связи с указанной аналогией, представляется оправданной попытка построения такого модельного самосопряженного оператора решение задачи рассеяния им (х, е) для которого близко к решению о-о (?, е) реальной задачи дифракции в нулевом канале.

Такого рода рассмотрение, проведенное во второй главе диссертации ставит своей задачей исследование применимости методов теории самосопряженных расширений в соответствующих задачах дифракции. Важным элементом проводимого рассмотрения является построение всего семейства модельных операторов, соответствующих возмущению оператора Гельмгольца. В своей основной постановке такая задача не нова и наряду с результатами работы [9] имеются исчерпывающие исследования (см. например [21]). Однако имеющиеся описания расширений являются специфическими и не допускают прямого использования для целей проводимого рассмотрения.

В данном случае, описание семейства модельных операторов основано на описании нейтральных подпространств «граничной формы», 1, определенной на некотором подмножестве гильбертова пространства [22]. Полученные результаты соответствуют имеющимся раннее [23],[24], но дают более богатое семейство модельных операторов.

Последнее оказывается решающим обстоятельством и позволяет фиксировать параметры модели приводя ее в соответствие с реальной задчей дифракции. Полученный самосопряженный модельный оператор допускает дальнейшее исследование методами спектральной теории линейных самосопряженных операторов. В том числе, устанавливается существование и полнота оператора рассеяния. В качестве критерия близости решений модельной и реальной задач используется величина д = и м к, е) — к, е).

Н1(КЗ) ' где Я-х (М3) = Ь2 + для которой получена оценка.

Использование модельного подхода теории расширений в физике твердого тела имеет свои специфические черты. Как правило, в модельном подходе основное внимание уделяется описанию в одночастичном приближении электронов проводимости. При этом ядерная подсистема заменяется решеткой, в узлах которой размещаются идентичные потенциалы нулевого радиуса. Но даже в такой постановке отбор физически значимого модельного оператора представляет сложную задачу. При ее решении зачастую используется пространственная симметрия физической системы [25],[26]. Последнее требует знания пространственных групп моделируемых физических систем и их неприводимых представлений. В последнее время [27],[28] построена модель в которой ядерная подсистема описывается в терминах квазичастиц — фоно-нов — функций на конфигурационном пространстве колективных переменных ядерной подсистемы. Такая модель с небольшими изменениями может быть использована при рассмотрении молекулярных кристаллов с нежесткими движениями — вращением составляющих их молекул [29]. Важную роль при построении физически 'значимого модельного оператора здесь играет симметрийный анализ таких систем.

Яркими представителями класса молекулярных систем с нежесткими движениями являются фуллериты Сбо и CVo — кристаллы на основе фуллеренов CV>o и CVoмолекул, содержащих п (п = 60,70), атомов углерода.

Фуллериты С’бо и С70 представляют собой полупроводники с шириной запрещенной зоны 1,5 — 1,95 эВ и благодаря своим электрическим, оптическим и механическим свойствам имеют значительные перспективы использования [30]. Фуллериты, допированные щелочными металлами (М3Сп) обладают сверхпроводящими свойствами с температурой перехода в сверхпроводящее состояние ~ 33К.

В третьей главе диссертации основное внимание уделяется симметрийному анализу фуллеритов Сбо и С70 с учетом возможного вращения составляющих их молекул. При этом используется группа Vc [29] перестановочно-инверсионной симметрии в рамках которой естественным образом учитываются вращения отдельных молекул.

Как следует из приведенного выше краткого содержания работы, основной ее целью является использование модельного подхода теории расширений в задачах дифракции и физике твердого тела, а также отбор физически значимых модельных операторов соответствующих задач.

Результаты работы докладывались на втором международном семинаре «Фулле-рены и атомные кластеры» в г. Санкт-Петербурге в 1997 г., на международной конференции им. М. Г. Крейна «Теория операторов и их применения» в г. Одессе в 1997 г., на ХХХ-ой научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава ИТМО в г. Санкт-Петербурге в 1999 г., на семинаре лаборатории математической физики Санкт-Петербургского отделения математического институра им. В. А. Стеклова. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [31]-[35].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

1. В работе проведено обоснование асимптотического подхода при построении решения шо)£ скалярной задачи дифракции: а) Доказана однозначная разрешимость основного интегрального уравнения задачи в гильбертовом пространстве квадратично суммируемых функций L2(M). б) Установлена унитарность «парциального» оператора рассеяния. Показано, что выбранный асимптотический ряд для представления решения сходится. Определена зависимость главного члена разложения в асимптотический ряд парциальной амплитуды рассеяния о-0(к, У, е) от малого параметра е.

2. В рамках модельного подхода описан класс «нелокальных расширений» — семейство самосопряженных операторов. Полученно согласование реальной и модельной задач, что дает теоретико-операторное обоснование полученным в реальной задаче приближенным выражениям.

3. Для последовательного проведения модельного подхода при исследовании в приближении Гайтлера-Лондона возбужденных состояний фуллерйтов Сбо, Сто произведено: а) построение перестановочно-инверсионной группы симетрии и неприводимых представлений ее локальной подгруппы для кристалла фуллерита Cgо в высокотемпературной фазе (Т > 249А') — б) построение перестановочно-инверсионных групп симметрии и неприводимых представлений их локальных подгрупп для кристалла фуллерита С^о в промежуточной фазе (270 < Т < 340К) и высокотемпературной фазе (Т > 340А").

4. В рамках групп обобщенной симметриии сформулированы правила отбора для спектров комбинационного рассеяния нежестких кристаллов фуллеритов Сбо, C'7(t.