Помощь в учёбе, очень быстро...
Работаем вместе до победы

Краевые задачи для нелокальных дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка

Диссертация: Краевые задачи для нелокальных дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Дифференциальные уравнения с частными производными дробного порядка исследовали в своих работах: А. Н. Кочубей, С.Д. Эйдель-ман -, A.M. Нахушев, С. Х. Геккиева -, О. А. Репин, -, А. В. Псху -, В. А. Нахушева -, А. В. Глушак -, А. Н. Зарубин, Е. А. Зарубин -, М. О. Мамчуев -, А. А. Ворошилов, А. А. Килбас -, А. А. Андреев, А. С. Еремин, Г. П. Лопушанская, Ph. Clement, G. Gripenberg, S.-O… Читать ещё >

Содержание

  • Вводные сведения
  • 1. Уравнения порядка меньше либо равного единице с операторами интегродифференцирования с различными началами
  • 1. Уравнение с производными Римана-Лиувилля. Постановка задачи
  • 2. Формулировка результатов и решение задачи
  • 3. Задача для уравнения с производными Капуто
  • 2. Задачи для уравнений с оператором дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом
  • 1. Постановка задачи для уравнения порядка меньше единицы
  • 2. Доказательство существования и единственности решения
  • 3. Уравнение с оператором дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом порядка меньше двух
  • 4. Уравнение произвольного порядка
  • 5. Уравнение с производной Капуто
  • 3. Теоремы единственности для уравнений дробного порядка
  • 1. Свойства положительности операторов дробного интегрирования и дифференцирования
  • 2. Единственность решения уравнения с частными производными дробного порядка с различными началами в главной части
  • 3. Задача для уравнения с отрицательными коэффициентами

Краевые задачи для нелокальных дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Дифференциальные уравнения с частными производными дробного порядка, являясь обобщением уравнений с частными производными целочисленного порядка, кроме огромного теоретического интереса, имеют большое практическое значение.

Физики достаточно давно и плодотворно используют идеи дробного исчисления преимущественно во фрактальных средах [5], [6], [38]—[40], [43], [44]. Дифференциальные уравнения дробного порядка встречаются при описании медленных и быстрых стохастических процессов, диффузии в средах с фрактальной геометрией, при изучении деформационно-прочностных свойств полимерных материалов [79], [92]. Полученные при этом результаты говорят о существовании мощного метода, каким является дробное исчисление при построении математических моделей в тех средах, где классическое дифференциальное исчисление не работает. Особый интерес к дробным производным проявляют гидрогеологи в связи с вопросами безопасности хранения высокоактивных долгоживущих радиоизотопов в геологических фармациях [20]—[23].

Основой большинства моделей, описывающих физические и химические процессы, протекающие во фрактальных средах, экономические и социально-биологические явления [56], [61], [64], [65], [78], являются дифференциальные уравнения дробного порядка, в том числе уравнения в частных производных. Поэтому развитие аналитического аппарата теории уравнений с частными производными дробного порядка является весьма актуальной и важной задачей.

Дифференциальные уравнения с частными производными дробного порядка исследовали в своих работах: А. Н. Кочубей, С.Д. Эйдель-ман [43] - [46], A.M. Нахушев [52], [55], [56], [62], С. Х. Геккиева [И] -[14], О. А. Репин [37], [74] - [76], А. В. Псху [66] - [73], В. А. Нахушева [63] - [65], А. В. Глушак [17] - [19], А. Н. Зарубин, Е. А. Зарубин [32] -[36], М. О. Мамчуев [49] - [51], А. А. Ворошилов, А. А. Килбас [8] - [10], А. А. Андреев, А. С. Еремин [3], [4], [30], [31], Г. П. Лопушанская [48], Ph. Clement, G. Gripenberg, S.-O. Londen [90], W.R. Schneider, W. Wyss [97], [99], F. Wegner, S. Grossmann [98].

Теория дробного исчисления и ее приложения изучались в монографиях [29], [52], [56], [73], [77], [91], [93], [96].

Монография A.M. Нахушева [52] посвящена основополагающим элементам дробного исчисления, качественно новым свойствам операторов дробного интегрирования и дифференцирования и их применению к решению проблем математического моделирования различных процессов и явлений в живых и неживых системах с фрактальной структуройк локальным и нелокальным обыкновенным и в частных производных дифференциальным уравнениям основных и смешанных типов. В монографии сформулирован целый ряд вопросов и задач, служащих источником новых направлений в изучении теории и приложений дробного исчисления.

В книге [77] рассмотрены вопросы обобщения операций дифференцирования и интегрирования функций одной и многих переменных с целых порядков на дробные, действительные и комплексные, а также приложения теории дробного интегрирования и дифференцирования к интегральным и дифференциальным уравнениям, теории функций.

В монографии А. В. Псху [73] исследованы основные краевые задачи для класса уравнений дробного и континуального порядка. Рассмотрены уравнения порядка меньше либо равного единице, диффузионно-волновые уравнения, эволюционные уравнения.

В работе A.M. Нахушева [57] решена видоизмененная задача Коши для оператора дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом.

Среди работ, посвященных нагруженным дифференциальным уравнениям, отметим работы A.M. Нахушева [58]—[60], М. Т. Дженалиева [24]-[28], А. И. Кожанова [41].

Граничные задачи для нагруженных дифференциальных уравнений с усреднением исследованы A.M. Нахушевым [54], М. М. Амангалиевой, М. Т. Дженалиевым, М. И. Рамазановым [1], [2], I. Ozturk [94].

В работах I. Ozturk [95] и С. Х. Геккиевой [15], [16] рассмотрены задачи для нагруженного уравнения диффузии дробного порядка, причем в первой статье нагрузка представляет собой дробную производную от усреднения по пространственной переменной искомого решения, в остальных двух — след от искомого решения.

В данной работе рассматриваются краевые задачи для дифференциальных уравнений порядка меньше либо равного единице и уравнений с оператором дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом.

В ходе работы автором получена следующая совокупность результатов и положений.

— 71. Доказано существование и единственность решения краевых задач для класса дифференциальных уравнений с производными Римана-Лиувилля и Капуто порядка меньше либо равного единице с операторами дробного интегрирования с различными началами в младших членах.

2. Доказано существование и единственность решения краевых задач для уравнений с усреднением и оператором дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом.

3. Доказана единственность решения уравнения с частными производными дробного порядка с различными началами в главной части.

Диссертация состоит из введения, вводных сведений, трех глав, состоящих из И параграфов, списка литературы (99 наименований) и заключения. Объем работы — 91 страница.

Заключение

.

В работе рассмотрены краевые задачи для дифференциальных уравнений порядка меньше либо равного единице и уравнений с оператором дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом.

1. Доказано существование и единственность решения краевых задач для класса дифференциальных уравнений с производными Римана-Лиувилля и Капуто порядка меньше либо равного единице с операторами дробного интегрирования с различными началами в младших членах.

2. Доказано существование и единственность решения краевых задач для уравнений с усреднением и оператором дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом.

3. Доказана единственность решения уравнения с частными производными дробного порядка с различными началами в главной части.

Показать весь текст

Список литературы

  1. М.М. Граничные задачи для уравнения теплопроводности с усреднением по времени / Тр. Международной конф. «Дифференциальные уравнения и их приложения». Алматы, 2002. — С. 19 -23
  2. А. А., Еремин А. С. Краевая задача для уравнения диффузии с дробной производной по времени/Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. двенадцатой межвуз. конф. Ч. 2. Самара, 2002. — С. 3 — 9
  3. А.А., Еремин А. С. Краевая задача для уравнения с матричным интегродифференциальным оператором // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. 2004. — Вып. 26. — С. 5−10.
  4. В.Е. О дрейфе при случайном блуждании по самоподобным кластерам // ЖЭТФ. 1999. — Т. 115. — Вып. 3. — С. 1016 -1023
  5. В.Е. Случайное блуждание по иерархическим гребешко-вым структурам // ЖЭТФ. 1999. — Т. 115. — Вып. 4. — С. 1285 -1296
  6. Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М., 1973. -293 с.
  7. А.А., Килбас А. А. Задача типа Коши для уравнения диффузии дробного порядка // Докл. НАН Беларуси. 2005. — Т. 49. -№ 3. — С. 14 — 18
  8. А.А., Килбас А. А. Задача типа Коши для диффузионно-волнового уравнения с частной производной Римана-Лиувилля // Докл. РАН. 2006. — Т. 406. — № 1. — С. 12 — 16
  9. А.А., Килбас А. А. Задача Коши для диффузионно-волнового уравнения с частной производной Капуто // Дифференц. уравнения. 2006. — Т. 42. — № 5. — С. 599 — 609
  10. С.Х. Задача Коши для обобщенного уравнения переноса с дробной по времени производной // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2000. — Т. 5. — № 1. — С. 16 — 19
  11. С.Х. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной в полубесконечной области // Изв. Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2002. — № 1 (8). -С. 6−8
  12. С.Х. Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений с дробной производной по времени: Автореф. дис.. канд. физ.-мат. наук. Нальчик, 2003. — 14 с.
  13. С.Х. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной по времени // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1994. — Т. 1. — № 1. — С. 17 — 18
  14. С.Х. Первая краевая задача для нагруженного уравнения с дробной производной / Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. Всероссийской конференции. Ч. 3. Самара, 2004. — С. 65 -67
  15. А.В. О задаче типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробной производной // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. физ., мат. Воронеж, 2001. — № 2. — С. 74 — 77
  16. А.В. О связи решений абстрактных дифференциальных уравнений, содержащих дробные производные // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. физ., мат. Воронеж, 2002. — № 2. — С. 61 — 63
  17. А.В. Задача типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробными производными // Матем. заметки. -Т. 77. Вып. 1. — С. 28 — 41
  18. В. М., Киселев В. П., Короткий И. А., Юрков 10. И. Некоторые особенности вычислительных алгоритмов для уравнений дробной диффузии. М.: Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН, 2002.- 57 с.
  19. В. М., Киселев В. П., Короткий И. А. Численные методы решения уравнения дробной диффузии в одномерном случае. М.: Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН, 2002. — 35 с.
  20. В. М., Киселев В. П., Короткий И. А. Численные методы решения уравнения дробной диффузии с дробной производной по времени в одномерном случае. М.: Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН, 2003. — 35 с.
  21. М.Т. Оптимальное управление линейными нагруженными параболическими уравнениями // Дифференц. уравнения.-801 989. Т. 25. — № 4. — С. 641 — 651
  22. М. Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. Алматы, 1995. — 270 с.
  23. М.М. Интегральные преобразования и представленияфункций в комплексной области. М., 1966. — 672 с.
  24. А.С. Три задачи для одного уравнения в дробных частных производных / Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. Всероссийской научной конференции. Ч. 3. Самара, 2004. -С. 94 — 98
  25. А.Н. Задача Коши для дифференциально-разностного нелокального волнового уравнения // Дифференц. уравнения. 2005. -Т. 41. — № 10. — С. 1406 — 1409
  26. А.Н., Зарубин Е. А. Задача Коши для дифференциально-разностных уравнений диффузии дробного порядка / Материалы Воронежской весенней математической школы «Современные методы теории краевых задач: Понтрягинские чтения -XVI». Воронеж, 2005. С. 65
  27. Е.А. О единственности решения задачи Жевре для смешанного уравнения диффузии дробного порядка / Материалы Воронежской весенней математической школы «Современные методы теории краевых задач: «Понтрягинские чтения -XV». Воронеж, 2004. -С. 93 — 94
  28. А.А., Репин О. А. Аналог задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного типа с дробной производной // Дифференц. уравнения. 2003. — Т. 39. — № 5. — С. 638 — 644
  29. Кобеле в В. П., Кобелева О. Л., Кобелев Я. Л., Кобелев Л. Я. О диффузии через фрактальную поверхность // Докл. РАН. 1997. -Т. 355. — № 3. — С. 326 — 327
  30. А.И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче // Матем. заметки. -2004. Т.76. — № 6. — С. 840 — 853
  31. А.Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1976. — 544 с.
  32. А. Н. Диффузия дробного порядка // Дифференц.уравнения. -1990. Т. 26. — № 4. — С. 660 — 670
  33. А.Н. Задача Коши для эволюционного уравнения дробного порядка // Дифференц. уравнения. 1989. — Т. 25. — № 8. — С. 1359 -1368
  34. А.Н., Эйделъман С. Д. Уравнения одномерной фрактальной диффузии // Доп. Нац. АН Украины. 2003. — № 12. — С. 11 — 16
  35. А.Н., Эйделъман С. Д. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка // Докл. РАН. 2004. — Т. 394. — № 2. -С. 159−161
  36. Н.Н. Специальные функции и их приложения. M.-JL, 1953. — 379 с.
  37. Г. П. Основш граничш задач! для одного р1вняння в дробних похщних // Укр. мат. журн. 1999. — Т. 51. — № 1. — С. 48
  38. М.О. Общее представление решения уравнения диффузии дробного порядка с постоянными коэффициентами в прямоугольной области // Изв. Кабардино-Балкарского научного центра РАН. -2004. № 2 (12). — С. 116 — 118
  39. М.О. Краевые задачи для уравнения диффузии дробного порядка с постоянными коэффициентами // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2005. — Т.7. — № 2. — С. 37 -44
  40. A.M. Дробное исчисление и его применение. М., 2003. -272 с.
  41. A.M. Еще раз об одном свойстве оператора Римана-Лиувилля // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2001. — Т.5. — № 2. — С. 42 — 43
  42. A.M. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамикепочвенной влаги и грунтовых вод // Дифференц. уравнения. 1982. -Т. 18. — № 1. — С. 72 — 81
  43. A.M. Об уравнениях состояния одномерных непрерывных систем и их приложениях. Нальчик, 1995. — 59 с.
  44. A.M. Уравнения математической биологии. М., 1995. -301 с.
  45. A.M. Видоизмененная задача Коши для оператора дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом // Дифференц. уравнения. 2000. — Т. 36. — № 7. — С. 903 — 908
  46. A.M., Борисов В. Н. Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений и их приложения к прогнозу уровня грунтовых вод // Дифференц. уравнения. 1977. — Т. 13. — № 1. — С. 105 -110
  47. A.M. Нагруженные уравнения и их приложения // Дифференц. уравнения. 1983. — Т. 19. — № 1. — С. 86 — 94
  48. A.M. О нелокальных краевых задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями // Дифференц. уравнения. -1985. Т. 21. — № 1. — С. 92 — 101
  49. A.M., Кенетова P.O. Математическое моделирование социально-исторических и этнических процессов. Нальчик, 1998. -170 с.
  50. В. А. Краевые задачи для обобщенных дифференциальных уравнений переноса: Автореф. дис.. канд. физ.-мат. наук. Нальчик, 1998. — 9 с.
  51. В.А. Некоторые классы дифференциалных уравнений математических моделей нелокальных физических процессов. Нальчик, 2002. — 100 с.
  52. В.А. Диффернциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. М., 2006. — 173 с.
  53. А.В. Краевая задача для уравнения с частными производными дробного порядка / Труды Международной научной конференции «Современные проблемы математической физики и информационной технологии». Ташкент, 2003. — С. 216 — 217
  54. А.В. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка.- Нальчик, 2005. 186 с.
  55. А.В. Решение краевой задачи для уравнения с частными производными дробного порядка // Дифференц. уравнения. 2003. -Т. 39. — № 8. — С. 1092 — 1099
  56. А.В. Решение краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка методом функции Грина // Дифференц. уравнения. 2003. -Т. 39. — № 10. — С. 1430 — 1433
  57. А.В. Решение первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка // Дифференц. уравнения. 2003. — Т. 39. — № 9. -С. 1286 — 1289
  58. А.В. Метод функции Грина для уравнения диффузии дробного порядка // Труды института математики НАН Беларуси. Минск, 2001.-С. 101−111
  59. А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. -М., 2005. 199 с.
  60. О.А. Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов и дробное интегродифференцирование: Автореф. дис.. докт. физ.-мат. наук. Минск, 1998. — 30 с.
  61. С.Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск, 1987. — 688 с.
  62. Л.И. Нелокальные математические модели процессов переноса в системах с фрактальной структурой. Нальчик, 2002. — 144 с.
  63. К. В. Стохастический перенос и дробные производные // ЖЭТФ. 1995. — Т. 108. — Вып. 5(11). — С. 1875 — 1884
  64. О.П. Краевая задача для дифференциального уравнения в частных производных дробного порядка с различными началами // Изв. Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2004. — № 2 (12).-С. 121−123
  65. О.П. Краевая задача для уравнения с частными производными дробного порядка // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2005. — Т.7. — № 2. — С. 82 — 85
  66. О. П. Краевая задача для нагруженного уравнения с оператором дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом // Вестник СамГТУ. Серия: Физико-математические науки.- Вып. 43. 2006. — С. 24 — 30
  67. О.П. Краевая задача для дифференциального уравнения в частных производных дробного порядка с постоянными коэффициентами // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки.- 2006. Приложение № 11. — С. 22 — 27
  68. Clement Ph., Gripenberg G., Londen S-O. Schauder estimates for equations with fractional derivatives// Transactions of the Amerikan Mathematical Society. 2000. — V. 352. — № 5. — P. 2239 — 2260
  69. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. North-Holland Mathematics studies 204, Elsevier, 2006. — 523 p.
  70. Nigmatullin R. R. The realization of the generalized transfer equation in a medium with fractal geometry // Phus. Status Solidi. B. 1986. -V. 133. — P. 425 — 430
  71. Schneider W.R., Wyss W. Fractional diffusion and wave equation // J. Math. Phys. 1989. — V.30. — № 1. — P. 134 — 144
  72. Wegner F., Grossmann S. Diffusion and trapping on a nested fractal structure // Zeitchr. Phys. B. 1985. — V. 59. — № 2. — P. 197 — 206
  73. Wyss W. The fractional diffusion equation // J. Math. Phys. 1986. -V. 27. — № 11. — P. 2782 — 2785
Заполнить форму текущей работой

Пора сдавать?