Полные, редуцированные и примарные конечные полугруппы

0.1. Постановка задач и основные результаты.

В теории абелевых групп важную роль играют понятия полноты (делимости), редуцированности и примарности. Подход к указанным понятиям, использующий теорию многообразий групп, осуществил JL М. Мартынов. Это позволило ему определить их аналоги для произвольных алгебр [30, 31]. А именно, очевидно, что абелева группа является полной в стандартном смысле тогда и только тогда, когда она не имеет гомоморфизмов на неединичные группы из атомов решетки многообразий абелевых групп (то есть на неединичные абелевы группы простой экспоненты р). Поскольку решетка подмногообразий любого многообразия алгебр является атомной, ясно как определить понятие полной алгебры в этом многообразии, а, следовательно, и понятие редуцированной алгебры, как алгебры, не имеющей неодноэлементных полных подалгебр.

Несколько позже Л. М. Мартыновым в [15] была сформулирована основная проблематика, касающаяся изучения указанных понятий. Там же было отмечено, что обсуждаемые понятия позволяют указать следующий методологический подход к развитию структурной теории алгебр — отправляясь от минимальных многообразий (то есть атомов решетки подмногообразий данного многообразия алгебр), которые зачастую определяются хорошими тождествами и алгебры которых устроены довольно просто, с помощью расширений конструируются редуцированные алгебры с «блоками-факторами» из минимальных многообразий. Поскольку во многих случаях любая алгебра данного многообразия является расширением полной алгебры (в общем случае полной россыпи, то есть дизъюнктного семейства полных подалгебр) с помощью редуцированной алгебры, изучение алгебр в таких случаях можно свести к изучению редуцированных и полных алгебр и их расширений. Другими словами, в этом случае в данном многообразии определен строгий радикал (в смысле Куроша [10]), при этом класс всех полных алгебр является радикальным классом, а класс всех редуцированных алгебр — полупростым. Следуя [19], мы называем этот радикал полным. Яркий пример описанной ситуации доставляют абелевы группы — любая абелева группа является прямой суммой наибольшей полной подгруппы и редуцированной подгруппы, то есть полный радикал в этом случае является расщепляемым. При этом полные абелевы группы имеют исчерпывающее описание — любая ненулевая полная абелева группа является прямой суммой подгрупп, изоморфных аддитивной группе рациональных чисел или квазициклическим группам.

В полугруппах же ситуация гораздо сложнее. Это приводит к содержательной задаче классификации полугрупп, которые могут быть «собраны» из полных и редуцированных полугрупп. Кроме того, в классе полугрупп становится далеко нетривиальным вопрос о характеризации полных и редуцированных объектов. Отметим, что в рамки такого подхода естественно вписывается целый ряд задач, традиционно рассматриваемых в теоретико-полугрупповых исследованиях. Прежде всего, понятие полноты полугрупп по некоторым атомам решетки многообразий полугрупп давно привлекало внимание. Достаточно напомнить исследования по разложимости и неразложимости полугрупп в различные связки своих подполугрупп. В частности, неразложимость полугруппы в полурешетку, левую или правую связку своих подполугрупп соответствует полноте этой полугруппы по соответствующим минимальным многообразиям. С другой стороны, понятие полной полугруппы является ослаблением понятия конгруэнц-простой полугруппы, так как любая конгруэнц-простая полугруппа, не принадлежащая атомам решетки многообразий полугрупп, является полной. Конгруэнц-простые полугруппы могут быть довольно сложно устроены (в силу результатов JI. А. Бокутя [1] и Э. Г. Шутова [28] любая полугруппа вкладывается в конгруэнц-простую). Тем не менее, для некоторых классов полугрупп они имеют достаточно хорошее описание по «модулю групп». Например, конгруэнц-простые конечные полугруппы, не являющиеся простыми группами, имеют исчерпывающее описание [25, с. 97]. Поэтому естественной является задача о характери-зации полных конечных полугрупп. Интерес к конечным полугруппам обу-^ словлен также развитием теории формальных языков, где особую роль играют псевдомногообразия конечных полугрупп (см., напр., [25, с. 174]). Поскольку и редуцированные полугруппы в общем случае могут быть устроены довольно сложно (соответствующий пример доставляют уже абелевы группы), мы останавливаем свой выбор на изучении взаимосвязанных понятий полноты и редуцированности для конечных полугрупп.

В теории групп важную роль играет понятие примарности. Это понятие, как указал Л. М. Мартынов [15], также допускает естественное обобще-Ш' ние для алгебр любого многообразия в терминах конечной разрешимости в смысле Л. Н. Шеврина и Л. М. Мартынова [27, 34] (см. также [13])) моногенных подалгебр по минимальным многообразиям.

В русле проблематики работы [15] указанные понятия изучались для произвольных алгебр в [15, 18, 19], для полугрупп в [17, 20], для модулей в [5, 14,21, 22, 35], для моноассоциативных алгебр в [16], для ассоциативных колец в [6, 7, 23].

Основной целью диссертации является изучение полных, редуцированных и примарных конечных полугрупп.

Наши исследования проводились, в основном, по программе изучения Щ аналогов понятий теории абелевых групп для произвольных многообразий алгебр, содержащейся в [15]. В этой работе отмечено, что определения обсуждаемых понятий естественным образом модифицируются для псевдомногообразий конечных алгебр. Для них также естественна и основная проблематика указанной работы.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1) охарактеризованы полные конечные полугруппы, минимальные Щ, полные конечные полугруппы и доказана вложимость любой конечной полугруппы в полную конечную полугруппу;

2) охарактеризованы редуцированные и примарные конечные полугруппы;

3) охарактеризованы конечные полугруппы с наибольшими полными подполугруппами;

4) охарактеризованы расщепляемые псевдомногообразия конечных полугрупп и псевдомногообразия конечных полугрупп, обладающие полным радикалом.

В качестве следствий результатов 2) и 3) получены описания псевдомногообразий конечных полугрупп с соответствующими свойствами.

Основные результаты диссертации являются новыми, носят теоретический характер и могут найти применение при дальнейших исследованиях в теориях полугрупп и формальных языков.

Результаты диссертации представлены на Международном семинаре, посвященном памяти профессора JI. А. Скорнякова (Волгоград, 1999), на Международной конференция «Алгебра и ее приложения» (Красноярск, 2002), на Международной алгебраической конференции, посвященной столетию со дня рождения П. Г. Конторовича и 70-летию JI. Н. Шеврина (Екатеринбург, 2005), на Мальцевских чтениях (Новосибирск, 2005), докладывались на алгебраических семинарах Омского педагогического университета, Омского и Уральского университетов. Основные результаты диссертации отражены в десяти публикациях автора.

Диссертация содержит 101 страницу и состоит из введения и трех глав, разбитых на семь параграфов. В работе принята тройная нумерация утверждений. Например, номер 2.3.5 означает, что данное утверждение находится во второй главе, третьем параграфе и имеет порядковый номер 5. Библиография содержит 45 наименований.

1. Бокуть Л. А. Некоторые теоремы вложения для колец и полугрупп, 1.// Сиб. мат. ж. — 1963. — Т. 4. — № 3. — С. 500−518.

2. Каргаполов М. И, Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. -М.: Наука, 1982.

3. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. -М.: Мир, 1962.

4. Кон П. Универсальная алгебра. М.: Мир, 1968.

5. Корпев А. И. О полных модулях // Абелевы группы и модули. -Томск, 2000.-Вып. 15.-С. 30−37.

6. КорневА.И., Павлова Т. В. Конечные полные ассоциативные кольца // Математика и информатика: наука и образование. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2002. — Вып. 1. — С. 43−45.

7. КорневА.И., Павлова Т. В. Характеризация одного радикала групповых колец над конечными простыми полями // Сиб. мат. ж. 2004. -Т. 45.-№ 5.-С. 613−623.

8. Кострикин А. И.

Введение

в алгебру. М.: Наука, 1977.

9. КурошА. Г. Радикалы колец и алгебр // Матем. сб. 1953. — Т. 33. -С. 13−26.

10. КурошА. Г. Радикалы в теории групп // Сиб. мат. ж. 1967. -Т. 8.-С. 346−365.

11. Kypoui А. Г. Теория групп. М.: Наука, 1967.

12. Ляпин Е. С. Полугруппы. М.: Физматгиз, 1960.

13. Мартынов Л. М. О проблеме спектров разрешимости для многообразий алгебр // Алгебра и логика. 1990. — Т. 29. — № 2. — С. 162−178.

14. Мартынов Л. М. О примарных и редуцированных многообразиях модулей // Вестник Омского Университета. Омск: Изд-во ОмГУ, 1999. -Вып. 4.-С. 29−31.

15. Мартынов Л. М. О понятиях примарности, полноты, редуцированности и чистоты для произвольных алгебр // Универсальная алгебра и ее приложения: Труды междунар. семинара. Волгоград: Перемена, 2000. -С. 179−190.

16. Мартынов Л. М. О примарных и редуцированных многообразиях моноассоциативных алгебр//Сиб. мат. ж. -2001.-Т. 42. -№ 1. С. 103−112.

17. Мартынов Л. М. Примарные многообразия полугрупп // Математика и информатика: наука и образование. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2001. -Вып. 1.-С.З-9.

18. Мартынов Л. М. О полных и редуцированных алгебрах // Математика и информатика: наука и образование. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2003. -Вып. 1.-С.З-8.

19. Мартынов Л. М. Об одном радикале алгебр со свойством транс-вербальности по минимальным многообразиям // Вестник Омского университета. Омск: Изд-во ОмГУ, 2004. — Вып. 2. — С. 19−21.

20. Мартынов Л. М. Редуцированные многообразия полугрупп // Известия вузов. Математика. 2004. — № 2. — С. 76−79.

21. Овчинников В. В. О кольцах, над которыми каждый модуль является редуцированным // Абелевы группы и модули. Томск, 2000. — Вып. 15. -С. 46−54.

22. Овчинников В. В. О минимальных полных модулях над коммутативными локальными кольцами // Математика и информатика: наука и образование. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2002. Вып. 2. — С. 54−56.

23. Павлова Т. В. Полные ассоциативные артиновы кольца // Вестник Омского университета. Омск: Изд-во ОмГУ, 2005. — Вып. 1. — С. 17−19.

24. ШевринЛ. Н. К общей теории полугрупп // Матем. сб. 1961. -Т 53. -№ 3. — С. 367−386.

25. Шеврин Л. Н. Полугруппы // Общая алгебра / Под ред. JI.A. Скор-някова. М.: Наука, 1991. — Т. 2. — Гл. IV. — С. 11−191.

26. Шеврин JI. Н. К теории эпигрупп. II // Матем. сб. 1994. — Т. 185. — № 9. — С. 153−177.

27. Шеврин Л. К, Мартынов Л. М. О достижимых классах алгебр-Сиб. мат. ж.-1971.-Т. 12.-№ 6.-С. 1363−1381.

28. Шутов Э. Г. Погружение полугрупп в простые и полные полугруппы // Мат. сб. 1963. — Т. 62. — № 4. — С. 496−511.

29. Howie J. М., Idempotents in completely 0-simple semigroups // Glasgow Math. J.-1978.-№ 19.-C. 109−113.

30. Martynov L. M. Primary and reduced varieties of semigroups // International conference «Semigroups and their applications including semigroup rings» St-Peterburg, Russia, 19−30 June, 1995. Abstracts. P. 38.

31. Pastijn F., Volkov M.V. Minimal noncryptic e-varieties of regular semigroups. // (English) J. J. Algebra 184. 1996. — No 3. — C. 881−896.

32. PetrichM. Introduction to semigroups. Columbus, Ohio: Charles E Merrill, 1973.

33. Shevrin L. N., Martynov L. M. Attainability and solvability for classes of algebras // Colloq. Math. Soc. Bolyai (39. Semigroups: Structure and universal algebraic problems, Szeden (Hungary), 1981). North-Holland, Amsterdam e. a. 1985.-P. 397−459.

34. Tuganbaev A. A. Primitively pure submodules and primitively divisible modules // Journal of Mathematical Sciences. 2002. — Vol. 110. — № 3. -C. 2746−2754.Работы автора по теме диссертации.

35. Финк Т. Ю. Конечные полные полугруппы // Универсальная алгебра и ее приложения: Тезисы докл. междунар. семинара, посвященного памяти проф. JI. А. Скорнякова. Волгоград: Перемена, 1999. — С. 71−72.

36. Финк Т. Ю. Конечные полные полугруппы // Естественные науки и экология. Омск: Изд-во ОмГПУ, 1999. — Вып. 4. — С. 8−14.

37. Финк Т. Ю. Вложимость и минимальная полнота конечных полугрупп // Математика и информатика: наука и образование. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2001.-Вып. 1.-С. 20−25.

38. Мартынов Я. М., Финк Т. Ю. О примарных полугруппах // Международная конференция «Алгебра и ее приложения». Красноярск, 2002. -С. 84−85.

39. Финк Т. 10. Конечные полугруппы с наибольшими полными подполугруппами // Международная конференция «Алгебра и ее приложения». -Красноярск, 2002. С. 123−124.

40. Мартынов Л. М., Финк Т. Ю. О примарных полугруппах // Вестник Омского университета. Омск: Изд-во ОмГУ, 2002. — Вып. 3. — С. 18−20.

41. Финк Т. Ю. Конечные полугруппы с наибольшими полными подполугруппами // Математика и информатика: наука и образование. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2002. — Вып. 2. — С. 28−34.

42. Финк Т. Ю. Расщепляемые псевдомногообразия конечных полугрупп // Международная алгебраическая конференция, посвященная столетию со дня рождения П. Г. Конторовича и 70-летию JI. Н. Шеврина. Тезисы докладов. Екатеринбург. Изд-во УрГУ, 2005. — С. 16−17.

43. Финк Т. Ю. Расщепляемые псевдомногообразия конечных полугрупп // Вестник Омского университета. Омск: Изд-во ОмГУ, 2005. -Вып. 4-С. 33−35.

44. Финк Т. 10. Псевдомногообразия конечных полугрупп, обладающих полным радикалом: Препринт. Омск: Изд-во ОмГУ, 2006. 24 С.