Вопросы разложения по собственным функциям несамосопряженных операторов и краевых задач

1. Обзор литературы, связанной с темой исследования.

Диссертация относится к спектральной теории дифференциальных операторов. Постановке и мотивировкам решаемых в диссертации задач и изложению основных результатов предпослан краткий обзор исследований, наиболее близких к теме диссертации.

Развитие теории операторов неразрывно связано с исследованиями в области механики, физики и техникипри этом описание процессов с излучением или поглощением энергии приводит к несамосопряженным спектральным задачам. Большой раздел этой теории составляют вопросы разложения по собственным и присоединенным функциям дифференциальных и других операторов, а также краевых задач для дифференциальных уравнений.

Как в приложениях, так и в теоретических исследованиях, принципиальное значение имеют сведения о возможности построения и свойствах (способ суммирования, скорость сходимости, обусловленность) указанных разложений. К настоящему времени разложения по собственным функциям непрерывного и точечного спектров удается построить и изучить для операторов (в том или ином смысле) близких к самосопряженным. Причиной этого являются трудности, связанные с оценкой нормы резольвенты вблизи точек спектра, неортогональностью спектральных проекторов, а также сложной структурой самого спектра.

Первые результаты о разложении по собственным и присоединенным функциям краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений были получены Г. Д. Биркгофом, В. А. Стекловым, Я.Д. Та-маркиным, Э. Ч. Титчмаршем при помощи метода контурного интегрирования резольвенты.

Этот подход, соединенный с аналитической техникой оценок резольвенты на системах контуров, разделяющих спектр, дает выражения для спектральных проекторов, а также тот или иной способ суммирования спектрального разложения.

В общей теории несамосопряженных операторов большую роль сыграла работа М. В. Келдыша [36], в которой был предложен новый подход к оценке резольвенты и методами комплексного анализа для широкого класса операторов найдены условия полноты систем корневых векторов. Развитию этого подхода (в направлении условий полноты собственных и присоединенных функций и способов суммирования соответствующих разложений) посвящены работы М. С. Аграновича, А. Г. Костюченко, М. Г. Крейна, В. Б. Лидского.

Важное направление в теории несамосопряженных операторов составляют исследования о свойствах (полнота, минимальность, базис-ность) систем собственных и присоединенных функций в случае дифференциальных операторов, а также о свойствах соответствующих разложений (способ суммирования, равносходимость). Ограничимся здесь упоминанием работ В. А. Ильина, Г. М. Кесельмана, В. П. Михайлова, Е. И. Моисеева, Г. В. Радзиевского, В. А. Садовничего, А. П. Хромова, А. А. Шкаликова.

Подход к построению разложений по собственным функциям непрерывного спектра, основанный на существовании операторов преобразования и связанный с теорией рассеяния, был разработан А. Я. Повзнером, Л. Д. Фаддеевым, К. О. Фридрихсом.

Вопросы спектрального анализа некоторых классов несамосопряженных операторов с помощью функциональной модели Б. Секефальви-Надя и Ч. Фояша исследовались в работах С. Н. Набоко, Н. К. Никольского, Б. С. Павлова и ряда других авторов. На этом пути были получены условия базисности систем экспонент и формулы разложения по собственным функциям для диссипативных дифференциальных операторов.

Построение спектральных разложений для несамосопряженных дифференциальных операторов и краевых задач с непрерывным спектром представляет собой трудную задачу. Впервые разложение такого рода было построено М. А. Наймарком [72] (подробное изложение — в [73]) для оператора Шредингера на полуоси с комплексным потенциалом q (x), удовлетворяющим условию (1 + x2) q (x) Е Li (0, оо). Соответствующее спектральное разложение выражается посредством регуля-ризованного интеграла от разности предельных значений резольвенты на вещественной оси и, таким образом, явно вычисляется спектральная функция (см. [22]). В тех случаях, когда указанное выше условие не выполнено, спектральная функция может оказаться обобщенной [66].

Л.Д.Фаддеевым в работе [99] было выполнено сведение гидродинамической задачи Рэлея (см. (1)-(2) ниже) к несамосопряженной модели Фридрихса и построена система собственных функций непрерывного спектратаким образом, эта работа подводит к вопросу о построении разложения по собственным функциям непрерывного спектра, а также собственным и присоединенным функциям точечного спектра, краевой задачи для уравнения Рэлея (см. также [25]). Специфика этой задачи состоит в том, что уравнение Рэлея имеет особую точку, зависящую от спектрального параметра. Широкий класс обыкновенных дифференциальных уравнений такого типа был исследован В. А. Садовничим в [85], где, в частности, изучены аналитические свойства фундаментальной системы решений этих уравнений вблизи их особенностей.

Применительно к спектральным операторам отмеченные выше подходы к получению разложений по собственным (и присоединенным) векторам имеют много общего с методом построения полной системы обобщенных собственных функций, использующим оснащение основного гильбертова пространства и восходящим к известной теореме И. М. Гельфанда и А. Г. Костюченко (см. 17]).

В литературе отмечалось (см. [38]), что получение условий спектральности дифференциальных операторов — трудная задача. Условия, обеспечивающие спектральность обыкновенных дифференциальных операторов, были найдены в [51] и [69]. В работе [69] установлено, что собственные и присоединенные функции дифференциального оператора в ?2(^, 6), порожденного усиленно регулярными краевыми условиями, образуют базис Рисса, т. е. базис, эквивалентный ор-тонормированному. При этом от условия усиленной регулярности отказаться (как показывает пример, построенный в [39]) нельзя. В работах [1],[107],[35] найдены условия базисности (со скобками) системы собственных и присоединенных векторов для общих операторов с дискретным спектром, близких к самосопряженным (нормальным) — эти условия выражаются соотношением между показателем степенной асимптотики собственных значений невозмущенного оператора и порядком подчиненности возмущения. В таких ситуациях представляет интерес изучение степени неортогональности корневых векторов. В связи с вопросами гидродинамической устойчивости роль сильной неортогональности собственных мод впервые, по-видимому, была отмечена Б. Фарреллом [118] (см. также [135]).

При исследовании спектральных свойств сингулярно возмущенных операторов приходится отказываться от методов аналитической теории возмущений. С другой стороны, абстрактная теория в этой области «развита не настолько, чтобы включать в себя сингулярную теорию возмущений для дифференциальных операторов» (см. [34]). Подходящим средством спектрального анализа сингулярно возмущенных операторов оказывается сильная резольвентная сходимость. Ключевую роль в сингулярной теории возмущений применительно к дифференциальным операторам занимают асимптотические методыцентральные результаты здесь получены В. Вазовом, А. Б. Васильевой и В. Ф. Бутузовым, Ю. Н. Днестровским и Д. П. Костомаровым, А. А. Дородницыным, С. А. Ломовым, В. П. Масловым, М. В. Федорюком. В связи с прикладными задачами особый интерес в асимптотической (сингулярной) теории возмущений вызывает изучение перехода от дискретного спектра к непрерывному и, в частности, спектральный анализ краевых задач гидродинамики в пределе исчезающей вязкости.

В упомянутой выше работе М. В. Келдыша [36] были заложены основы спектральной теории операторных пучков, отвечающих задачам на собственные значения с нелинейным вхождением спектрального параметра. Важный класс квадратичных пучков был изучен в [45] с помощью теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой, берущей свое начало от работы Л. С. Понтрягина [81]. Наряду с вопросами кратной полноты и базисности системы собственных и присоединенных векторов одна из центральных задач в теории полиномиальных операторных пучков — исследование свойств полноты и базисности части собственных и присоединенных векторов пучка (см. [32],[42]). Что касается операторных пучков с непрерывным спектром — они до сих пор остаются недостаточно изученными. К данному направлению относятся (представляющие значительный теоретический и прикладной интерес) краевые задачи для дифференциальных уравнений с особенностями, зависящими от спектрального параметра.

Настоящая диссертация посвящена изучению спектральных задач для уравнений с особыми точками, положение которых зависит от спектрального параметра, и сингулярных возмущений таких уравнений и соответствующих им операторов.

В этом контексте проявляются все отмеченные выше трудности построения и изучения разложений по собственным и присоединенным функциям. Мотивировка конкретных задач, которые решаются в диссертации, продиктована, с одной стороны, развитием спектральной теории, а с другой, — вопросами, возникающими при изучении краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.