Прогресс во многих отраслях современной промышленности, таких как машиностроение, атомная энергетика, металлургия и химическая промышленность связан с интенсификацией теплоэнергетических процессов, оптимизацией тепловых режимов изделий, их тепловыми испытаниями. Для многих технических объектов характерно наличие элементов конструкций и агрегатов, работающих в условиях экстремального теплового нагружения, при этом тенденция состоит в дальнейшем ужесточении условий их функционирования при одновременном повышении требований к надежности и ресурсу. В первую очередь сказанное относится к объектам авиационной и ракетно-космической техники. Например, для спускаемых аппаратов, или для многоразовых аэрокосмических систем тепловое проектирование является одним из ключевых этапов разработки, определяющим основные проектно-конструк-торские решения.
Перспективным направлением в исследовании и отработке тепло-нагруженных конструкций, а также технологий производства, связанных с реализацией требуемых тепловых процессов, является методология, основанная на решении обратных задач теплообмена (ОЗТО) [1]. В дальнейшем под ОЗТО будем понимать в основном задачи диагностики и идентификации параметров тепловых процессов. Соответственно трем основным способам теплообмена рассматриваются обратные задачи: теплопроводности (ОЗТ), конвективного теплообмена, радиационного теплообмена. ОЗТ, в свою очередь, делятся на граничные, ретроспективные, геометрические и коэффициентные. Граничные задачи заключаются в нахождении функций и параметров, входящих в граничные условия, ретроспективные — в нахождении начальных условий, геометрические — в реконструировании геометрических характеристик границы области, коэффициентные — в нахождении коэффициентов уравнений в частных производных, описывающих процесс теплообмена. Данная методология успешно развивается на протяжении двух последних десятилетий и нашла практическое применение в различных областях техники. Основная причина столь широкого применения связана, в частности, с возможностью учета эффектов нестационарности, нелинейности, и пространственного характера теплообменных процессов. Кроме того, данный подход позволяет проводить экспериментальные исследования в условиях, близких к натурным или непосредственно на этапе эксплуатации, является более информативным по сравнению с классическими методами, что позволяет ускорить проведение экспериментальных работ и тем самым уменьшить цикл отработки нового изделия. В последние годы проводится также работа по созданию автоматизированных систем, реализующих методологию ОЗТО, объединенных под управлением единого монитора в рамках персонального автоматизированного рабочего места (ПАРМ) инженера-исследователя тепловых процессов [30].
За последнее десятилетие произошел беспрецендентный скачок в развитии вычислительных средств. Так, на сегодняшний день, большинство алгоритмов ОЗТО, требующих (по понятиям десятилетней давности) немалых вычислительных ресурсов, могут быть легко реализованы на персональном компьютере. Весьма впечатляют и возможности современных спецвычислителей, в частности, сигнальных процессоров 3-го поколения. Поэтому, не вызывает удивления тот факт, что одна из наиболее значимых тенденций в развитии современной техники заключается в насыщении технических объектов электронными системами, осуществляющими управление на всех уровнях и, но все более сложным алгоритмам, т. е. в общем повышении уровня «интеллекта» технических систем. С учетом этой тенденции можно говорить также о системах автоматического управления (САУ) тепловыми процессами, в том числе о замкнутых, т. е. реализующих принцип обратной связи. Уточним, что речь идет о существенно нестационарных, быстротекущих тепловых процессах, несводимых к регулярным режимам. Причины, побуждающие использовать замкнутые САУ для тепловых процессов те же, что и в случае, когда мы имеем дело, например, с системами управления движением. Это, во-первых, влияние различных случайных факторов, предварительный учет которых, зачастую, просто невозможен, а во-вторых — комплексный характер рассматриваемых процессов, и, как следствие, недостаточная адекватность их математического описания. На сегодняшний день эти проблемы обходят за счет соответствующего теплового проектирования, когда рабочие характеристики теплонагруженных элементов конструкций выбираются таким образом, чтобы с некоторым коэффициентом запаса гарантировать их работоспособность при наиболее неблагоприятном сочетании определяющих факторов. Однако, вполне возможно представить ситуации, когда подобный подход приводит к выбору неоптимальных проектных решений. В частности, вопрос об оптимальности приобретает особое значение в связи с созданием многоразовых аэрокосмических систем, а также аппаратов длительного функционирования, когда значительное превышение коэффициента запаса существенно сказывается на конечной эффективности и стоимости.
В качестве примера систем, где целесообразно использование замкнутых САУ можно привести различные варианты активных систем тепловой защиты (ТПЗ), таких как конвективное, пленочное и пористое охлаждение теплонагруженных конструкций. Последнюю рассмотрим более подробно [22]. Пористое охлаждение предполагается использовать, в частности, для летательных аппаратов, входящих в атмосферу с гиперзвуковой скоростью, в качестве альтернативы различным видам разрушаемой тепловой защиты, при использовании которых может изменяться геометрия носовой части объекта и, следовательно, условия обтекания, со всеми вытекающими отсюда проблемами для управления и обеспечения требуемой точности движения. Пористая ТПЗ может представлять собой набор пористых вставок, с заданным шагом расположенных на охлаждаемой поверхности ЛА, через которые продувается холодный газ. За счет большой поверхности теплообмена в пористом теле происходит интенсивный теплосъем с пористого каркаса, а охлаждение несущей поверхности происходит в результате оттока тепла в направлении пористых вставок. Кроме того, происходящий при этом вдув газа в набегающий поток приводит к увеличению толщины пограпслоя и уменьшению трения, что служит еще одним важным механизмом защиты. Однако, данная картина является лишь первым приближением, и может быть сильно искажена при протекании в пристеночном слое химических реакций, а также присутствием радиационной составляющей теплового потока, которая в ряде случаев вообще может оказаться доминирующей. Таким образом, имеет место комплексный физический процесс, настолько сложный, что существующие математические модели дают не более чем качественное представление о нем. Конкретная реализация данного процесса обусловлена влиянием множества внешних случайных факторов, от состояния атмосферы до флуктуаций угла атаки. В рассматриваемом примере, по-видимому, целесообразно применение замкнутой САУ, задача которой заключается в удержании температуры поверхности на уровне, гарантирующем ее неразрушение. Для работы такой системы необходимо знать в текущий момент времени и для заданного набора точек поверхности: температуру, тепловой поток по направлению нормали к поверхности, тепловой поток вдоль поверхности в направлении пористых вставок. Если перенос энергии излучением играет значительную роль необходимо также разделять конвективную и радиационную составляющие теплового потока. Все перечисленные величины могут быть определены на основании косвенных температурных измерений с использованием методов решения ОЗТ, однако для этого необходима такая модификация этих методов, которая позволила бы решать задачу наблюдения, т. е. идентифицировать заданные параметры в реальном масштабе времени. В качестве управляющих параметров могут служить расход охладителя и его химический состав. Использование подобной системы позволило бы компенсировать ошибки модели и влияние случайных факторов, а в результате более эффективно решать поставленную задачу, оптимизируя при этом расход охладителя по поверхности и во времени.
Другая область, где может оказаться необходимым управлять тепловыми нагрузками по принципу следящей системы или осуществлять непрерывную во времени температурную диагностику объекта — это тепловые эксперименты и испытания. К примеру, требуется воспроизводить на стендах заданные временные зависимости тепловых потоков или температур в образцах и моделях, получая информацию от контрольных датчиков. Для моделирования нестационарных тепловых потоков большой мощности образец материала может быть помещен в высокотемпературную дозвуковую газовую струю, вытекающую, например, из сопла плазмотрона, а интенсивность теплового воздействия может изменяться за счет регулирования по заданной программе расстояния от образца до сопла плазмотрона. Однако, первоначально необходимо провести тарировку, т. е. получить зависимости температуры струи и коэффициента теплоотдачи от координаты вдоль струи. Впоследствии, любое изменение условий эксперимента, например, смена сопла, изменение газового состава смеси, формы или размера образца ведет к необходимости заново проводить тарировку. В данном примере целесообразно построение замкнутой САУ, задача которой заключается в отработке заданной зависимости теплового потока к поверхности образца (в этом случае САУ входит в состав автоматизированной системы). Для этого в текущий момент времени необходимо знать температуру газовой струи и коэффициент теплоотдачи, либо непосредственно тепловой поток в образец. Как и прежде, перечисленные параметры могут быть получены (идентифицированы) с использованием соответствующих модификаций методов решения ОЗТ. Управляющим параметром служит координата расположения образца в газовой струе. Если же моделируемые процессы столь скоротечны, что быстродействие вычислительного устройства или инерционность датчиков не позволяют построить замкнутую САУ, тем не менее остается необходимость экспресс-тарировки и быстрого вычисления оптимального управления. В этом случае имеет смысл говорить об алгоритмах идентификации параметров теплообмена в масштабе времени, близком к реальному.
При проведении экспериментальных исследований целесообразно производить экспресс-обработку экспериментальных данных, даже при условии, что более полные и точные результаты будут получены по завершении эксперимента. Это позволяет следить за ходом испытаний и контролировать проходящие процессы, например, с целью выявления внештатной ситуации и своевременного их прекращения. Для этого, к примеру, требуется знать в текущий момент времени температуру поверхности объекта в наиболее опасной точке или сечении. В качестве иллюстрации рассмотрим проблему измерения высоких температур и тепловых потоков большой мощности. В настоящее время для измерений в основном используются следующие термопары: вольфрам-вольф-рамренивые до 2500К, платино-платинородиевые до 1800−1900К, хро-мель-алюмелевые до 1600−1700К, и хромель-копелевые до 1100К. Предположим, что задача состоит в измерении температуры металликг ческого расплава и для этой цели используется температурный зонд, который на короткое время вводится в расплав (при этом темпеатура поверхности зонда приблизительно становится равной температуре расплава), а затем убирается и охлаждается до начальной температуры (рис. 1, кр. 1). Допустим, что чувствительный элемент зонда можно рассматривать как пластину заданной толщины, на теплоизолированной поверхности которой располагается термопара. Как показано на рис. 1, при соответствующем выборе длительности зондирования температура в точке заделки термопары составляет порядка 25% от температуры поверхности зонда (кр. 2), однако этого вполне достаточно чтобы получить оценку температуры поверхности (кр. 3) из решения граничной ОЗТ.
1.2 г*т/Г'ТТ ' ' '" «*'» «тих.
10 —ГТ^Т—.
08—?П—о.б-4—.
0.4-—-Т;
02—Г/^-^-—.
0.0 ШШШ1У—Ч."¦¦¦¦.^.
— 0.2'——.
0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0.
Рис. 1. Оценка температуры поверхности зонда из решения ОЗТ.
При расчетах использовались теплофизические свойства материала пластины характерные для молибдена. Для измерения температуры расплава стали в мартеновской печи можно использовать чувствительный элемент из молибдена, покрытый керамической пленкой на основе дисилицида молибдена или двуокиси циркония. Верхняя граница температуры поверхности такого элемента в агрессивной среде составляет около 2300К). Таким образом, использование методов решения ОЗТ позволяет определять значения высоких температур, в действительности измеряя температуры существенно более низкие. В рассматриваемом примере это позволяет применить вместо вольфрам-вольфрамре-ниевых термопар высокотехнологичные хромель-алюмелевые. При этом результирующая точность определения искомой температуры может оказаться существенно более высокой, чем при непосредственном измерении в высокотемпературной зоне. Следует также отметить, что если интервал зондирования мал настолько, что измеряемую температуру среды и коэффициент теплообмена на поверхности зонда можно считать стационарными на интервале, то нет необходимости ждать, пока температура поверхности зонда выровняется с температурой среды. В рассматриваемом случае задача САУ может состоять в управлении движением зонда, исходя из условия наилучшей идентификации искомых параметров, при ограничениях на температуру поверхности зонда и температуру в точках заделки термопар.
Т/Тта аг.
Д1.
•ч' 1 л.
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.
Для измерения высоких температур и тепловых потоков большой мощности представляется перспективным применение охлаждаемых датчиков, когда поверхность чувствительного элемента, противоположная нагреваемой, охлаждается тем или иным образом [20]. В этом случае температура нагреваемой поверхности чувствительного элемента Т&bdquoможет оказаться значительно более низкой по сравнению с температурой внешней среды Т. е. Для определения Те требуется знать коэффициент теплоотдачи а^, либо определять его значение одновременно с Т. е. Для этого необходимо использовать два чувствительных элемента, температура на поверхности которых должна, по возможности, отличаться [20]. Это отличие может быть достигнуто за счет различия теп-лофизических свойств материалов чувствительных элементов, но более эффективным может оказаться использование различных режимов охлаждения. Размер чувствительных элементов и расстояние между ними должны быть столь малыми, чтобы коэффициент теплоотдачи а^ можно было считать одинаковым. Очевидно, что это требование, легко выполнимое для реальных объектов, необходимо учитывать при исследованиях с использованием малоразмерных моделей.
Иногда возникает необходимость разделения конвективной и радиационной составляющих теплового потока, например, для определения эффективности вдува и оптимального соотношения вдуваемых компонент. В этом случае необходимо использовать измерительную систему, состоящую уже из трех чувствительных элементов, поверхности которых должны иметь различную температуру, а также разную приведенную степень черноты г1 (рис. 2). Наиболее просто искомые величины а, Те, в момент времени * ¦ могут определяться из системы.
ЬЯг + <*С4/ - Те) = Чт +, * = где значения, Тм>1 — есть оценки температуры поверхности и теплового потока в /-й чувствительный элемент в момент времени, полученные в результате решения соответствующей ОЗТ. Для определения более точных значений а, Те, дг следует применять и более сложные алгоритмы, например рассматривать систему уравнений в смысле наименьших квадратов для нескольких моментов времени, или использовать регуляризацию. о, Ге.
Рис. 2. Схема датчика для одновременного определения параметров радиационного и конвективного теплообмена.
В данном примере САУ должна решать задачу обеспечения наилучшей обусловленности системы уравнений при ограничениях на температуры 7^,. В качестве управляющих следует рассматривать параметры а, 7]. Изменение aj может осуществляться за счет управления расходом охлаждающего газа.
Во всех приведеных выше примерах для обеспечения работы замкнутых САУ, быстрого вычисления оптимального управления, оперативной диагностики параметров теплообмена и экспресс-обработки результатов эксперимента требуется обеспечить наблюдение заданных параметров, или идентификацию в масштабе времени, близком к реальному. При этом налицо существование ряда базовых проблем, таких как: наблюдение граничных условий 1-го и 2-го рода, температуры внешней среды и коэффициента теплоотдачи на поверхности, наблюдение радиационного теплового потока. Эти проблемы могут быть вычленены из общего массива проблем ОЗТО с целью создания автономных блоков, предназначенных для их решения, что позволит собирать исследовательские комплексы как комбинацию подобных подсистем, т. е. перейти на более высокий, блочный уровень конструирования. Проиллюстрируем данную идею. Диагностика и идентификация тепловых систем основывается на измерениях температуры, которые, чаще всего, производятся с помощью термопар. Непосредственно измеряемой величиной служит э.д.с., порождаемая спаем разнородных материалов. Далее производится оцифровка данных и ввод в ЭВМ, где они используются для решения той или иной задачи. Предположим, что эта задача заключается в определении теплового потока в элемент поверхности. Обычно для этой цели используется экспоненциальный калориметр: металлический (обычно медный) диск, теплоизолировани и ТЛ ныи везде, за исключением воспринимающей поверхности. В толще диска располагается термопара. Предполагая, что температурное поле диска удовлетворяет условиям регулярного режима, на основе уравнения теплового баланса вычисляется искомый тепловой поток. Подобный метод позволяет измерять только стационарные или медленно изменяющиеся тепловые потоки. Используя методологию решения ОЗТ можно получить оценки существенно нестационарных тепловых потоков с большей точностью и практически исключив инерционность измерений, однако за счет применения достаточно сложной математической обработки результатов первичных измерений. Рассмотрим систему объединяющую в себе: чувствительный элемент с термопарами, аналого-цифровой преобразователь, специализированное вычислительное устройство, реализующее алгоритм решения соответствующей ОЗТ, устройства управления и отображения информации. Будем называть.
V) и // <�" такой аппаратно-программный комплекс интеллектуальным датчиком, или «макродатчиком». Выходным сигналом такого датчика является непосредственно искомый тепловой поток к поверхности в момент времени, запаздывающий на заданную величину по отношению к текущему моменту, а не первичные показания термопар. Создание набора подобных «макродатчиков» для решения разнообразных функциональных задач в заданных диапазонах изменения наблюдаемых величин может означать переход на новый уровень в технике тепловых измерений.
Таким образом, для реализации всех вышеперечисленных устройств и измерительных методик необходимо решить задачу наблюдения теплового состояния объекта по результатам температурных измерений в конечном числе точек внутри объекта и на его границе. Под тепловым состоянием будем понимать текущее распределение температуры, условия на границах, и мощность внутренних источников. В качестве модели процесса теплопереноса в твердом теле используется уравнение теплопроводности, коэффициенты которого известны. Формально, математическая постановка данной задачи классифицируется как ОЗТ. Решение ОЗТ в реальном масштабе времени и означает решение задачи наблюдения.
Итак, актуальность рассматриваемой темы определяется широким спектром приложений методологии ОЗТО и существованием подкласса задач, требующих решения в режиме on-line.
Цель данной работы состоит в специальной адаптации методов решения ОЗТ к решению задачи наблюдения.
При решении ОЗТ в реальном (или близком к реальному) масштабе времени необходимо учитывать две проблемы. Первая обусловлена физической природой процесса теплопроводности, и выражается в значительной задержке отклика на искомое воздействие и его сильном демпфировании. С одной стороны, это является физической причиной некорректности математической постановки ОЗТ. В терминах характерных для теории управления это означает что мы имеем дело с теоретически ненаблюдаемой системой, С другой стороны, что в нашем случае очень важно, любая оценка текущего теплового состояния объекта представляет собой чистую экстраполяцию. Как показывают расчеты, ошибка экстраполяции может быть недопустимо велика, а оценки приемлемой точности могут быть получены только ретроспективно. Вторая проблема заключается в построении алгоритмов, специальным образом адаптированных для быстрого решения ОЗТ. При этом необходимо, чтобы время вычисления текущей оценки составляло небольшую часть от величины интервала вынужденного ретроспективного сдвига.
Как было сказано выше, методология решения ОЗТ развивается на протяжении последних двадцати лет и этой проблеме посвящено множество публикаций, однако разработка проблемы в аспекте наблюдения встречается при этом весьма редко. Очевидно, что для решения задачи наблюдения наиболее подходят последовательные алгоритмы, где для получения оценки текущего теплового состояния объекта используется выборка ограниченного объема. Известны следующие последовательные методы: прямые численные методы, основанные на конечно-разностном представлении уравнения теплопроводности [1,6] (Алифа-нов О. М, Бек Дж.), метод оптимальной динамической фильтрации в приложении к задачам идентификации тепловых процессов [19,23] (Мацевитый Ю.М., Симбирский Д.Ф.), методы последовательной функциональной аппроксимации [6](Бек Дж.), а также метод инверсных цифровых фильтров [24](Тарасов P.A.). Все эти методы будут рассмотрены более подробно в главах диссертации. Сейчас отметим только один их общий недостаток: эти алгоритмы построены таким образом, что очередная оценка теплового состояния объекта вычисляется на основании предыдущей. Во-первых, это означает, что необходимо либо иметь оценку теплового состояния объекта в некоторый момент времени, который условно считается начальным, либо отработать переходный режим, имея уверенность в том, что процесс оценивания сходится. На практике это означает, к примеру, необходимость предварительного включения алгоритмов и их последующую непрерывную работу. Во-вторых, при таком способе решения ошибки вычислений на текущем временном сечении переходят дальше, и при определенных условиях могут накапливаться.
— 15 В настоящей диссертации предлагается еще один метод построения последовательных алгоритмов. В основе метода лежит рассмотрение исследуемого теплового процесса на некотором относительно малом временном интервале, предшествующем текущему моменту времени. При этом, наряду с искомым на интервале граничным условием, неизвестным является также начальное распределение температуры. В этом смысле, согласно классификации работы [1], данную постановку обратной задачи следует отнести к гранично-ретроспективным ОЗТ. Эта постановка является самодостаточной в том смысле, что для решения задачи изначально не требуется какой-либо информации о предыдущих состояниях (хотя при наличии такой информации она может быть использована). Последовательное повторение данной процедуры с выбранным шагом по времени позволяет восстановить тепловое состояние объекта на отрезке времени произвольной продолжительности. Такой способ организации вычислений позволяет: включать и выключать систему оценивания по мере необходимости, использовать произвольный временной шаг между последовательными оценками, отбраковывать оценки в случае, если их достоверность вызывает сомнения. Кроме того, поскольку с течением времени ошибки не накапливаются в ряде случаев возникает возможность значительной экономии вычислительных затрат.
Основным методом исследования в данной работе является вычислительный эксперимент. Поскольку классические методы решения ОЗТ прекрасно изучены и проверены на множестве реальных экспериментов, основным критерием достоверности будет служить степень совпадения результатов, полученных этими методами и предлагаемым методом.
Научная новизна полученных результатов состоит в следующем: — предложен новый способ организации последовательной процедуры решения граничной ОЗТ, основанный на переходе к гранично-ретроспективной постановке;
— 16- предложен быстрый алгоритм решения линейной гранично-ретроспективной ОЗТ с использованием техники сингулярного разложения;
— впервые в практике решения ОЗТ применяется метод оценки точности, построенный на анализе передаточных функций регуляризирован-ного фильтра;
— разработано комплексное правило выбора параметра регуляризации, эффективное в случае построения оценки на базе малой выборки измерений;
— показана актуальность задачи планирования измерительной схемы при решении гранично-ретроспективной ОЗТ, рекомендованы некоторые оптимальные схемы датчика теплового потока;
— доказана сходимость метода возмущений для решения прямой задачи теплопроводности, определены условия сходимости;
— обоснована возможность применения регуляризированного метода последовательных приближений для решения нелинейной ОЗТ в ряде практически важных случаев;
— разработан новый метод построения алгоритмов, устойчивых к погрешностям модели, и на основе этого метода предлагается безитераци-онный метод решения нелинейной ОЗТ;
— разработан экономичный алгоритм решения двухпараметрической задачи наименьших квадратов.
Основными положениями, выносимыми на защиту являются:
1. Концепция измерительных технологий, требующих решения задачи наблюдения.
2. Принцип построения последовательной процедуры.
3. Принцип разработки системы наблюдения, состоящий в одновременном планировании измерительной схемы и параметров фильтра.
4. Экономичный алгоритм решения линейной гранично-ретроспективной ОЗТ, метод анализа точности ее решения и комплексное правило выбора параметра регуляризации.
5. Экономичный алгоритм решения нелинейной гранично-ретроспективной ОЗТ на базе метода последовательных приближений.
6. Метод линеаризации нелинейной ОЗТ посредством формулировки расширенной проблемы оптимального управления.
7. Экономичный метод решения двухпараметрической задачи наименьших квадратов.
8. Разработанное программное обеспечение в виде пакета прикладных программ.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: Международном Астронавтическом Конгрессе (Турин, Италия, октябрь 1997 г.) — международной конференции «Обратные задачи и идентификация динамических систем» (Санкт-Петербург, август 1994 г, Москва-Санкт-Петербург, июнь 1998 г.).
Отдельные результаты докладывались на научных семинарах: в Московском авиационном институте (руководитель проф. О.М. Али-фанов) — в Институте вычислительной математики (руководитель проф. Е.Е. Тыртышников) — в Вычислительном центре МГУ (руководитель профессор В.А. Морозов).
Внедрение результатов работы: Созданные алгоритмы внедрены в МАИ, как составная часть экспериментально-вычислительного комплекса ПАРМ [30], а также на НПО им. Лавочкина (как алгоритмы экспресс-обработки результатов измерений при тепловакуумных испытаниях космических аппаратов), что подтверждается соответствующими актами внедрения. Материалы диссертации нашли отражение в научно-технических отчетах МАИ, выполненных по заказу РКА.
Диссертация структурно состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы и приложения. В главе 1-й вводится основной принцип решения задачи наблюдения, состоящий в формулировке на малом временном интервале гранично-ретроспективной обратной задачи. Рассматривается случай, когда коэффициенты уравнения теплопроводности постоянны. Решение задачи записывается в явном виде в зависимости от значения параметра регуляризации. Исследуется потенциальная точность решения. Приводятся рекомен.
4.5. Основные результаты главы.
В данной главе рассматривается метод решения задачи наблюдения температурного поля, которое задается квазилинейным уравнением теплопроводности. Метод состоит в линеаризации исходной нелинейной постановки посредством замены нелинейных членов модели некоторыми неопределенными возмущениями, которые аппроксимируются линейными комбинациями базисных функций. Коэффициенты этих линейных комбинаций также считаются неизвестными величинами и подлежат идентификации наряду с искомыми краевыми условиями. Специфика задачи состоит в некорректности исходной постановки и необходимости регуляризации в виде (4.5). Выведено выражение для ошибки оценивания (4.33), и исследовано поведение компонент этой ошибки в зависимости от значений параметров, а и 0 для ряда примеров. Показано, что в некоторой области изменения параметров ошибка оценивания мала, т. е. среди множества квазирешений, минимизирующих (4.5) существуют достаточно близкие к точному. Проблема, таким образом, состоит в нахождении оптимальных значений параметров. Один из возможных вариантов приводится в гл. 4.5, однако следует признать, что вопрос выбора параметров, а скорее эффективного алгоритма выбора параметров требует дальнейших исследований.
Замечание 1. Задача (4.2)-(4.4) может заменять задачу (3.8),.
3.9) на первом этапе метода последовательных приближений (3.8)-(3.12), что обеспечивает скорейшую сходимость метода, однако данная замена эффективна лишь на первых приближениях, и в ряде случаев обеспечивает получение решения на первой же итерации.
Замечание 2. Если коэффициенты аппроксимации неопределенной возмущающей функции не идентифицируются в ходе решения задачи, т. е. задача рассматривается в смысле минимизации.
3.10), функция рассматривается просто как дополнительный шумовой вход и может интерпретироваться как погрешность задания модели. В этом случае для выбора параметра регуляризации предлагается использовать обобщенный принцип невязки [29]. Еще один способ построения алгоритма устойчивого к ошибкам модели рассматривается в работе [31]. Способ строится на более тонком учете свойств невязки как функции, однако по сути не отличается от обобщенного принципа невязки. Не вдаваясь в подробности просто отметим, что использование этого принципа означает попытку подавить влияние (7(тд) только за счет увеличения а. На рис. 27−30 задаче (3.10) соответствуют значения коэффициентов при максимальном значении 0 = 104. Нетрудно видеть, что эффективность такого подхода значительно ниже, поскольку он приводит к чрезмерному росту смещения.
Замечание 3. Задача (4.2)-(4.4) может возникнуть не только при линеаризации нелинейной ОЗТ. Рассмотрим, к примеру, линейную задачу, однако предположим, что наблюдается температурное поле не бесконечной пластины, а цилиндра заданного радиуса. На боковой поверхности цилиндра происходит теплообмен такой интенсивности, что одномерная модель является неадекватной. В этом случае мы можем оставаться в рамках одномерной модели если введем в правую часть уравнения теплопроводности функцию 0{т, х), которая имеет смысл дополнительного источника или стока тепла. Далее необходимо использовать предлагаемый алгоритм, позволяющий наилучшим образом подавить влияние 0{%, х) на результат. При этом, для выбора оптимальных значений параметров необходима некоторая дополнительная информация относительно функции <2(т, х). Эта информация, однако, может носить достаточно общий и приблизительный характер, и может быть получена на основе каких-либо априорных соображений, либо в результате дополнительных измерений и т. д.
Замечание 4. Для наблюдения нестационарного температурного поля в случае линейной модели процесса мы используем, по сути дела, регуляризированный линейный цифровой фильтр, передаточные функции которого зависят от параметра регуляризации. Изложенный выше способ линеаризации позволяет использовать линейный цифровой фильтр также в случае, когда модель процесса нелинейна, однако передаточные функции этого фильтра зависят уже от двух параметров: параметра регуляризации и весового параметра, отвечающего за подавление влияния неопределенной возмущающей функции. Очевидно, что этот метод является приближенным.
— 116 -Заключение.
Для идентификации параметров тепловых процессов, протекающих в теплонагруженных конструкциях объектов современной техники, широко используются методы решения ОЗТО, позволяющие определять параметры существенно нестационарных и нелинейных тепловых процессов по данным косвенных измерений. Преимущество этих методов заключается также в возможности проводить экспериментальные исследования в условиях, близких к натурным, или непосредственно на этапе эксплуатации объекта. Отмеченные факторы особое значение имеют для объектов авиационной и ракетно-космической техники, где и возникли одни из первых постановок и методов решения ОЗТО.
Среди множества подобных задач можно выделить подкласс, когда весьма существенную роль играет время решения. Это либо задачи наблюдения параметров теплообмена и тепловых состояний исследуемых объектов, возникающие при необходимости управления с обратной связью, либо задачи их оперативной идентификации в масштабе времени, близком к реальному, или экспресс-анализ.
Выполненные в диссертационной работе исследования имеют целью специальную адаптацию методов решения ОЗТ для приложения к задачам наблюдения и экспресс-обработки результатов измерений. Наиболее существенными из полученных в работе результатов являются следующие:
1. Предложен и обоснован метод построения последовательной процедуры решения граничной ОЗТ, состоящий в переходе к гранично-ретроспективной постановке задачи на малом временном интервале, предшествующем текущему моменту времени. Данный метод наиболее эффективен именно для существенно нестационарных (несводимых к регулярным режимам) тепловых процессов, характерных для конструкций ЛА. Способ имеет ряд «технологических» преимуществ и наиболее подходит для создания системы наблюдения.
2. Впервые в практике решения ОЗТ для оценки точности решения использован подход, основанный на анализе передаточных функций регуляризированного фильтра. Тем самым, получен объективный критерий качества алгоритмов, применяемый по ходу работы для оптимизации и выбора параметров.
3. Предложен метод выбора параметра регуляризации, актуальный в случае, когда оценка вычисляется на базе выборки малого объема. Метод основан на статистическом критерии [11], однако область изменения параметра ограничивается исходя из необходимости достижения некоторой гарантированнной точности решения.
4. Показана актуальность задачи планирования измерительной схемы при решении гранично-ретроспективной задачи. Приведены некоторые оптимальные сочетания измерительных схем и параметров фильтра для датчика теплового потока, а также рекомендации по конструкции датчика.
5. Предложен эффективный алгоритм решения нелинейной гранично-ретроспективной ОЗТ на базе метода последовательных приближений и разработаны основные детали его использования. Необходимость решения нелинейной задачи связана с тем, что теплофизические характеристики большинства материалов, используемых в конструкциях JIA, зависят от температуры.
6. Предложен метод построения алгоритмов, устойчивых к ошибкам модели, основанный на формулировке расширенной проблемы оптимального управления за счет введения низкочастотных компонент этих ошибок в круг искомых величин. Данный метод может использоваться при линеаризации нелинейной задачи, переходе от двухмерной постановки к одномерной, или аппроксимации уравнения процесса. Разработан алгоритм решения двухпараметрической задачи НК, возникающей при применении данного подхода.
7. Создан программный комплекс в стандарте Fortran 90, позволяющий синтезировать алгоритмы и оптимизировать их параметры в зависимости от имеющейся априорной информации относительно наблюдаемых процессов, погрешности измерений, особенностей конструкции и теплофизических характеристик материалов.
8. С учетом рекомендаций и результатов работы в МАИ разработан и изготовлен охлаждаемый датчик теплового потока, рассчитанный на длительное наблюдение нестационарных потоков мощностью до.
1.5×104 Квт/м2 и содержащих частоты до 5Гц. Комбинация двух таких датчиков, использующих различные режимы охлаждения, позволяет наблюдать параметры конвективного теплообмена.
Заметим, что приведенные выше результаты получены для модели процесса теплопроводности типа (2.1). Однако, как общий подход, так и отдельные приемы, содержащиеся в работе, могут быть использованы в целях построения алгоритмов наблюдения для моделей в виде обобщенного уравнения теплопроводности, а также уравнений гиперболического типа.
Теперь еще раз подчеркнем некоторые специфические проблемы, возникающие при решении задачи наблюдения, которые могут составить предмет дальнейших исследований. Прежде всего отметим необходимость введения запаздывания при наблюдении граничного условия. Если расчетное время можно сократить упрощая алгоритм, оптимизируя вычислительный процесс, или просто применяя более быстродействующее устройство, то величина вынужденного запаздывания выбирается только исходя из требований к точности. Поэтому далее встает вопрос о построении эффективного управления по ретроспективной оценке. Еще одна проблема заключается в необходимости иметь достаточно хорошее представление о наблюдаемых процессах и измерительных шумах. К сожалению, построить систему наблюдения, которая позволила бы одинаково хорошо восстанавливать любые граничные условия при произвольных шумах, невозможно. Сказанное безусловно относится и к алгоритмам, работающим по полной выборке, которые рассматриваются нами как эталон, однако для последовательного алгоритма это гораздо более актуально. В то же время можно предполагать, что объектом наблюдения вряд ли станут совершенно неизученные тепловые процессы, поэтому задача скорее будет состоять в наблюдении отклонений от ожидаемого хода событий. То же относится и к вопросу изучения погрешности измерений. Можно видеть (см. рис. 6(6)), что существует ярко выраженная область наиболее опасных частот в шуме, которая с увеличением интервала оценивания «размазывается» по частотной оси. Наличие такой области может иметь как положительные, так и отрицательные последствия в зависимости от факта реального присутствия этих частот в шуме. Поэтому возникает проблема анализа шума с целью выявления и возможного устранения источников, генерирующих наиболее опасные компоненты. С другой стороны, при уменьшении интервала оценивания снижается влияние на точность оценивания низких частот, в том числе систематических составляющих и вековых членов (уход нулей). Все эти особенности должны быть учтены при проектировании как ЧЭ датчиков, так и всей последующей обрабатывающей цепочки.
