Математическое моделирование стохастических явлений переноса теплоты, массы и энергии

Актуальность темы

исследования.

Для обеспечения бесперебойных и безопасных режимов работы > современных сложных и многофункциональных промышленных агрегатов необходимо создавать такие компьютерные системы обработки данных, которые бы учитывали случайный характер течения технологических процессов в условиях внешних многофакторных воздействий. Именно поэтому одна из особенностей современного математического моделирования природных явлений состоит в рассмотрении таких его аспектов, которые требуют перехода от детерминированного способа описания к стохастическому.

Случайное внешнее многофакторное воздействие приводит к многочисленным реализациям одного и того же технологического процесса, что может вызывать существенные отклонения от оптимального режима и, как следствие, к получению неприемлемого результата. Детерминированные модели способны указывать только средние значения характеристик. Однако знание средней температуры «зажигания», среднего значения температуры поддержания жизнеспособности биологического объекта, среднего значения времени окончания сушки, среднего значения положения фронта фазового перехода, среднего значения фронта распространения световой или звуковой волны, и т. д. не позволяет ответить на вопрос, каковы диапазоны изменения этих величин в реальных условиях, т. е. каковы средние квадратические отклонения этих величин, обусловленные многочисленными случайными факторами, которые не учитываются в детерминированных моделях.

Кроме того, к настоящему времени усилиями многих научных школ создан действенный аппарат исследования устойчивости поведения решений обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, которые с детерминистической точки зрения описывают перенос энергии, теплоты, массы и распространения волн. Однако при сопоставлении с экспериментальными данными достаточно часто обнаруживается, что области изменения параметров, когда детерминистическая модель устойчива, не всегда соответствуют реально наблюдаемым областям, а именно: реальные области оказываются чаще всего меньшими по размеру. Каковы расхождения в этих размерах, и каковы параметры, которые их определяют? На этот вопрос нельзя ответить, оставаясь в рамках детерминированных моделей.

Для описания стохастического — поведения реального объекта в пространственно-временной области, необходимо знать его статистические характеристики на границах и в начальный момент времени, или же иметь априорные предположения о поведении этих характеристик. Таким образом, для математического моделирования стохастических явлений первостепенное значение приобретает проблема первичной обработки экспериментальных данных, в результате которой создается простейший класс математических. моделей — это описательные модели в виде таблиц, номограмм, кривых, эмпирических функций распределения, гистограмм и статистической энтропии. Этот класс не претендует на раскрытие механизма исследуемого явления, поэтому описательные модели имеют ограниченную степень точности и предсказательности. Однако среди перечисленных первичных моделей особое место занимает статистическая энтропия. В многочисленных работах показано, что при хаотическом поведении сложной динамической системы энтропия неограниченно возрастает, а при циклическом, «застойном» — быстро выходит на асимптоту. Случайные внешние воздействия на систему приводят к изменению параметров, которые определяют смену режима. С помощью анализа поведения статистической энтропии можно определить момент смены режима поведения объекта. Помимо этого, энтропия позволяет строить феноменологические модели для процессов произвольной природы по аналогии с тем, как это было сделано в термодинамике необратимых процессов. Следует отметить, что разработанные к настоящему времени способы вычисления статистической энтропии требуют значительного количества экспериментальных данных и не позволяют исследовать начальную стадию случайного процесса, тем самым их нельзя признать эффективными.

Создание приборов, регистрирующих шумы, явилось основой появления нового математического аппарата для случайных явлений, который в отличие от описательных и детерминированных моделей, позволяет находить не только о моменты смены режима и средние пространственно-временные значения, но и прогнозировать дисперсию и другие случайные характеристики. В двадцатомстолетии бурно развивалась теория случайных процессов. К настоящему времени существует два способа описания случайных процессов: это, с одной стороны, уравнения Ито-Стратоновича и уравнения Колмогорова-Фоккера-Планка, которые предназначены для описания широкого класса явлений с помощью диффузионных представлений о распространении функции плотности распределения вероятностей, и, с другой стороны, уравнения t.

Шредингера, дающие корпускулярно-волновую трактовку квантомеханических экспериментов. До недавнего времени считалось, что волновой характер присущ только явлениям микромира, однако в последние годы появились работы, в которых замечено, что гистограммы, построенные для случайных процессов различной природы, периодически повторяют во времени и пространстве свою тонкую структуру. Все это свидетельствует об актуальности создания для случайных явлений произвольной природы таких моделей, которые бы подобно квантомеханическим, описывали волновые свойства этих явлений.

Если для случайных процессов усилиями многих научных школ и отдельных исследователей получена стройная теория, то проблемы описания случайных полей требует дальнейшего развития. Это объясняется тем, что традиционный подход, применимый для случайных процессов и приводящий к уравнениям в частных производных, для случайных полей позволяет получить лишь уравнения в функциональных производных для функционала плотности распределения вероятностей. Этот аппарат малопригоден для проведения численных расчетов.

Наличие прямой стохастической модели какого-либо явления еще не означает, что с ее помощью можно эффективно управлять производственным процессом. Дело в том, что коэффициенты прямой задачи, полученные в лабораторных условиях, из-за наличия случайных воздействий не всегда с соответствуют коэффициентам этой же модели в реальных условиях. Кроме того, общепринятые схемы — принятия решений. о корректировке технологического режима управления производством, как правило, базируются на точечных оценках параметров. Однако знание управляющих параметров в отдельных точках не всегда позволяет сделать вывод об объемах областей, в которых происходит нарушение технологического режима. Именно поэтому актуальной является проблема обратного моделирования конкретных производственных циклов j на основе стохастических представлений и выработке на их основе критериев прогнозирования поведения производственного объекта во всем занимаемом им объеме.

Цель диссертационной работы. Целью настоящей диссертации является разработка математических моделей для описания и управления случайными процессами и полями, которые соответствуют детерминированным моделям классической математической физики, частности, моделям диффузионного и волнового переноса массы и энергии. Достижение этой цели проводится с помощью последовательной реализации следующих задач:

• построение уравнений эллиптического, параболического и гиперболического типов для функций плотности распределения вероятностей, описывающих случайные явления теплои массопереноса переноса и следующих из них уравнений для средних значений и дисперсий. В частности, построение стохастических аналогов задач стефановского типа.

• построение и исследование решений поставленных задач. Получение дисперсий полей и дисперсий фронтов фазовых переходов.

• создание алгоритмов и программ управления некоторыми стохастическими процессами и полями на основе обратных задач параметрической идентификации.

• исследование связей между погрешностями выходных и входных параметров сложных систем на основе метода наименьших квадратов, учитывающего и погрешность функции и погрешности независимых аргументов. .

• построение уравнений для случайных процессов, которые бы учитывали как их волновые, так и корпускулярные свойства;

• создание эффективного способа построения гистограмм и оценки статистической энтропии при обработке временных рядов и экспериментально полученных плоских кривых для явлений с неизвестной математической моделью;

• i.

• реализация построенных моделей на конкретных примерах управления поведением некоторых процессов и полей, подверженных случайным воздействиям.

Научная шгевона. Автором получены и рын^сятся на защиту следующие новые научные результаты:

• метод построения уравнений для описания случайных процессов и полей;

• постановки задач для уравнений в частных производных, моделирующих случайные волновые поля и поля теплои массопереноса (включая тепломассоперенос с конечной скоростью и задачи стефановского типа).

• постановки задач, описывающие волновые аспекты случайных процессов, соотношения для дисперсии и устойчивости динамических моделей.

• алгоритмы решения задач идентификации математических моделей, описывающих случайные процессы и поля;

• метод «падающих» прямоугольников для построения гистограмм и оценки статистической энтропии для временных рядов и экспериментально полученных плоских осциллирующих кривыхДостоверность. Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью применения математических методов и соответствием численных и аналитических решений задач экспериментальным данным. Основные-положения предложенной теории сформулированы и доказаны в виде теорем. Сформулированные задачи в частных случаях сводятся к общеизвестным задачам для уравнений Лиувилля, Эйнпггейна-Фоккера-Планка-Колмогорова, Шредингера. Уравнения для средних значений, полученные на основании стохастических уравнений, совпадают с феноменологическими уравнениями в частных производных для переноса теплоты, массы и распространения волн. В качестве материалов, на которых оцениваются результатов расчетов, использовались опубликованные в центральных научных изданиях экспериментальные данные.

Пш5сгич-еская сонность работы. Результаты работы могут быть использованы в инженерных расчетах теплопроводности, диффузии, сушки, при описании поведения микробиологических объектов в средах, для анализа течения химических реакций, для выявлении влияния случайных факторов на поля теплои массопереноса, волновые поля. Предложенные алгоритмы расчета статистической энтропии могут применяться для предсказания смены режимов течения процессов в медицине, экономике, экологии и др. Ценность работы заключается также в том, что сформулированные задачи для описания случайных явлений представляют собой традиционные задачи математической физики, к решению которых применимы хорошо известные и широко используемые в современной практике аналитические и численные методы.

Апробация результатов. Результаты диссертационного исследования в течение ряда лет докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры математического моделирования МЭИ, кафедры высшей и прикладной математики МИТХТ, кафедры высшей математики Государственного университета по землеустройству (1996;2001 г.), конференции: «Новые информационные и электронные технологии в народном хозяйстве и образовании» (Москва, МЭИ, 1990 г.), Втором Минском международном форуме по тепломассообмену (18−22 мая 1992 г.), Третьем Минском международном форуме по тепломассообмену (20−24 мая 1996 г), Третьем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИПРИМ— 98 г. Ин-т математики г. Новосибирск, 1998), Седьмой международной научно-практической конференции «Инновационные технологии в пищевой промышленности третьего тысячелетия» (Москва, МГТА, 2000 г), Международной конференции по физико-техническим проблемам электротехнических материалов и компонентов. (24−27 сентября 2001 г. Россия, Клязьма), Международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (26−31 мая 2002 г. Самара), 9 -ой Международной конференции «Современные проблемы естествознания» (2629 июня 2002 г. Россия, Таганрог).

Публиканита. Основной материал диссертации опубликован в двадцати семи печатных научных работах общим объемом 419 с. (авторский объем 410 с.) [1]-[45]. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, семи глав, основных выводов, списка литературы, включающего 243 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

1. Абрамович М., И. Сткган И. Справочник по специальным функциям.— М.: Наука, 1979.830 с.

2. Авдонин Н. А. Математическое описание процессов кристаллизации.— Рига: Заа^гзпе, 1980.180 с.

3. Адам2р ТЛ Пр: гц:и Гюйгенса и теория Гюгошю // Труды первого всесоюзного съезда математиков.—M.-JI.: ОНТИ, 1931.376 с.

4. Адам-? ТЛ Задала Кожа для линейных дифференциальных уратиеиМ с частными щюезезодеыкн ГЕперболнческого типа. —М.: Наука, 1978. 352 с.

5. Алшфаноз О. М. Экстремальные методы решения некорректных задач.—М: Наука, 1988. 2Ш с.

6. Амос Д. Е., Чей ГШ. НеусхшошЕвшЕЙся процесс теплопроводности при конечных скоростях распространения соли температуры // Прикладная шшшт. 1974. Ш. С. 243−244.

7. Амосов А. А., ДубннокЕш Ю.А., Кспнепсиа Н. В. Вычислительные методы для инженеров.— М: Вием, жк., 1994. 544 с.

8. Де^стспе лазерного излучения большой мозцноста па металлы / С. И. Аннснмов, ЯЛ. Имас, Г. С. Романов, ЮЗ. Ходыко.— М.: Наука, 1970. 272 с.

9. Акпспмсз СЛ. Задачи теплопроводности в теории взаимодействия даэ^ршго излучения сешествогл // ТеплспассссСмеп-б. Проблемные доклада 6-ой Воесосозвс&по тепломассообмену. Ч.1.—ИШО ем. АБ. Jhmzm АН БССР, 1931. С. 3−19.

10. Апледа П. Теодестэтгш&я мехшшшт. В 3 т. Т. 3. М. 1911.3&4 с.

11. Аракелш Э. К., Кср. тгпн А.В., Соловьев ИА. Оптимизация распределения точности измерений параметров турбоусгаювох // Весткнк МЭИ. 1995. Ш. С.11−16.

12. Базадий Б. В., BJO. Шеленсз. 05 асимптотическом псведе: нн1 решения одной задачи Стефана // Докл. АН УССР. «А».1978. Ш2. C.1059−10S1.

13. Бсрансз А. А., Ксшпащикоз В Л. Реллтнв: стсхая термомеханпга сплошных сред.— Минск: Наука и техника, 1974. С. 152.

14. Баумейстер К Л, Хахаля Т. Д. Гиперболическое уравнение теплопроводности. Решение задачи о палу бесконечном теле // Теплопередача. 1969. Т. 91. Ш. С. 112−118.

15. Байксз АЛ., Исконьдскпй А. М., ГЛ. Микнтпх. Электрический вариз проводников. Динамика фазовых превращений при электрическом взрыве проводннксз. ПяшлшЕв // Институт с^тсмататтисн и электрометрии СО АН СССР / Прсир. Ш5. Новосибирск, 1977.12 с.

16. Бгшгз Н. М., Рядно А. А. Методы теории теплопроводности. В 2 ч. Ч 2. МЗысшая школа, 1S32.304 с.

17. Еишнюва ГЛ. Непостоянная температура плавления в задаче Стефана // Уравнения с разрывные коэффициентами и их приложения. Алма-Ата: Наука, 1935. С.12−18.

18. Еерншггейи СЛ. Принципы теории стохастических дифференциальных уравнений //Тр. Спз.мат.пп-та ем. В А. Стеклова. 1934. Т. 5. С. 95−124.

19. Блохинпез ДЛ. Основы квантовой механики.—М.: ГИТТЛ, 1949. 583 с.

20. Боглаев Ю. П. Вычислительная математика и программирование.— М.: Высшая школа, 1990— 544 с.

21. Больцман JI. Избранные труды.— М.: Наука. 1984. 586 с.

22. Больцман JI. Статьи и речи.— М.: Наука, 1970. 406 с.

23. Будах Б. М., Соловьева Е. Н., Успенсхий А. В. Разностный метод со сглазхивапием для решения задачи Стефана // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1S65. Т. 5. J&5. С. 828−838.

24. Будах Б. М., Васильева В. Н. О решении обратной задачи Стефана // Журнал вычислительной математика и математической физики. 1973. Т.13. К2 1. С.103−118.

25. Будах EJM, Сам~?схпй А.А., Тнхоноз АД. Сбсрпих аадач по математической фшгше.—М: Наука, 1972. 638 с.

26. Буевич Ю. А. Неустойчивость стационарного процесса затвердения // Ивае&ерао-фвзнтесвнЗ цураал. 1934.Т.47. J&5. С. 773−783.

27. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач— М: Наука, 1988. 550 с.

28. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений.— М.: Высшая школа, 1990.—208 с.

29. Ватанабэ С., Икэда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы.— М: Наука, 1986.448 с.

30. Вебстер А., Сеге Г. Дифференциальные уравнения в частных производных математической физики. В 2 ч. Ч. 2. —M-JL: i l l И, 1933. 283 с.

31. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. —М.: Высшая школа, 1998. 576 с.

32. Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия / Под ред. Ю. В. Прохорова.—М.: Издательство Большая Российская энциклопедия, 1999. 910 с.

33. Волков И. К., Зуев С. М., Цветкова Г. М. Случайные процессы. — М: Изд-во МГТУ, 1999. 488 с.

34. Волков И. К., Лысенко А. С., Соловьев И. А. Параметрическаяидентификация математической модели сунпси методом искусственнойгравитации // Препринт Jfa 8.— M.: Физихотехнологический институт АН СССР. 1991. С. 1−16.

35. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование.— М.: Наука,—1976.283 с.

36. Вульмаи Ф. А., Карягин AJB., Крпвогнел М. З. Мигештическсе моделирование тепловых схем паротурбинных установок па ЭВМ.—М.: Маипиюстроеппз. 1935. 254 с.

37. Выродоз ИЛ. О Еримеигнии метода xapaicrtpncnnt к ргисгнико задач, содарзгащих подвЕЕкпые границы фазсаых пргграи-гп~1 н рзиэгннзпробиты Стефана // Труди Краснодарского ПолитехиичггскогоЕнатшуга, 1973. Вкл. 51. С. 103−119.

38. Гагсрпп М. А., Шанса О .К., Содсаз^з И, А Оценка скорости дшингения Сродн.'н.нсЗ с^еси, полей и тетературы и концентрации сахароз три шаг.1нанпзацш ениа // Виноделие и Еппсградарство СССР. 1931. J?3 367). С. 55−56.

39. Песлздсааппе поля тег^н^ратур шномащшаяа в peatpaycpe ЕЕШпзддряззскоЗ фсрглы / МА Гсгсрпи, В. П. Бакулип, Р. И. Заденгнно, AM. Гагарин, М. В. Жироа, Т. В. Ликучеаа, И А. Солсаьез, И. С. Пулькии // Виноделие и Енисградгрство. 2002J?>3. С. 38−49.

40. Гглицкша В. М., Кгриаксз БМ., Ксгап BJL Зада-a по каалтсасЗ *5"хшнке. —М.: Наука, 1992. 880 с.

41. Ггрдииср КЗ. Стохастические методы в естественных пауках.— М.: Мш? у 1985.523 с.

42. В. Снаика и философия. Часть и целое.— М.: Гл. ред фаз. Лат., 1989. <00 с. 44. / Геяъфокд АО. Исчнсле: п:е конечных разностей.—М.: Государственное издательство Физ.-мат. Лит-ры, 1959.400 с.

43. Гинзбург А. С. Основы теории и техники сумки пищевых продуктсз.—М.: Пищевая промышленность, 1973.528 с,.

44. Гнхмш И. И., Скороход А. В.

Введение

в теорию случайных процесссз. — М: Наука, 1977. с.

45. Гихман И. И. Стохастические дифференциальные уравнения / И. И. Гкхмал, AJJ. Скороход. —Киев: Наукоса думка, 1968. с.

46. Глас Л., Мз: с1 М. От чассз к хаосу. Ритмы езгзни.— М.: Мир, 1991— 248 с.

47. Глнко А. О., Ефимов А. Б. Дг: п:еп:з фазсшсй границы в усдсенлх мегжсзщегсся во гремеин теплового поток! // Фат Земли. 1973. JCi7. С. 11−21.

48. Гл: псо А.О., Ефпмсз А. Б. Метод малого параметра в классическойзадача Стефана // IЬп~еиерпо-физичесипЛ ззурнал. 1980. Т.38. С. 9-• 335. ——————————- -.

49. Голубев Ю. О. Оспсиы теоретической механики. —hi.: Изд-ео МГУ, 1992. 525 с.

50. ГолуС: с:с~5 Е. В. Тесрнд процессов переноса / ЕВ. Голубннекнй.— Кшз: Наукст думка, %9.259 с.

51. Говшгйко АХ. Вшяш®процессов испарения m разшлЕ®температурного поля электродов при импульсном раердде // Не-естнлiВУЗоз. Энергетика. 1953. 5. 79−05.

52. Гринберг ГА., Чехтреаа ОЛ1. О движении поверхности раздала фаз в задачах стефапсаского типа // Журнал технической физика. 1970. Т.40. № 10. С. 2025;2031.

53. Гутфедьд Р. В. Физическая акустика в 5 т.Т. 5— М.: Мир, 1973.422 с.

54. Гусаксз В Л., Данидкж И. И., Коспнхз А. А. Численный анализ зааачэСтефана при тепловом удсре // Математическая физика и ЕалЕнейиая механика. 1909. JM1. С. 40−43.

55. Дап: ипс:с ИЛ Задача Степана при наличии теплового удара // Доклады АН УССР. «А». 1933. ГаЗ. С.9−15.

56. Дз Ерсйль Л. Соотноиген^з неопределенностей Гейзенберга шЕерс: ггпостнал интерпретация ЕОдпсасЗ механики.—М.: Мгпр, 19§ 6. 344 с.

57. Дуб Де:. Вгролткостпыг процессы.—М.: Издательство иностранной литерспуры, 1956.— с.

58. Журбеико ИТ. Анализ стацпоп-рпых и однородных случайных систем. —М.:Изд-ео МГУ, 1937. 240 с.

59. ЗуСгрсэ Д.Н. Ссгрег-генные метода статгспг-сспс^ теорг~1 е^рвношсных едовдооов // Итога паука. Т. 15. М.: Изд-вэ ВИНИТИ"' 1SC0. С 1−44.

60. Иешоз Н. С., Фплл~поз ПЛ. Теплопроводность твердых тел и дисперсных сред при <§-азовых превращениях.— Иркутск: Изд-ео Иркутск. Ун-та, 1933.271 с.

61. Ито К. Вероятностные процессы. В 3 вып. Выл 1−3— М: ИЛ. 1963.— Bun 1−3.

62. Ито К., Маккии Г. Диффузионные процессы и их траектории. — М: Мир,—1963. с.

63. Каменский Г .А., Скубачевский AJL Линейные краевые задачи для диффереициадьно-разностиых уравнений.—М.: Изд-во MAPI, 1992.192 с.

64. Капелзьяи СЛ., Перельмаи Е. С. Асимптотические оценки решения задай Стефана // Ингкеперио-физическнй нзриал. 1980. Т.38. J&2. С. 329 335.

65. Ксрслоу Г. С. Теория теплопроводности. — М-Л.: ОГИЗ, 1947.283 с.

66. Ксрасез ИХ., Кириллов ВМ. Нсрский В. Э. Ктегика разрушения металлов излучением (ЖГ в ре^ии*е свободной генерации // Журнал технической фишки. 1970. Т. 40. Выл. 9. С. 1954;1959.

67. Ксртаигсз Э. М. Аналитические методы в теплопроводности твердых тел—М.: Высшая Школа, 2001. 540 с.

68. Кэршиоз Э.М.И. В. Стомахии Метод о6о§ щшезго шгагрспвдаго преоСразсгаппд при решении уравнения теплопроводности в с5д~ети с дэи^упизизся границами // Известия РАН. Энергетика. 1992. К"5. С. 138 147.

69. Кириллов А. И., Мамакил BIO. Стохастическая модель фазового перехода // Теоретическая и математическая физика. 2000. Т. 123. С. 95−1С5.

70. Кислицын АА, Mcpsp A3. Решение фронтовым методом двумерной зщщш с5 шжренни йастадж^есЕих исиуссз под действием излучения бошшй шепрсзга // Теплофизика высоких тёйшвзрглур. 1976. Т. 14. Jf®5. С. 1030−1033.

71. Кислицын А. А., Морар А. В. Приблнзкеиное решение фронтовым методом двумерной задачи об образовании луики в металле под действиемимпульса ОХГ // Инженерно-физический куриал. 1976. Т. 30. КаЗ. С. 540 545.

72. Коздоба Л .А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. М.: Наука, 1975.227 с.

73. Коздоба JI.A., Круковсхий ПР. Методы решения обратных задач теплопереноса. —Киев: Наукова думка, 1932. 358 с.

74. Колмогоров АЛ. Теория вероятностей и математическая статистика. —М.: Наука, 1535.535 с.

75. Справочник по теории вероятностей и математической статистике / B.C. Королпох, НЛ. Портенко, АЛ. Скороход АЛЗ., А. О. Турбин.— М.: Наука, 1935.640 с.

76. КошЕлакоз Л С., Глннер ЭХ., Смирнов ММ. Основное дифференциальные уравнения математической физики. —М.: Гос. Изд-во Сиз.-матем. лнт-ры, 1962.763 с.

77. Кравченко В. О., Несененко Г. А. Асимптотическое решение пестащшошршй задачи теплопроводности с пелинеШным условием экспоненциального типа па подлинной границе // Докл. РАЛ 1993. Т. 353. т. С. 315−318.

78. Крупжоз СЛ. О некоторых задачах с неизвестной границей для уравнения теплопроводности // Прикладная математика и механика.— 1967. Т.31. Ш5. С. 1009−1020.

79. Куднноз В А., Кгрташоз Э. М. Техническая термоднжш^ика. — М.: Емснгая школа, 2С01.251 с.

80. Курант Р. Уравнения с частными производными.— М.: Мер, 1954. 330 с.

81. Ландау Л. Д. Собрание трудов в 2 т. — М.: Наука, 1959. Т.1 и 2.

82. Леядзу Л. Д., Лифшнц Е. М. Квантовая механика (перелятквпстсхая теория). —М: Физмаятиз, 1953.704 с. S3. Лагпкевеа П. О теории броуновского движения. Избранные труды.— М.: ИЗД-ЕО АН СССР, 1960. С. 338−341.

83. Леви П. Стохастические процессы и броуновское движение.—М: Наука, 1972. с.

84. Любоз БЛ. Математическая теория кристаллизации в больших объемах.—М.: Наука, 1975.256 с.

85. Любсз Б Л., Соболь ЭЛ. Процессы теплопереиоса при фазовых преЕрааненнях под действием интенсивных потоков анергии // Инзпенерно-физнческий журнал. 1933.Т. 35. JM. С. 670−6С5.

86. Любоз БЛ. Диффузионные процессы в неоднородных твердыхсредах. —М.: Наука, 1931.296 с.

87. Лыкоз А. В. Теория теплопроводности.— М.: Высшая пирата, 1957.—599 с.

88. Лыкоз А. В. Теория сушки.— М: Энергия, 1963.472 с.

89. Лыкоз А. В. Тепломассообмен (Спраточпик).—М.: Энергия, 1972. 479 с.

90. Лыкоз А. В. Некоторые приближенные вопросы теории теплэ-п массопереноса // Проблема тепло-п массопереноса. Минск: Шуга и техника, 1976.—С. 9−82.

91. Лыкоз AJ}., Михайлов ЮЛ Теория тепло-п массообмепа.—hi: Гсспергспздаг, 1963.535 с.

92. Мартпнсоа Л .1С. О конечной скорости распространения тепловых юзмущеишй в средах с постоянным коэффициентом теплопроводности // Журнал Еычшслнтельной техкша и математической фшш. 1976. Т.'16." Ш5. С. 1233−1241.

93. Мамонтов Е. В. О корректности задач математической физики.— Новосибирск: Изд-во НГУ, 15С0. 62 с.

94. Марков А. А. Распространение закона больших чисел на величины, зависящие Д? уг от Друга // Известил физико-математического общества при Казанском университете. 1906. Т.15.К23. С. 135- 156.

95. Маргшкенко ОХ., Березовский А. А., Сокса: ищп1 ЮА Асимптотические методы в теории свободно-конвективного теплообмена — Ми.: Наука и техника, 1979.163 с.

96. Мартыиенко ОХ., Солсаьез И А. Некоторые решения однофазной и одномерной задачи Стефана // Методы исследования и оптимизации прсцесссз переноса. Минск: Изд-во АН БССР ем. А В. Лыкова, 1979.С. 193−201.

97. Масдсз В. П. Асиг^зпотические методы и тесрнл Еозмущ^ний.— М.: Наука, 19СЗ. 312 с.

98. Маелсз ВЛ. Операторные методы.—М.: Наука, 1973. 544 с.

99. Маелоз ВЛ. Данилсз ВХ., Волоссз КА.— Математическое моделирование прсцесссз теплсмасссиереноса. Звошщия дпссипатпвпых структур. — М.: Наука, 1937.352 с.

100. Магемэгаческая энциклопедия. Том 1.—М.: Изд-ао Советская зициилсиздия. 1977.1152 с.

101. Мгесиа, А 1Свантсаад механика в 2 т. —М.: Наука, 1973. Т 1 и 2.

102. Мешрмаиоз AM. Задача Стефана.—Новосибирск: Наука, 1936.239 с. 111.. Миролгабоз А. А., Соддатсз МА. Линейные неоднородные разностные уравнения—М.: Наука, 1986.128 с.

103. Мыщкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом.—М.: Наука, 1972.450 с.

104. Неравновесные явления: уравнение Больцмана / О. Э. Лай форд, У. Гринберг, Я. Полезчах и др.- под. ред. Д: к. Л. Любовица, Е. У. Монтролла.— М.: Мер, 19С5.272 с.

105. Николис Г., Притопни И. Самоорганизация в неравновесных системах. —М.: Мэр, 1979.512 с.

106. Новиков И, А Гиперболическое уравнение теплопроводности. Регпеншз прямых и обратных задач для полусграниченпого стср™пл // Ннщеиерио-фнзический куриал. 1978. Т. 35. Ш. С. 734−740.1.,.

107. Норвуд ФР. Задача о кествцпснгрпых волнах в рамках общей теории теплопроводности при конечных скоростях распространения шла // Прикладная механика. 1972. J&3. С. 35−39.

108. Олейшшж OA Об одном методе рещвния общей задачи Степана // ДАН СССР. 1Ш, П5. С. 1054−1057.

109. Одзйшж OA, Кадапзпзшшз АС., Чн^оу-ЮЗ-лшшзв Задача Коиша и краевая 21ДШ21 для зршиеиия типа шусшшошшвшшейея ф^лвтршщэ // Шш-еетшя АН СССР. Серия «Математика». 1958. Т.22. М>5. С. 663−704.

110. Ортолев П., Шмидг С. Разнообразие и свойства химических волн // Колебание и бегущие волны в химических системах (ред. Р. Филд и М. Бургер) -М.: Mi^>, 1533. С. 365−450.

111. Физическая кинетика и процессы переноса при фазовых превращения / Н. В. Павлзокевич, Г. Е. Горелик, В. В. Левдаиский, В. Г. Лейцина, ГЛ. Рудин.— Минск: Наука и техника, 1980.203 с.

112. Петрик Т. Ф. Математическое моделирование Ероцессоз массопереноса с использованием уравнения гиперболической диффузии // Автореферат днсс. па сспск. уч. степени канд. техн. паук.— Л. 1977. С. 21.

113. Портноз И. Г. Точное решение задачи о промерзании с произвольным изменением температуры па кенодвгпкпой границе // Докл. АН СССР-1962. т.143.Ш. с. 559−562.

114. Полвппл АД., Вязвмии АВ., Журоз АИ. Справочник по точным решениям уравнений теплои массопереноса — М.: Факториал, 1993. 363с. .

115. Предводтедез АС. Механика движений.— Минек: Изд-во ЕГУ нм. В. И. Ленина, 1975.246 с.

116. Пухначез ВВ. О задаче Стефана, возшшшппзга в одно! модели электрического вгрыва проводников // Труды семшшщш СЛ. Соболева.— Новосибирск: Ии-т шггш. СО АН СССР. 1976. Ш. С. 60−82.

117. Проблемы роста Ершстадяоз. М., «Мгр», 19³, с. 13−10.

118. Г^д:евич ЕВ., Мвшшшгсо АС. Кр®шав зздагаы со сввСодпсй гршшзщей.— Ташкент: ФАН, 1983.183 с.

119. Редкозубоз СА Статистические методы прогнозирования в АСУ.— М. ЭиёргсиздагД931.—151 с.

120. Ршиичекхо Г. Ю., Руби:! А. Б. Математические модели биологических продукционных прсцесссз.— М.: Изд-во МГУ, 1993. 302 с.

121. Розовский Б. Л. Стохастическое дифференциальное уравнение / Б. Л. Розовский // Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия (гл. ред. Ю.В. Прохоров).—. М.: Издательство Большая Российская энциклопедия, 1999. С.705−707.

122. Рубннпггейи Л .И. Проблема Стефана.— Рига: Звайгзие, 1967.— 457 с.

123. Рудобанпа С. П., Ксрташоз Э. М. Диффузия в химико-технологических процессах.—М.: Химия, 1993.209 с.

124. Савичез ВБ. К расчету скорости уноса массы диэлектрика в импульсном разряде // Вопроса физики низкотемпературной плазмы.— Минск: Наука н техника, 1970. C.2S7−291.

125. Садоматсз В .В., Горбунов А. Д. Аналитическое исследование теплопереиоса в телах с подвижными границами // Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. 1973. Jfel. С. 138−147.

126. Cc прений А.А., СсСоль ИМ. Примеры численного расчета температурных бош // Журнал математической физика и вычислительной математики. 1963.T.3. Ш. С. 702−719.

127. Самарский АЛ., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений.— М.: Наука, 1973. 592 с.

128. Самарскпй А. А.

Введение

в теорию разностных схем.— М: Наука, 1971. 552 с.

129. Сс:-ойлевич ЮА Системный анализ^{исталлизащии} слитка.— Киев: Наунова думка, 1583.245 с.Ш.Сшаохин АА, Успенский А. Б. Еспэреине вещества под дешетвшем лазерного излучения II Физика и химия с? ра5отки материалов. 1981. ЖЗ. С. 3−11.

130. Самсонова Е. А., Соловьев И. А. Обработка данных измерений при наличии пеофеделениостей в значениях аргумента и функции // Новыеинформационные и электронные технологии в народном хозяйстве и образовании. М.: МЭИ, 1990. С. 22.

131. Седоз В. Т. Теплообмен при бурении мерзлых пород.— Л.: Недра, 1990 127 с.

132. Селлвапоз В. В., Зарубил B.C., Иоиоз *В.Н. Аналитические методы механика сплошной среды.— М.: Изд-во МГТУ, 1994.383 с.

133. Соловьев ИА., Смирнов М. С. О естественной регуляризации обратной аадачш Стефана // Тепломассосбмен-6. Т.9. Минек: Изд-во АН БССР т. АВ. Лыкова, 1980. С. 100−102.

134. Соловьев И. А. К вопросу о релаксационном крив сггефшовеких зздач // Инженерно-физический ззурнал. 1931.Т.40. J&2. С.373−374.

135. Соловьев И А. Решение тепловой задатс1 об испарении конусообразных тел в мощных потоках излучения И Инженерно физический журнал.— 19S0.T. 39. Ш. С. 532−537.

136. Соловьев ИА, Смирноз М. С. Высокоиестационариый теплои массопереиос в области с двшкущейся границей при неизвестных кинетических уравнениях // Инженерно-физический зкурнал. 1986. Том 51. т. С. 317−322.

137. Соловьев И, А О еозмоншости редукции многомерной задачи Стефана к одномерным // Методы и алгоритмы параметрического анализа линейных и нелинейных моделей переноса. Сборник паучных трудоз.— М.: МГЗПИ, 1937. J Г" 5. С. 132−144.

138. Соловьев И, А Метод искусственной гршзтщшпз в задаче шпвшмизацнн функции // Новые информационные п электронные технологии в народном хозяйстве и образовании // Тезисы докладов. М.: МЭИ, 1990. С. 41.

139. Соловьев И. А, Зуез АВ., Самсонова ЕА, Кпргьхчоз В. Н. Обработка данных стационарных теплофнзнческих экспериментов с учетомпогрешностей всех измеряемых величин // Инженерно-физический журнал. 1992. Т. 62. }Ш. С. 294−300.

140. Соловьев ИА, Мирошниченко В. И Обратные задач:! в теплофизическихисследованиях //Теплофизические проблемы промышленногопроизводства.— Тамбов: Издательство Тамбовского института химического машиностроения, 1992. С.53−59.

141. Соловьев И. А Аппарат конечных разностей и ксрпускудгрпо-волпсвсй дуализм // Методы и алгоритмы параметрического анализа линейных и нелинейных моделей переноса. Сборник научных трудсз.— М.: МГЗПИ, 1993. 8(2). С. 84 95.

142. Солсвьез И, А Разностные уравнения в пространстве непрерывногоизменения иззавнсимых гртументсз / ИА Соловьев // Вестник МЭИ. 1995. Г5. С. 109−118.

143. Соловьев НА. Использование энтропии в экономических расчетах // Труды научной конференции МГЗИПП: Сборник статей. — М.: Издательство МГ31ШП, 19>9. С. 271−272.

144. Соловьез НА." Кпслоз Н. В. Описание стохастических температурных полей с помощью уравнения для функции плотности предсказания' // Землеустроительная паука и образование 21 века. —М.: Еышва, 1999. С. 105−111.

145. Соловьев И, А Уравнения для случайных тепловых полей // ГЬи^еиерно-Спепчееппй горная. 2СС0. Т. 73. 1Г" 2. С. 395−400.

146. Соловьев И, А Опиеашпше с помощью воли втре: лт:естп поведения стохастических величии, средние значения которых подчиняются системе разностных уравнений // Теоретическая и математическая физика. Т. 115.С. 56−76.

147. Соловьев И, А Обобщенное уравнение Шредингера для стохастических процессов с шумом // Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике. (ИПРИМ-93). Тезисы докладов. Часть 1. Ноаосибирсх, 1993. С. 34.

148. Содовьез И, А Уравнение Фохкера-Планка" и болны вероятности / И. А Соловьев // Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике. (ИПРИМ-93). Тезисы докладов. Часть 1. Новосибирск, 1993. С 35−36.

149. Соловьев И, А Уравнения для списания стохастических полейэлектрического напряжения и тока // ICEMC—2001. Труды 4-ойМеждународной конференции по физико-техническим проблемам электротехнических материалов и компонентов. М.: МЭИ. 2001. С.293−294.

150. Соловьез И, А Стохастическая модель сушки // Математические модели физических процессов и их свойства: Матсрн: щы 8-ой Междунгродпой конференции. Таганрог: Изд-во Тагаи-ского пед. ни-та, 2002. С. 149−151.

151. Соловьез ИА О проп: озироваи:и1 дисперсии случайных тепловых полей // Известия РАН. Энергетика. 2002. Ш С. 109−115.

152. Соловьез И. А. Уравнения для еолл вероятности, описывающие стохастические процессы с шумом // Землеустроительная пауза н образование 21 века. —М.: Былина. 2003.— С. 127−132.

153. Стсрсвсйтсз В Л. Разрешимость в малом по времени задача Стефана сусловием Гнббса-Томссна па межфазной границе // Динамика сплошнойсреды- 1990, выл. 95- с.151−155.

154. Стратонович РЛ. Избранные вопросы теории флухтуаций в радиотехнике / РЛ. Страгоиович.— М: Советское Радио, 1961.— с.

155. Страхсз В Л., Чубакоз А. Б. Испарение вещества под действием лазерного излучения // Инженерно-физический журнал. 1933.Т.45. № 3. С, 472−479.

156. Таблицы физических величин. СЕравочннк. М.: Атомизд1йг, 1976.1003 с.

157. Термодинамика необрапишх процессов. Лекции в летней международной школе физика ем. Э. Ферма. М.: Изд-во иностр. лнт-ры, 1962. 426 с.

158. Тгрский Г .А. О приближенном решении некоторых нелинейных задач теплопроводности и фильтрации жидкости // Известия АН СССР ОТН. Механика и машиностроение. I960. J&3. С. 132−133.

159. Тшхоноз АЛ., Самарский А. А. Уравнения математической физика.— М.: Шу=2,1"5.724 с.ЮЭ.Тнхсноз АЛ., Ареениа В Л. Методы решения некорректных задач.— М.:Наука, 1974.431 с. 190. Уизем Дж. Линейные и нелинейные еолны.—М: Мир, 1977. С. 622.

160. Успенский А. Б. О методе выпрямления фроптоз для мпогоф роитовых одномерных задач типа Стефана // Доклады АН СССР. 1967. Т.172. JM. С. 61−64.

161. Фельдмш Г. М. Методы расчета температурного решзма мерзлых грунтоз. — М.: Наука, 1973.254 с. .

162. Фсрмалез В. Ф. Анализ двумерных температурных полей в анизотропных телах с учетом подвижных границ и большой степени анизотропии // Тепл"*физика еысских температур. 1990. T.2S. JM. С.715−721.

163. Фрндмаи, А Уравнения с частными производными параболического типа.— М.: Мир, 1953.422 с.

164. Хакеи Г. Синергетика. Иерархии неустойчнвостей в саг^осрганизугошихся системах и устройствах.— М.: Мир, 1985. с.

165. Хср: ггс:сз ВВ. Релаксационность прсцесссз переноса тепла в полимерах // Ишкеперпо-ф изнческпй 5курнзл.—1978.— Т. 34.— J&2.— С. 253−259.

166. Хсрвай Г. Моднфишзрованная задача Стефана // Иннгеперио-физнческшй журнал. 1955. Т.8. Г5. С. 779-С00.

167. Цсй Б., Ксрташоз ЭМ., Шевелез ВВ. Прочность и разрушение полимерных пленок и волокон. М.: Химия, 1959.495 с.

168. Чекмарева О. М. О перемешении фронта кристаллизации в затвердевающем слитке при различных температурных условиях па его поверхности II Журнал технической физики. 1970. Т. 40. Вып. 10. С. 20 322 034.

169. Чекмарева О. М. Некоторые интегральные уравнения нового типа для ¦ задач с фазовыми переходами // Журнал технической фетшш. 1971. Т. 40. Выи.41. С. Ш5−1122.

170. Чоу, Сандерленд. Задачи теплопроводности с плавлением пли затвердеванием // Теплопередача (сб. переводов). 1969. Т.91. К2З. Серия «С». С. 144−149.

171. Шахоз Е. М. OS ncnapeinni твердого тела, поглощающего лучистую | зперпно // Инженерно-физический журнал. 1961. Т.1. №.4. С. 27−38.

172. П1евелез ВВ., Кгртапюз Э. М. Некоторые статистические аспекты хрупкого разрушения и долговесности полимероз. Материалы с j трещинами // Высокомолекулярные соединения. Серия Б. 1997. Т.39. № 2.С. 371−381.

173. Шевелез BJB. Аналитический расчет времени лимитируемого диффузией растворения сферических частиц второй фазы // Изз АН СССР. Сер. Металлы. 1938. № 6. С. 57−60.

174. Шеиноа К. Математическая теория связи // Работы по информации и кибернетике.—М.: Mzp, 1963. С. 243−332. '.

175. Шестакоз НИ. Расчет процесса затвердения металла при непрерывной разливное // Известия АН СССР. Сер. Металлы. 1991. Ш. С. 55−53.

176. Шеффер К. Теория теплоты. В 2 Ч. 4.1. Мачекулярно-кинетпчеекая теория вещества.— М.-Л.: Государственное Технико-зкоиомическо^ издательство, 1933.—295 с.

177. Шпфф Л. Квантовая механика.—М.: Изд-во Иностр. лит-ры. 1959. 473 с.

178. Н. Юрьевич И. О. Оптимизация аккумулятора солнечной энергии на фазовом с1 переходе // Теплообмен при воздействии радиационных потоков паматериалы. — Минск: ИТМО АН БССР ем. A3. Лыкова, 1990. С. 61−76.

179. Bachelier L. Theorie de la speculation / L. Bachelier / / Annales de FEcole Ncrmale Superieure. 1900. V.3. JM6. PP. 21−85.

180. Boley B.A., Yagoda H.P. The three-dimensional starting solution for a melting sM) // Proc. Roy. Soc. Load. «А». 1971 .V. 323. PP. 89−110.

181. Ecnacina С., Comini G. Numerical solution of phasechange problem // Int. J. Heat Mass Transfer. 1973.V. 16. PP. 1823−1832.

182. Cattaneo G. Sulla conduzione del calore // Seminario inatematico e fisSco dell.

183. Universita di Modem. Modena, 1948. PP. 1−16.

184. Chan Sit. Low M. JX)., Mueller V/.K. Hyperbolic beat conduction in catalytic supported crystallites // AICHE Journal. 1971. V.17. Г2.6. FP.1499−1501.

185. Colc! oug!i A., Survey A. Method of Practical Thermometry in the Range 0 to3000 °C. // Symposium On Measurement of High Temperature Mechanical Properties of Material Proceeding. London. Teddkgton, 1932. FP. 53−90.

186. Cramer H. On the theory of stationary random processes // Aanals of Mathematics.1940. V.41. PP. 215−230.

187. Curtain R.F. Stochastical Partial Differential Equations. Stochastical Nonlinear П Systems.—Berlin: Springer, New York: Heidelberg, 1931. FP. 327−341.

188. Gerhold G.A. Lest-Squasre Adjustment of Weighted Data to General Linear Equation // American Journal of Physics. 1959.V. 37. 2. FP. 156−161.

189. Guiman L.N. On the problem of heat transfer in phase-chmge xmstosails for ¦ small Stefm numbers // International Journal of Heat Mass Transfer. 1915. V. 29. № 6. FP. 921−926.

190. Friedlender F.G. Simple progressive solution of fee wave equation I I Proc. Cambridge Fhilos. Society. 1954.V. 43. PP. 360−373.

191. Lybanon M. A Better Least-Squares Metod Both Variables Have Uncertainties // American Journal of Physics. 1934.V.52. }& 1. PP. 22−26.

192. Lisrkov A.V., Bubnov V.A., Soloviev LA. On wave solotioa of heat-conduction equation // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1976.V.19. PP. 245−248.

193. Ma Sh.-K. Calculation of entropy from data of motion // Journal of Statistical Physics. 1931. V. 26. Ш. PP. 221−240.

194. Narayanamurti V., Dynes R. Observation of second sound in Bismuth // Physical Review Letters. 1972. V. 26. J&22. PP. 1461−1465.

195. Nunziato JAY. On heat conduction in materials with memory // Quarterly cf Applied Ma±cmatics. 1971. Ж6. PP.184−204.

196. Peshkov V. Second sound in Helium I // International Journal of Physics. 1944.V.8.M5.PP.331.

197. PoweIl DIt., Macdcnald JJL A Rapidly Convergent Iterative Method for the Solution cf the generalized EonJinear Least Square Problem // The Computer Journal. 1971 V.15. № 2. PP. 148−155.

198. Rasmussen H., Rogers C. A Note cn new expansion Procedure fcr the Stefan Prch!:m // Letter in Heat md Mass Transfer. 1976. V. 3. PP. 327−332.

199. Ru&ks2sy В., Cravaiio E.G. The determination cf (fas thermal histcry in a onedimensional freezing systems by pertubaticn method // International Journal ofiHeat Mass Transfer. 1979. V. 101. Ш. PP. 326−330.

200. Shevelev V.V., Kartachov E.M. Seme Statistical Aspects cf the Brittle Fracture and Dumbihty cf Pchmers // Pchmer Science. Ser A. 1997. V. 39 J& 7. FP. 820−825.

201. SaharsIde D., Bcley В A. The solution cf a class cf two-dkmsionsi melting and scM^eaticn prch!:ms // International Journal cf ScM and Structures. 19S5.V. 1. Jj2. F?. 207−234.

202. Stefan J. Uher die Thecrie der Eisbilding Polarmeere // Sitzber. Wien. Akad. Mat. Naturw. 1889. Bd.93. lla.PP. 955−933.

203. Stefan J. Ufcer einige probleme der thecrie der wanneletung // Sitzber. Wien. Akk. Mat. NaffirW. 1Й9. E! i93.11a. PP. 616−634.

204. Tao L.N. The Stefki problem wish arbitary intial md boundary conditions // Qurterly. Applied Mathethematics. 1978. V. 36. J&3.PP. 223−233.

205. Vemotte P. La nouvelle equation de la chaleur. Peut-il у avoir propagation // Joumaux internationals de transmission de la chaleur. Communication 1.01. 1961. PP. 1−12.