Математические модели производственной системы в условиях несовершенного рынка кредитов

Актуальность темы

Переход от идеологических дискуссий, происходящих на концептуальном уровне, к систематическим исследованиям на языке магматических моделей является актуальным для всестороннего понимания экономических процессов и для построения эффективной экономической политики.

В отделе «Математическое моделирование экономических систем» Вычислительном центре РАН им Дородницына (руководитель — академик A.A. Петров) накоплен значительный опыт математического моделирования российской экономики методами системного анализа Основные результаты за последние 20 лет получены A.A. Петровым, ИГ Поспеловым, А, А Шананиным, Н. К. Обросовой [21,30,31] По указанным работам можно легко проследить эволюцию современных методов и представлений в области математического моделирования российской экономики.

В 1999 г. под руководством, А А Шананина была построена модель для оценки потенциала среднесрочного роста российской экономики в той ситуации, когда еще сохраняется прежняя структура производства, но уже произошло оздоровление кредитно-денежной системы и возникли достаточно конкурентные рынки товаров и капитала Развитием одного из аспектов данной модели является настоящая работа, посвященная моделированию производственной системы.

История моделирования производственной системы восходит еще к работам Леона Вальраса [19], родоначальника математической экономики. Его модель основана на прямом сопоставлении «затраты — выпуск» с помощью технологического множества производителя Идеи Вальраса получили свое развитие в работах Эрроу [1] и Дебре [3], где каждый производитель так же представлен технологическим множеством Yf eR", г е множеством пмерных векторов, чьи отрицательные компоненты описывают затраты, а положительные представляют соответствующие этим затратам выпуски Модели Вальраса, Эрроу и Дебре легко позволяют изучать отношения собственности в группе предприятий.

В модели Леонтьева [10,11] конечный выпуск сопоставляется сделанным затратам с помощью технологической матрицы Модель Леонтьева хорошо приспособлена для описания межотраслевых взаимодействий, однако эта модель не учитывает ограничений на выпуск конечной продукции.

Для того чтобы учесть имеющиеся в отрасли ограничения на выпуск конечной продукции, в настоящее время обращаются к распределению мощностей по технологиям. Впервые распределение мощностей по технологиям было использовано в работе Хуатекера [9] для анализа производственных функций типа Кобба-Дугласа Затем, в работах Йохасена [13, 14, 15] был предложен подход к построению производственной функции отрасли на основе информации о распределении мощностей по технологиям Впоследствии такой подход использовался для анализа конкретных отраслей экономики.

Норвегии и Швеции [5]. В работе, А А. Шананина [32] было показано, что производственная функция отрасли в модели Хаутекера-Йохансена обладает такими неоклассическими свойствами как неубывание и вогнутость В следующей статье, А А Шананина [33] была доказана интегрируемость этой функции. Общей чертой моделей производственной системы, предложенных Хуатекером и Йохансеном и нашедших свое развитие в работах Хильденбранда [8], Форсунда [5], Эйдэ [4], является их нейтральность по отношению к оборотным фондам.

На продолжении прошлого десятилетия эксперты отмечали [34], что материальные ресурсы в неэнергетических (легкая промышленность, автомобилестроение, станкостроение, фармацевтика, сельское хозяйство итд) отраслях народного хозяйства России распределяются неэффективно Модель Хаутекера-Йохансена, на основании обобщенной леммы Неймана-Пирсона [20], утверждают, что неэффективное распределение ресурсов является следствием кредитования убыточных предприятий Стандартные рекомендации в этом случае — ужесточение монетарной политики Однако в России проводилась сверхжесткая монетарная политика и производственные единицы испытывали дефицит оборотных средств, при этом распределение ресурсов оставалось неэффективным Таким образом, классические модели производства, не учитывающие оборотные средства и особенности современной российской экономики, оказались не в состоянии объяснить ее парадоксы и потребовали существенной модификации.

Одной из особенностей российской экономики является то, что при сложившейся конъюнктуре цен производство отечественных товаров народного потребления оказывается рентабельным, однако невысокое качество продукции делает их низко конкурентоспособными [25] по отношению к импортным Низкая конкурентоспособное^ приводит к существенной нестабильности в реализации продукции [27]. Нестабильность в реализации влечет за собой необходимость авансирования затрат на производство.

В 2000 году А. А. Шананиным и Э В Автуховичем [20] была предложена модификация модели Хаутекера-Йохансена, которая позволила объяснить неэффективное распределение ресурсов, как следствие случайного характера моментов реализации в условиях дефицита оборотных средств В статье Н К Обросовой [29] предполагается, что цены на выпускаемую продукцию зависят от объемов реализации При этом предположении описана модель предприятия, испытывающего проблемы с авансированием затрат на производство.

Кредитная система — это механизм, как раз созданный для преодоления проблем с авансированием затрат на производство Российская кредитная система пока не является совершенной и производственные единицы испытывают трудности с получением кредитов Традиционно различают два рынка кредитов — краткосрочных и долгосрочных Долгое время доступ на оба рынка кредитов являлись сегментированными [26] В последние годы краткосрочный кредит стал более доступным и рынок краткосрочного кредита можно считать конкурентным. Однако рынок долгосрочного кредита остается сегментированным, т е доступ на него имеют лишь крупные финансовые организации.

Крупные финансовые организации в свою очередь обеспечивают кредитом те производственные единицы, которым они доверяют и которые они могут каким-то образом контролировать. В связи с этим актуальным представляется вопрос о том, каким образом крупные финансовые структуры будут строить свои отношения с производством и как преследуемые ими цели повлияют на эффективность распределения материальных ресурсов? Особенно интересен вопрос формирования процентных ставок по долгосрочным кредитам, поскольку во всем мире эта информация является конфиденциальной.

В последние годы наблюдается некоторая стабилизация в сбыте отечественных товаров и повышение эффективности распределения материальных ресурсов Однако до настоящего момента не произошло значительного улучшения качества российских товаров по отношению к импортным Эксперш считают, что стабилизация сбьпа произошла за счет установления долгосрочных контрактных отношений между предприятиями В связи с этим возникает необходимость модифицировать разработанные модели производства, чтобы объяснить произошедшую стабилизацию, а так же выявить скрытые угрозы, способные снова дестабилизировать экономические отношения.

Аналитическому решению этих актуальных проблем и посвящена данная работа Цель работы. Цель данной работы — построение математических моделей производственной системы для выявления механизма формирования процентных ставок по кредитам в условиях несовершенной кредитной системы и нестабильной реализации продукции и для определения влияния интересов крупных финансово-промышленных организаций на распределение материальных ресурсов отрасли. Целью работы так же является объяснение произошедшей стабилизации на рынке сбыта отечественных товаров и выявление скрытых угроз, способных снова привести к дестабилизации.

Методы исследования. Для достижения поставленных целей решались задачи линейного программирования в функциональном пространстве с бесконечным числом ограничений, причем решение было получено в аналитической форме. При решении поставленных задач использовались методы системного анализа, выпуклого анализа и теория экстремальных задач.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной.

1 Найдены функции загрузки, прибыли, средств замороженных под краткосрочные и долгосрочные кредиты производственной единицы в зависимости от цены и себестоимости продукции, и так же от процентных ставок по долгосрочным и краткосрочным кредитам.

2. Построена модель формирования процентов по долгосрочным кредитам в зависимости от целей кредитодателя и сегментированное&tradeкредитных рынков Получены формулы для процентных ставок.

3 Найдены оптимальные стратегии поведения производственных единиц при работе в условиях несовершенного рынка кредитов, нестабильной реализации продукции и возможности заключения долгосрочных контрактов.

Диссертация состоит из трех глав и приложения.

В первой главе исследуется модель отрасли производства в условиях дефицита оборотных средств, предложенная Шананиным и Автуховичем и являющаяся модификацией модели Хаутекера-Йохансена Для модели Шананина-Автуховича находятся функции спроса, предложения и прибыли Исследуются свойства производственной функции в сравнении с моделью Хаутекера-Йохансена В модель Шананина-Автуховича вводится новый параметр для того, чтобы учесть инфляцию.

В § 1 1 дается описание базовой модели Хаутекера-Йохансена и формулируется обобщенная лемма Неймана-Пирсона Модель Хаутекера-Йохансена опирается на гипотезу о разделении времен В быстром времени происходят процессы маркетинга и обеспечения производства. В медленном времени изменяются производственные мощности. Переменные, относящиеся к быстрому времени, в задачах, поставленных для медленного времени считаются константами Модель Хаутекера-Йохансена описывает распределение ресурсов в отрасли при заданной структуре мощностей, т е в быстром времени.

В § 12 приведена модель производственной единицы в условиях дефицита оборотных средств (модель Шананина-Автуховича) В модели Шананина-Автуховича по сравнению с базовой моделью усложняется иерархия характерных временных масштабов и считается, что моменты реализации образуют случайный пуассоновский поток с параметром Я.

В рамках этой модели была решена задача о максимизации математического ожидания денежных доходов за цикл деятельности производственной единицы между двумя последовательными моментами реализации продукции.

В § 1.3 найдены усредненные характеристики производственной единицы в рамках модели Шананина-Автуховича и исследованы функции спроса, предложения и производственная функция отрасли Были найдены среднее значение средств замороженных под краткосрочные и долгосрочные кредиты производственной единице Было показано, чго функции спроса и предложения в модели Шананина-Автуховича не всегда являются интегрируемыми Приведен пример невогнутой производственной функции в модели Шананина-Автуховича.

В § 14 модель Шананина-Автуховича модифицирована так, чтобы учесть инфляцию Было предположено, что цена продукции и вектор цен на производственные факторы текущего пользования (ПФТП) в модели Шананина-Автуховича растут экспоненциально с темпом инфляции /.При таком предположении решена задача о максимизации математического ожидания денежных доходов за цикл деятельности производственной единицы между двумя последовательными моментами реализации продукции. Найдена формула для загрузки производственной единицы, работающей в условиях инфляции и обсуждается влияние инфляции на загрузку.

В § 1.5 приведен пример качественного анализа работы производства в ЗАО «Сухановский» с помощью построенной модели.

Вторая глава посвящена изучению того, как влияют цели крупных финансовых организаций на распределение материальных и финансовых ресурсов в подконтрольных им группах производственных единиц Описано формирование процентов по долгосрочным кредитам в зависимости от целей кредитодателя и сегментированности кредитных рынков Доказан аналог обобщенной леммы Неймана-Пирсона Найдены формулы для процентных ставок.

В § 2 1 предложены две схемы управления финансовыми потоками отрасли производства, условно названные схемой Собственника и схемой Банка В схеме Собственника управляющий субъект распоряжается всей прибылью производственных единиц и заинтересован в ее максимизации. Банк строит чисто коммерческие отношения с производством, наделяя производственные единицы оборотными средствами и не распоряжаясь всей прибылью предприятия Он взимает проценты за предоставленные кредиты Банк заинтересован в максимизации суммарных процентов, получаемых им с производственных единиц.

Для каждой схемы проанализирован случай как конкурентного рынка краткосрочных кредитов, так и сегментированного В случае конкурентного рынка краткосрочный кредит доступен всем производи венным единицам под одинаковый процент Они берут его на открытом рынке краткосрочных кредитов, а Банк или Собственник наделяет их только долгосрочным кредитом В случае сегментированного рынка краткосрочных кредитов доступ на рынок краткосрочных кредитов имеют только крупные агенты, и такой рынок называется межбанковским. При этом Банк или Собственник наделяют подконтрольные им производственные единицы и долгосрочным и краткосрочным кредитом, устанавливая каждой производственной единице свои проценты.

В § 2 2, § 2 3, § 2.4, § 2.5, поставлены четыре задачи об управлении Собственником и Банком финансовыми ресурсами отрасли в условиях конкурентного и сегментированного рынков краткосрочных кредитов, соответственно С математической точки зрения это задачи линейною программирования в функциональном пространстве с бесконечным числом ограничений Были доказаны теоремы о существовании и структуре решений этих задач, причем решения задач удалось найти в аналитической форме Эти теоремы являются аналогами обобщенной леммы Неймана-Пирсона.

В § 2 6 дана интерпретация полученных результатов и проведено сравнение схем управления финансовыми ресурсами отрасли. Показано, что производственные единицы разбиваются управляющим субъектом на четыре группы в зависимости от коэффициента рентабельности.

Производственные единицы первой группы работают на полную мощность только за счет краткосрочного кредита, который они получают либо у своей управляющей организации (Банка или Собственника), либо на открытом рынке, в случае сегментированного и конкурентного рынка краткосрочных кредитов, соответственно.

Производственные единицы второй группы работаю на полную мощность сначала за счет долгосрочного, а потом краткосрочного кредитов.

Третья группа производственных единиц — это область неэффективности. Среди производственных единиц третьей группы ресурсы распределяются неэффективно, те загружаются менее рентабельные, при недогрузке более рентабельных Производственные единицы этой группы наделяются долгосрочным кредитом, а по его исчерпанию приостанавливают работу до момента реализации Средняя загрузка таких производственных единиц строго больше нуля и меньше единицы.

Производственные единицы четвертой группы не получают кредитов и не работают.

Были выписаны процентные ставки, по которым Банк и Собственник наделяются денежными средствами свои производственные единицы Показано, что Банк назначает монопольный процент, а Собственник конкурентный.

В третьей главе предложена модель производственной системы, позволяющая учесть наличие долгосрочных контрактов между предприятиями Исследовано влияние контрактов на распределение материальных и финансовых ресурсов отрасли Проведено сравнение функционирования отраслей описываемых моделью с контрактами и моделью Шананина-Автуховича Предложен пример использования построенной модели с контрактами в двух секторной модели российской экономики. Доказано существование равновесных цен в двухсекторной модели и исследованы их свойства.

В § 3 1 предложена модель производства, учитывающая возможность предприятий работать по контрактам Для моделирования контрактных отношений за основу взята модель Шананина-Автуховича и заложенная в ней гипотезу о разделении времен на быстрое, среднее и медленное.

Будем предполагать, что существуют два рыка сырья (ПФТП) и два рынка готовой продукции — контрактный рынок и свободный рынок с нестабильной реализацией Цены на одну и ту же продукцию на контрактном и свободном рынках могут различаться Контракты являются долгосрочными Предприятие может заключить тот или иной контракт только в том случае, если оно может гарантировать его бесперебойное выполнение.

Решена задача о максимизации математического ожидания денежных доходов за период между двумя последовательными реализациями продукции.

В § 3 2 сравниваются оптимальные стратегии поведения производственных единиц при различных условиях в модели с контрактами и в модели Шананина-Автуховича Показано, что наличие контрактов сужает область неэффективного распределения ресурсов и уменьшает потребность предприятий в кредитах.

В § 3 3 приведен пример применения предложенных построений для анализа такого парадокса российской экономики, как невыполнения закона Грешама Рассмотрена двухсекторная модель российской экономики, в которой вся экономика разбита на ТЭК и неэнергегический сектор Доказано, что такой двухсекторной модели существую I равновесные цены Найдены оценки на отношение равновесных цен на свободном и контрактном рынках.

В § 3 4 решена задача об управлении Собственником финансовыми ресурсами отрасли в условиях конкурентного рынка краткосрочных кредитов для модели с контрактами.

1. Deubreu G Theory of Value Wiley, New-York, 1959 4.

2. Forsund F., Hjalmarsson L. Production function in Swedish particle board industry In Le capital dans la Fonction de Production, Pans, 1978, p.79−99. 6 Henkin G M., Shananin A A Bernstein theorems and Radon transform Application to the theory of production functions Translations of mathematical monographs, 1990, V 81, p 189−223.

3. Henkin G M Shananin A A. The Bernstein theorems for Fantappie lndicatnx and their applications to mathematical economics// Lecture notes in pure and applied mathematics, 1991, v. 132, p 221−227.

4. Hindenbrand W Short-run production Econometrica, 1981 v 49. N5, p 1095−1125. 9 function based on microdata// Houthakker H S The Pareto distribution and the Cobb-Douglas production function inactivity analysis //Rev. Econ Studies, 1955;56, v23(1), N60, p27−31.

5. Leontiev V. Quantitative Input and Output Relations in the Economic System of United States Quarterly Journal of Economic, 1936.

6. Johansen L Production functions Amsterdamlondon North Holland C o 1972, 274 p. 16 Sato К Production function and aggregation Amsterdam, New-York, 1975.

7. Seierstad A. The macro production function uniquely determines the capacity distribution of the micro units// Econ Letters, 1981, v.7,N3,p221−214 18 Shephard R W. Indirect production functions Mathematical systems in economics N10, 1974 19 Walras L Elements deconomie politique pure ou theone de la richesse sociale Corbas, Lausanne, 1874 20 Автухович Э В Шананин A A. Отрасль производства в условиях дефицига оборотных средств Математическоемоделирование, 2000. Т.12. № 7 С 102−126.

8. Автухович Э В Гуриев С М Оленев Н Н Нетров, А А Поспелов И Г Шанаиин, А А Чуканов С В Математическая модель региональной экономики М ВЦРАН, 1999. 143с 229.

9. Аркин В И Левин В Л Вариационные задачи с функциями многих неременных и модель раснределения ресурсов Математическая экономика и функциональный анализ /Подред БСМитягина М Наука, 1974 С 7 3 4.