Математические модели и методы структурного анализа рядов наблюдений на основе сепарации пространства параметров

В последнее время значительное влияние на развитие математических моделей, методов и алгоритмов оказывает рост возможностей и быстродействия вычислительной техники.

Значительная часть инженерных задач связана с обработкой и анализом больших потоков данных. Точность анализа и прогноза в таких случаях зависит от характера применяемой модели. Поэтому возникает потребность в создании новых математических моделей, методов и алгоритмов, пригодных для обработки больших потоков данных, непрерывно поступающих в течение длительного времени.

В отраслях техники, где производятся последовательные наблюдения за различными величинами, актуальной является задача структурного анализа временных рядов [11]. Особенную актуальность приобретает задача выявления и оценки индивидуальных особенностей фрагментов наблюдений. Ей, в ряде случаев, отдают приоритет перед задачей построения долгосрочных и общих закономерностей из-за сложности или, наоборот, тривиальности последней.

Постановку задачи, решаемой в настоящей работе, можно кратко сформулировать в виде следующей последовательности подзадач:

— установить наличие фрагментов, содержащихся в ряде наблюдений и обладающих схожими характеристиками. Осуществить выделение таких фрагментов. Выделенные фрагменты отнести к нескольким группам — кластерам;

— найти параметры, характерные для каждого кластера, содержащего фрагменты записи. Составить усредненные «портретные» фрагменты-образцы, соответствующие каждому из кластеровосуществлять соотнесение вновь поступающих фрагментов ряда наблюдений с «портретными».

При такой обработке у исследователя появляются возможности оперативного выявления происходящих структурных изменений в наблюдаемом процессе. А это. в свою очередь, позволит решить многие задачи, связанные с автоматическим мониторингом различных величин. Даже в отсутствие накопленных знаний для экстраполяции такая методика позволит установить сам факт наблюдающегося или произошедшего изменения.

В современной технике поставленная задача актуальна также в связи со следующими особенностями:

1) регистрация полезного сигнала неизбежно связана с помехами;

2) часто полезный сигнал приходится выделять из группы сопутствующих сигналов. Его можно зарегистрировать только в совокупности с другими сигналами, поступающими в этих же условиях.

Первый случай является следствием несовершенства или технологических сложностей при установке, подключении и передаче сигнала измерительной аппаратурой. Второй случай является следствием выбора доступных для исследователя точек поступления сигнала на измерительную аппаратуру. Оба случая могут вносить свой вклад в повышение сложности задач анализа наблюдений сигнала, как по отдельности, так и в совокупности.

Часто применяемый на практике инженерный прием увеличения частоты съема наблюдений с одной стороны повышает достоверность наблюдений, а с другой — усложняет их интерпретацию из-за увеличения объема поступающих данных при неизменном влиянии перечисленных факторов 1) и 2). В таких случаях становится особенно актуальным наличие подходящих моделей, включающие методы и алгоритмы обработки наблюдений.

Основной целью настоящей работы является создание методики на основе сепарции пространств параметров. Эта методика предназначена для осуществления структурного анализа рядов наблюдений. Совокупность численных методов и вспомогательных алгоритмов этой методики должна основываться на возможностях и быстродействии современных вычислительных машин и использовать новейшие подходы в формализации. Также целью является построение комплекса программ, пригодного для информационного анализа больших потоков данных, и решение при помощи этого комплекса прикладных задач, связанных с эксплуатацией судов в ледовой обстановке.

Диссертация состоит из 6 глав, введения, заключения и приложений.

В главе 1 произведен обзор моделей структурного анализа рядов наблюдений и обоснована актуальность постановки задачи. В § 1.1 осуществлен обзор математических методов, применяющихся для анализа наблюдений, записанных в виде временных рядов. Перечислены различные модели структурной декомпозиции временных рядов. Подчеркнута актуальность часто встречающейся в технике задачи — структурного анализа существенно нестационарных временных рядов. Отмечена несостоятельность вероятностной модели для решения многих инженерных задач, где требуется представлять наблюдаемые процессы суперпозицией детерминированных функций от времени.

В § 1.2 демонстрируется актуальность прикладной задачи структурного анализа нестационарных наблюдений нагрузок, вызываемых льдом, на корпуса судов и морских конструкций. Сделан обзор особенностей мониторинга показаний тензометрических датчиков сопротивления, при помощи которых осуществляется регистрация нагрузок. Перечислены причины, влияющие на результирующую нестационарность показаний. Сделан обзор методов, применяющихся в настоящее время для анализа результатов массовых показаний датчиков нагрузок.

Таким образом, сделан вывод о необходимости создания методики структурного анализа временных рядов, состоящих, преимущественно из нестационарных колебательных процессов.

Подчеркнуто, что создание автоматических систем мониторинга ледовых нагрузок отвечает современным требованиям надзорных организаций [59]. Поэтому в параграфе отмечено, что комплекс программ, позволяющий проводить такие исследования со значительной степенью автоматизации работы, должно стать частью работы по созданию методики.

В § 1.3 осуществлена постановка задачи исследования.

В § 1.4 изложена общая характеристика диссертационной работы, отмечены ее научная новизна и практическая значимость.

В главе 2 осуществлено построение нечеткой кластеризационной модели на основе алгоритма С-средних. Изложена авторская модификация этого алгоритма. предназначенная для решения задач в многомерных пространствах и на зашумленных данных. Построение модели завершается синтезом нечеткого классификатора.

В § 2.1 произведена постановка задачи нечеткой кластеризации зашумленных результатов массовых наблюдений. Использована математическая формализация нечеткого итерационного алгоритма С-средпих (C-means), который начал применяться с широким распространением быстрых вычислительных машин[60|. Перечислены недостатки этого алгоритма для случая работы с зашумлепными данными, которые устраняются при помощи авторской модификации, изложенной в последующих параграфах.

В § 2.2 обращено внимание на методы предобработки временных рядов и их фрагментов с целью осуществления кластеризации в пространстве параметров. Существует множество различных методов предобработки данных. Подчеркнут колебательный характер регистрируемых нагрузок на обшивке конструкций. Для решения прикладной задачи исследования тензометрических данных сделан вывод о целесообразности применения спектрального анализа как вида предобработки, а также выявления характера всплесковых явлений при помощи методов аппроксимации функций.

В § 2.3 разработана система моделирования стартовых параметров алгоритма С-средних. Предложено к использованию два типа инициализации параметров — с использованием равномерно распределенных случайных величин, и с использованием непрерывных унимодальных случайных величин. На примере продемонстрировано, что оба способа имеют свои преимущества. Результаты этого параграфа были доложены автором на III-й Всероссийской конференции по имитационному моделированию «ИММОД-2007» в октябре 2007 г [28].

В § 2.4 разработано дополнение алгоритма С-средних статистической моделью оценки результатов работы этого алгоритма на зашумленных многомерных данных. В связи с тем, что число кластеров при задании стартовых параметров нечеткого алгоритма оценивается экспертным путем, оказывается необходимой разработка специальных характеристик успешного решения задачи кластеризации.

Синтез в § 2.5 нечетко-нейросетевого классификатора, способного относить вновь поступающие предобработанные фрагменты наблюдений к одному из классов, является завершающим этапом построения модели.

В главе 3 осуществлено построение модели геометрической кластеризации в пространстве параметров. Для синтеза геометрического классификатора применено построение разделяющих гиперплоскостей по методу опорных векторов Вапника (SVM). Метод SVM впервые полностью изложен в работе Вапника «The Nature of Statistical Learning Theory"[65], изданной в 1995 году.

Также в этой главе разработана модель гиперквадрирования кластеров с учетом неполной информации о его расположении в пространстве параметров.

Постановка задачи геометрической клас1еризации в многомерном пространстве при помощи разделяющих гиперплоскостей изложенав § 3.1. При этом возникающая задача квадратичной оптимизации сведена к решению последовательности задач линейного программирования.

В § 3.2 осуществлен синтез геометрического классификатора, обучение которого производится по методу SVM. Этот классификатор способен относить предлагаемую к распознаванию точку в пространстве параметров к одному из выпуклых кластеров в этом пространстве,.

В связи с необходимостью специального описания кластера для целей имитационного моделирования, в параграфе § 3.3 разработано и обосновано правило для осуществления квадрирования кластера при наличии неполной информации о его расположении в пространстве параметров.

Собственно процедура имитационного моделирования точки из одного кластера или совокупности кластеров, расположенных в многомерном пространстве параметров, формализована в § 3.4. При этом использована модель описания кластера из § 3.3.

В главе 4 разработана модель иерархического классификатора, а также произведена формализация предлагаемой в работе методики в виде последовательности шагов.

Иерархический классификатор, формализованный в виде совокупности принимающих решение элементов, связанных в ориентированный граф, предложен в § 4.1. В параграфе предложена система настройки параметров принимающих решение элементов, и весов связей между элементами так. что оказывается возможным доказать теорему (Теорема 1) о классификации иерархических векторов.

Решение прикладной задачи кластеризации при исследовании ледовых нагрузок на корпус судна и морских конструкций успешно получается при проведении предобработки, связанной с оценкой формирующих наблюдения периодических компонент. Адаптация спектрального метода предобработки фрагментов временного ряда к случаю зашумленных данных осуществлена в § 4.2.

Некоторые инженерные задачи, в частности — прикладная задача, рассматриваемая в настоящей работе, предусматривает сравнение фрагментов временных рядов по ведущим частотам их периодических компонент. Таким образом, в задаче устанавливается приоритетность диапазонов частот. Для целей такого анализа в § 4.3 используется разработанный ранее в § 4.1 иерархический классификатор.

Методика структурного анализа зашумленных результатов последовательных массовых измерений сформулирована в § 4.4. В основу методики легли три модели — нечеткой кластеризации, геометрической кластеризации и иерархической кластеризации, изложенные и обоснованные в главах 2, 3 и 4.

В главе 5 предлагается модель восстановления ведущих компонент зашумленного ряда. Эта модель основана на аппроксимации наблюдаемых процессов функциями, нелинейными по параметрам, при помощи эволюционного алгоритма.

В § 5.1. сформулирован эволюционный квазигенетический алгоритм, основанный на принципах работы генетических алгоритмов, и использующий операцию арифметического скрещивания. Сформулированный алгоритм способен находить на выпуклом замкнутом подпространстве U метрического пространства поиска искомую окрестность минимума функции. При помощи этого численного алгоритма предложено решить задачу поиска минимального состава ведущих колебательных компонент, адекватно представляющих рассматриваемые фрагменты временного ряда.

Для эволюционного квазигенетического алгоритма в § 5.2 доказываются леммы и теорема о достижении окрестности оптимального решения.

Опишем эти леммы и теорему (Теорему 2). Рассматривается случай существования двух экстремумов в области поиска. Лемма 1 является утверждением о сохранении найденного наиболее оптимального решения на протяжении двух соседних итераций. Лемма 2 задает условие, при котором через конечное число итераций алгоритм перейдет к множеству более оптимальных решений. Теорема 2 утверждает, что при любом множестве начальных решений для квазигенетического алгоритма существует ненулевая вероятность отыскания окрестности оптимального решения за конечное число шагов.

В § 5.2 доказывается георема (Теорема 3) о скорости сходимости сформулированного эволюционного алгоритма. Теорема 3 сравнивает в предельном случае скорости сходимости квазигенетического алгоритма и алгоритма случайного поиска.

В главе 6 описывается решение прикладных задач анализа мониторинга нестационарных нагрузок, вызываемых льдом, на корпусы судов и детали морских конструкций. Решение этих задач осуществляется при помощи разработанной методики, а также сформулированного и обоснованного соответствующими теоремами эволюционного алгоритма.

Решение задачи кластеризации фрагментов натурных наблюдений корпусной тензосганции при движении судна ледового класса во льдах рассмотрено в § 6.1. Существенно новые результаты, полученные при помощи применения методики, были доложены автором на НТК «Проблемы мореходных качеств судов и корабельной гидромеханики. XLII Крыловские чтения» в Санкт-Петербургском ЦНИИ им. академика А. Н. Крылова в декабре 2006 года [32].

В § 6.2 приводится постановка задачи и основные результаты отыскания при помощи эволюционного квазигенетического алгоритма минимального состава ведущих колебательных характеристик в наблюдениях сконструированного на основе тензодатчиков динамометра, регистрирующего нагрузки при протягивании моделей опоры ледостойкого причала. Опоры этого причала с 2007 года установлены на о. Варандей.

Изучаемые модели предполагали различное конструктивное решение опоры причала, и испытания для них в ледовом бассейне проводились с целью изучения соответствующего воздействия моделированного льда.

Применение квазигенетического алгоритма для отыскания ведущих колебательных характеристик в рядах наблюдений позволило провести новое и более детальное и изучение нестационарного воздействия льда па модели конструкции.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

В Приложениях приведены результаты некоторых проведенных исследований, иллюстрирующих или поясняющих текст основных глав диссертационной работы. Также в приложениях приведены 26 страниц распечаток основных модулей комплекса npoipaMM на языке программирования С++. Остальные модули комплекса программ по объему превышают 30 страниц, и не включены в приложения. Созданный комплекс программ реализует совокупность моделей и алгоритмов по структурному анализу рядов наблюдений, являющихся составной частью предлагаемой в работе методики.

Результаты работы алгоритма для фрагментов записей опрокидывающего момента, приведенных на рис. 6.2.3 а) Ь), при к = 4, приведены в табл. 6.2.3 и 6.2.4, соответственно, для опор с прямыми и наклонными стенками.

Заключение

.

В работе получены следующие основные результаты:

1. Произведен общий обзор моделей структурного анализа рядов наблюдений. Осуществлен обзор прикладной задачи анализа больших массивов тензометрических наблюдений нагрузок в процессе эксплуатации судов и морских конструкций в ледовых условиях. Отмечена важность решения этой задачи в режиме реального времени.

Произведено обоснование необходимости разработки специальной методики, предназначенной для изучения сфуктур потоков наблюдений в условиях недостатка информации о характере этих структур

2. Предложена методика, объединяющая три модели — нечеткой кластеризации, геометрической кластеризации и классификации с использованием иерархии.

Для модели нечеткой кластеризации С-средних автором предложены стохастические модели инициализации численного алгоритма в многомерных пространствах. Также для этого алгоритма автором предложена система статистической оценки результатов, пригодная для работы модели на зашумленных данных.

Использована модель геометрической кластеризации, основанная на методе опорных векторов Вапника (SVM). При составлении программной реализации этой модели использовалось сведение задачи квадратичного программирования к системе задач линейного программирования.

Предложена авюрская модель иерархической классификации. Для этой модели доказана теорема (Теорема 1) о классификации двух иерархических векторов, производимой на основе запомненного образца.

3. Осуществлен синтез трех видов классификаторов, способных работать в режиме реального времени — нечеткого, геометрического па основе SVM и иерархического.

4. Предложена нечеткая модель квадрирования кластера с учетом неполной информации о его расположении в многомерном пространстве парамефов. На основе этой модели осуществлено теоретическое обоснование процедуры имитационного моделирования точки из единственного кластера и из нескольких кластеров в пространстве параметров. Построенные при этом алгоритмы имитационного моделирования предназначены для работы в имитационных системах, изучающих результаты кластерного анализа данных, и уточняющих соответствующую физическую интерпретацию.

5. Предложено использовать эволюционные алгоритмы для отыскания параметров ведущих колебательных компонент временных рядов.

Сформулирован численный итеративный эволюционный алгоритм, основанный на принципах генетических алгоритмов, и использующий операцию арифметического скрещивания. Этот алгоритм позволяет решить численно задачу оптимизации целевой функции на выпуклом замкнутом подпространстве линейного метрического пространства. При этом целевая функция может быть нелинейна по параметрам поиска.

Доказаны теоремы о достижении оптимального решения при помощи сформулированного квазнгенетического алгоритма. Лемма 1 является утверждением о сохранении найденного лучшего решения на протяжении двух соседних итераций. Лемма 2 задает условие, при котором через конечное число итераций алгоритм перейдет к множеству лучших решений, чем исходное множество.

Теорема 2 утверждает, что при любом множестве начальных решений для квазигенетического алгоритма существует ненулевая вероятность отыскания окрестности оптимального решения за конечное число шагов.

Теорема 3 утверждает, что сформулированный эволюционный алгоритм сходится к окрестности искомого экстремума по вероятности, в пределе, быстрее, чем алгоритм случайного поиска.

6. Составлен комплекс программ на языке С++, реализующий модели и численные методы построенной методики, для их использования на IBM-совместимых ЭВМ. Объем комплекса программ — свыше 2300 строк.

7. В задачах исследования наблюдений нагрузок на корпус судна, идущего во льдах, и нагрузок па морские конструкции под воздействием льда, осуществлен анализ нового типа, ранее не выполнявшийся.

Последовательно применены:

— спектральная предобработка предварительно разбитого на фрагменты временного ряда наблюдений;

— нечеткая кластеризационная модель, являющаяся авторской модификацией алгоритма С-среднихкластеризация периодограмм, кумулятивных периодограммиерархическая классификация по диапазонам частот;

— сформулированный квазигенетический алгоритм для поиска минимального состава ведущих колебательных компонент, адекватно представляющих рассматриваемые фрагменты временного ряда.

В задаче мониторинга корпуса судна проведенное исследование позволило установить наличие характерных структурных периодических компонент, позволяющих аналитически группировать фрагменты наблюдений нагрузок по характеру внешних ледовых воздействий.

Проведен анализ влияния конструктивного решения опоры причала на колебательные характеристики конструкции в процессе разрушения льда о стенки опоры. Такой анализ дает основания для дальнейшего изучения вибрации конструкции при помощи соответствующих физических моделей.

Созданный на языке С++ комплекс программ позволяет проводить такие исследования со значительной степенью автоматизации работы. Создание автоматических систем мониторинга ледовых нагрузок отвечает современным требованиям надзорных организаций [59].

Таким образом, продемонстрирована пригодность моделей предлагаемой методики, разработанных авторских модификаций математических методов и численных алгоритмов для решения прикладных задач.