Совершенствование дедуктивной подготовки студентов математических факультетов педвузов при обучении основам теории доказательств
Диссертация
Объектом исследования является процесс обучения студентов математического факультета педвуза, рассматриваемый с позиций дедуктивной подготовки. Предметом исследования является содержание и методические особенности обучения основам теории доказательств на базе натурального вывода. Основная цель исследования — разработка содержания и методики обучения будущих учителей математики основам теории… Читать ещё >
Содержание
- ГЛАВА 1. Теоретические основы дедуктивной подготовки будущих учителей математики
- 1. 1. Дедуктивная подготовка будущих учителей математики
- 1. 2. Профессиональная направленность обучения основам теории доказательств и дедуктивной подготовки будущих учителей математики
- 1. 3. Пути повышения эффективности обучения основам теории доказательств студентов математических факультетов педвузов
- ГЛАВА 2. Содержание и методические особенности обучения основам теории доказательств на базе. натурального вывода
- V.
- 2. 1. Многоуровневый подход при обучении основам теории доказательств на базе натурального вывода в курсе математической логики и на спецкурсах
- 2. 2. Методика введения основных понятий
- 2. 3. Методика доказательств наиболее важных теорем
- 2. 4. Методологическое значение сопоставления двух логических систем (классической и интуиционистской) при изложении основ теории доказательств
- 2. 5. Описание экспериментальной части исследования
- V.
Список литературы
- Абрамов A.M. и др. Концепция развития школьного математического образования // Математика в школе. 1990, № 1. — с.2−14.
- Алексеева О.В. Логическая подготовка младших школьников при обучении математике: Автореф. дис. канд. пед. наук.- М., 2000.- 24с.
- Ананченко К.О. Обучение индуктивным и дедуктивным умозаключениям в курсе алгебры 8-летней школы: Автореф. дисс.канд. пед. наук -М., 1979. -20 с.
- Андреев В.В. Профессиональная направленность обучения студентов педагогических вузов в курсе теории аналитических функций. Дисс.. канд. пед. наук.- М., 1993.-253 с.
- Арнольд В.И. Для чего мы изучаем математику? // Квант-1993, №½.с.5−15.
- Арнольд В.И. О преподавании математики // Успехи математических наук. -1998, т. 53, вып. 1 (319). -с.229−234.
- Арнольд В.И. Математическая безграмотность губительнее костров инквизиции // Известия. 1998, № 7 (16 января). — с.5.
- Ахмедов Ж., Гусев В. А. Воспитание у студентов философских, психологических, математических представлений о проведении доказательств // Проблемы подготовки учителей математики. М.: МЗГПИ, 1979
- Архангельский С.И. Лекции по научной организации учебного процесса в высшей школе. М.: Высшая школа, 1976. — 200с.
- Ю.Архангельский С. И. Учебный процесс в высшей школе, его закономерные основы и методы. М.: Высшая школа, 1980. — 368с.
- Бабанский Ю.К. Проблемы повышения эффективности педагогических исследований. М.: Педагогика 1982. — 192 с.
- Бескин Н.М. Аксиоматический метод // Математика в школе. 1993, № 3 (с.25−30) и № 4 (с.48−54).
- Бирюков Б.В., Тростников В. Н. Жар холодных чисел и пафос бесстрастной логики. М.: Знание, 1977. — 192 с.
- Н.Бирюков Б. В., Гусев В. А., Столяр A.A. Роль логики и кибернетики в профессиональной подготовке учителя // Математика в школе-1982, № 1.-е.77−78.
- Болтянский В.Г. Как устроена теорема? // Математика в школе. 1973. — № 3. -С.419.
- Болтянский В.Г. Об использовании логической символики при работе с определениями // Математика в школе. 1973, № 5. — с.45−50.
- Болтянский В.Г., Глейзер Г. Д. К проблеме дифференциации школьного математического образования // Математика в школе. 1988, № 3. — с.9−13.
- Болтянский В.Г., Глейзер Г. Д., Черкасов P.C. К вопросу о перестройке общего математического образования // Повышение эффективности обучения математике в школе / сост. Г. Д. Глейзер.-М.?Просвещение 1984 С.231−238.
- Брадис В.М. Воспитание логических навыков при обучении математике // Математика в школе. 1953. — № 1- С.20−25.
- Брадис В.М., Минковский B.JL, Харичева А. К. Ошибки в математических рассуждениях. М.: Просвещение, 1967. — 191с.21 .Бурбаки Н. Теория множеств. М.: Мир, 1965. — 456с.
- Бурлев Ю.А. Формирование обобщенных дедуктивных умений в курсе геометрии восьмилетней школы. Автореф. дисс.канд. пед. наук.-М., 1984.-17с.
- Вейль Г. Математическое мышление. Пер. с англ. и нем. / Под ред. Б. В. Бирюкова и А. Н. Паршина. М.: Наука, 1989. — 400 с.
- Вейц Б.Е. Язык школьного курса математики //Математика в школе. 1977, № 3. — с.42—46.
- Виленкин Н.Я. Современные проблемы школьного курса математики и их исторические аспекты // Математика в школе. 1988, № 4. — с.7−14.
- Виленкин Н.Я., Мордкович А. Г. Подготовку учителей математики на уровень современных требований. // Математика в школе. 1986, № 6. — с.7−14.
- Виленкин Н.Я., Мордкович А. Г. О роли межпредметных связей в профессиональной подготовке студентов педагогических институтов // Проблемы подготовки учителей математики в пединститутах. Под ред. Н. Я. Виленкина, А. Г. Мордковича. М., МГЗПИ, 1989.
- Волович М.Б. Наука обучать / Технология преподавания математики. М.: LINKA-PRESS, 1995. 280с.
- Выготский JI.C. Мышление и речь // Собр. соч. в 6-ти томах. Т.2. -М., 1982. — С.5−361.
- Вышенский В.А., Калужнин JI.A. О месте теории множеств и математической логики в преподавании математики в средней школе // Математика в школе. 1970. -№ 1, С.350.
- Гальперин П.Я. Психология мышления и учение о поэтапном формировании умственных действий // Исследование мышления в советской психологии. -М.: Учпедгиз. 1958. 131с.
- Гальперин П.Я., Талызина Н. Ф. Предисловие к книге: «Зависимость обучения от типа ориентировочной деятельности». М.:МГУ, 1968
- Гейтинг А. Обзор исследований по основаниям математики. M.-JL: ОНТИ НКТП СССР, 1936.-96с.
- Гейтинг А. Интуиционизм. Введение, пер. с англ. Под ред. и с коммент. A.A. Маркова. М.: Мир, 1965. — 200 с.
- Генцен Г. Исследования логических выводов // Математическая теория логического вывода. -М.: Наука, 1967. С.9−74.
- Гетманова А.Д. Учебник по логике. М.: Владос, 1994. — 303с.
- Гржегорчик А. Популярная логика. М.: Наука, 1979. — 112 с.
- Гильберт Д. Основания геометрии.-М.-Л.: ОГИЗ Гостехиздат, 1948. 492с.
- Гильберт Д. Проблемы обоснования математики // 38. С.389−399.
- Гильберт Д., Аккерман В. О теоретической логики.-М.: ИЛ 1947−304с.
- Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. М.: Наука, 1979. — 560 с.
- Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Терия доказательств. М.: Наука, 1982.-653 с. 43 .Гладкий A.B. Язык математической логики.-Калинин, 1977. В надзаг.: Калинин гос. ун-т. — 83с.
- Гладкий A.B. Математическая логика. М.: Российск. гос. гуманит. ун-т. 1998.-480 с.
- Гладкий A.B. Об уровне математической культуры выпускников средней школы // Математика в школе. 1990. — № 4 — С.7−9.
- Глейзер Г. Д. Цели общего образования в современном мире // Инновации и традиции в образовании. Белград, 1996. — С.93−104.
- Глухов М.М. Алгебра высказыванийи двоичные функции. Учебное пособие по курсу математической логики. М.: Изд-во в/ч 33 965, 1971. — 126 с.
- Глухов М.М. Математическая логика. М.: Изд-вЪ в/ч 33 965, 1971. — 232с.
- Глухов М.М., В.А. Шапошников. Задачи и упражнения по математической, логике. М.: Изд-во в/ч 33 965, 1984. — 100с.
- Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. -М.: Просвещение. 1985. 192с.
- Гнеденко Б.В. Об образовании преподавателя математики средней школы // Математика в школе. 1989, № 3. — С. 19−22.
- Гнеденко Б.В. О математическом образовании в вузах в период научно-технического прогресса. Сб. науч.-мет. статей по математике. Вып. 7. М.: МВССО СССР, -1978
- Горский Д.П. и др. Краткий словарь по логике.-М.:Просвещение, 1991.-208с.
- Грабарь М.И., Краснянская К. А. Применение математической статистики в педагогических исследованиях.-Непараметрические методы. М.: Педагогика, 1977. — 136 с.
- Градштейн И.С. Прямая и обратная теоремы. М.: Наука, 1973. — 128с.
- Гусев В.А. Методические основы дифференцированного обучения математике в школе: Дисс. докт. пед. наук. М., 1990. — 364с.
- Гусев В.А. Методическая подготовка будущих учителей математики в пединститутах // Совр. проблемы методики преподавания математики. М.: Просвещение, 1985, С.8−19.
- Гусев В.А., Смирнова И. М. Магистрская диссертация по методике преподавания математики. Методические рекомендации.-М.:Прометей, 1996.-108 с.
- Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении. Логико-психологические проблемы построения учебных предметов. М.: Педагогика, 1972. — 424с.
- Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. М.: ИНТОР, 1996. — 544с.
- Дорофеев Г. В. О правильности рассуждений и подробности изложения в решении задач // Математика в школе. 1982. № 1. — С.44−47.
- Дорофеев Г. В. Строгость определений математических понятий школьного курса с методической точки зрения // Математика в школе. 1984. -№ 3 -С.56−60.
- Дорофеев Г. В. Язык преподавания математики и математический язык Н Современные проблемы методики преподавания математики. М., 1985. -С.38−54.
- Дорофеев Г. В. Гуманитарно-ориентированный курс математики основа учебного предмета «Математика» в общеобразовательной школе // Математика в школе. — 1997, № 4. — С.59−66.
- Дорофеев Г. В. Математика для каждого. М.: Аякс, 1999. — 292 с.
- Дорофеева A.B. Гуманитарные аспекты преподавания математики // Математика в школе. 1990, № 6. — С. 12−13.
- Драбкина М.Е. Логические упражнения по элементарной математике-Минск: Вышейша школа. 1965 160с.
- Драбкина М.Е. О системе целенаправленных упражнений для формирования некоторых логических понятий при изучении математики в средней школе и педагогическом вузе: Автореф. дисс.канд. пед. наук.-Минск, 1971. 22с.
- Драбкина М.Е. Основания арифметики.-Минск:Вышейша школа, 1967.-207с.
- Жохов А.Л. Научные основы мировоззренчески направленного обучения математике в общеобразовательной и профессиональной школе. Автореф. дисс. докт. пед. наук. М., 1999. — 40с.
- Ежкова В.Г. Методические аспекты освоения логических конструкций языка школьной математики. Автореф. дисс. канд. пед. наук. М., 1999. — 20с.
- Ершов Ю.Л., Палютин Е. А. Математическая логика.-М.: Наука, 1979.-3 20с.
- Ефремович В.А., Гладкий A.B. К вопросу о подготовке учителей математики в педагогических институтах // Математика в школе. 1989, № 3. — с. 15−19.
- Иванова Т.А. Гуманитаризация математического образования. -Н.Новгород: Изд. НГПУ, 1998. 206 с.
- Иванова Т.А. Теоретические основы гуманитаризации общего математического образования. Автореф. дисс. докт. пед. наук. М., 1998. — 41с.
- Ивин A.A., Никифоров A.J1. Словарь по логике. М.: Владос, 1998. — 384с.
- Икрамов Д. Развитие математической культуры школьников (языковой аспект): Дисс. докт. пед. наук. Сырдарья, 1983. — 349с.
- Иляков В.А. Методика использования логико-математических понятий при изучении начал анализа в средней школе: Автореф. дисс. канд. пед. наук. -М., 1982.-22 с.
- Калошина И.П., Харичева Г. И. Логические приемы мышления при изучении высшей математики. Воронеж, Воронеж, гос. ун-т, 1978. — 128с.
- Калужнин Л.А. Элементы математической логики в школьном преподавании // Новое в школьной математике. М., 1972. — С. 147−165.
- Калужнин Л.А. Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики. М.: Просвещение, 1978. — 88с.
- Капиносов а.Н. Методика формирования умений проводить доказательные рассуждения при обучении математике в 4−5 (5−6) классах. Автореф. дисс. канд. пед. наук. -М., 1988.- 16с.
- Кварацхелия Н.М. К понятию логической грамотности // Пути совершенствования обучения математике. Ташкент, 1985. — С.10−16.
- Клайн М. Математика. Утрата определенности: Пер. с англ.-М.:Мир, 1984−434 с.
- Клайн М. Математика. Поиск истины: Пер. с англ. М.: Мир, 1988. -295с.
- Климентов Н.Г., МоторинскийЮ.А., Пайсон Б. Д. О развитии логической грамотности студентов // Воспитание познавательной активности студентов172при комплексном воздействии учебных и внеучебных форм работы. -Барнаул, 1978. С.91−92.
- Клини С. Введение в метаматематику. Пер. с англ. М.: ИЛ, 1957. — 526с.
- Клини С. Математическая логика. Пер. с англ. М.: Мир, 1973. — 480 с.
- Колмогоров А.Н. Современные взгляды на природу математики // Математика в школе. 1969, № 3. — С. 12−17.
- Колмогоров А.Н. Элементы логики в современной школе // Математика в школе. 1971, № 3. — С.7−14.
- Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. М.: Наука, 1991.
- Колмогоров А.Н., Драгалин А. Г. Введение в математическую логику. М.: Изд-во МГУ, 1982. — 120с.
- Колмогоров А.Н., Драгалин А. Г. Математическая логика. Дополнительные главы. М.: Изд-во МГУ, 1984. — 120с.
- Колягин Ю.М. Задачи в обучении математики. 4.1. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся. М.: Просвещение, 1977−110с
- Колягин Ю.М. Задачи в обучении математики. 4.2. Обучение математике через задачи и обучение решению задач. М.: Просвещение, 1977- 143с.
- Кондрашенкова Т.А. Методика формирования общелогических умений при обучении математике в 4−5 классах: Автореф. дисс. канд. пед. наук. М., 1981.-20с.
- Кондрашенкова Т.А., Никольская И. Л. О межпредметном значении логической составляющей курса математики // Математика в школе. — 1980. № 3 — С.62−68.
- ЮО.Корельская Т. Д., Падучева Е. В. Обратная теорема. Алгоритмические и эвристические проблемы мышления. М.: Знание, 1978. — 62с.
- Крелыптейн Б.И. Необходимые и достаточные условия в математике. М.: Учпедгиз, 1961. — 63с.
- Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. -М.: Просвещение. 1968. 431с.
- Кудрявцев Jl.Д. Современная математика и ее преподавание. М.: Наука, 1980. — 143с.
- Кудрявцев Л.Д. Мысли о современной математке и ее изучении. М.: Наука, 1967.- 162с.
- Курдюмова H.A. О методических подходах к записи учебного материала // Математика в школе. 1983. -№ 3 — С.25−30.
- Юб.Кутасов А. Д. Элементы математической логики. Пособие для учащихся 910 классов. М.: Просвещение, 1977. — 63с.
- Ю7.Кушнер Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу. М.: Наука, 1973.-448с.
- Кушнер Б.А. Аренд Гейтинг: краткий очерк жизни и творчества, с.121−135 //Методолгический анализ оснований математики. М.: Наука.-1988.-176 с
- Лаврова H.H. Логическая подготовка студентов факультета начальных классов в вузовском курсе математики. Автореф. дисс. канд. пед. наук. -М., 1989.- 13 с.
- Ю.Лакатос И. Доказательства и опровержения (Как доказываются теоремы). -М.: Наука, 1967. 162 с.
- Ланда Л.Н. Умение думать. Как ему учить? М.: Знание, 1975. — 64 с.
- Латотин Л.А. Развитие логики мышления учащихся 4−8 классов посредством изучения логических операций и отношений (на алгебраическом материале): Автореф. дисс. канд. пед. наук. Минск, 1982. — 17с.
- Лернер И.Я. Процесс обучения и его закономерности. М.: Педагогика, 1980.- 176с.
- Логика и компьютер: Моделирование рассуждений и проверка правильности программ /H.A. Алешина, A.M.Анисов, П. И. Быстров и др. М.: Наука, 1990.-238 с.
- Логика и проблемы обучения / Под ред. Б. В. Бирюкова и В. Г. Фарбера. М. Педагогика, 1977. — 216 с.
- Логический словарь ДЕФОРТ. М.: Мысль. 1994 — 268с.
- Луканкин Г. Д. Научно-методические основы профессиональной подготовки учителей математики. Автореф. дисс. докт. пед. наук. Л., 1990. — 41с.174
- Лютомский Г. В. Начала современного математического языка и математической логики на факультативных занятиях в 9 классе средней школы: Ав-тореф. дисс. канд. пед. наук. М., 1974
- Мадер В.В. Введение в методологию математики.-М: Интерпракс, 1995.-464 с.
- Маланюк Е.П. Формирование логической грамотности учащихся I—IV классов в процессе обучения математике: Автореф. дисс. канд. пед. наук. Киев, 1979.-24с.
- Маланюк Е.П., Маланюк М. П. О формировании логической грамотности школьников // Сов. педагогика. 1979. — № 7. — С.69−74.
- Манин Ю.И. Доказуемое и недоказуемое. М.: Сов. радио, 1979. — 168с.
- Манин Ю.И. Вычислимое и невычислимое. М.: Сов. радио, 1980. — 128с.
- Марков A.A. О логике конструктивной математики. Вестник МГУ, сер. ма-тем.-мех., № 2. 1970. -С.7−29.
- Маркушевич А.И. Об очередных задачах преподавания математики в школе // На путях обновления школьного курса математики. М.: Просвещение. 1978. -С.29—48.
- Маслов С.Ю. Теория дедуктивных систем и ее применения. М.: Радио и связь, 1986.- 136 с.
- Математическая логика и ее применение: Сб. статей: Пер. с англ. М.: Мир, 1965.-341с.
- Математическая логика: Учеб. пособие /Л.А.Латотин, Ю. А. Макаренков, В. В. Николаева, А.А.Столяр- Под общ. ред. A.A. Столяра. Минск: Вышей-шая. шк., 1991.-269 с.
- Математическая теория логического вывода. Сб. перев. под ред. А. В. Идельсона и Г. Е. Минца. — М.: Наука, 1967. — 352с.
- Математический энциклопедический словарь. -М.: Сов. энцикл., 1988. -847 с.
- Матросов В.Л. Теория алгоритмов. М.: Прометей, 1989. — 188с.
- Мельников И.И. Научно-методические основы взаимодействия школьного и вузовского математического образования в России. Автореф. дисс. докт. пед. наук. М., 1999. — 41с.
- Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М. Наука, 1971. 2-е изд. М.: Наука, 1976. — 320с.
- Методика преподавали математики в средней школе: Общая методика: Учеб. пособие для студ. пед. ин-тов /АЛ.Блох, Е. С. Канин, Н. Г. Килина и др.- Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. М. Просвещение, 1985. — 236с.
- Мордкович А.Г. Профессионально-педагогическая направленность специальной подготовки учителя математики в пед. институтах: Дисс. докт. пед. наук. М., 1986.-355 с.
- Морозова Т.В. Начала логики и методологии как средство профессиональной подготовки учителя математики".: Автореф. дисс. канд. пед. наук. -СПб., 1998.-20с.
- Моторинский Ю.А. Повышение уровня логического развития студентов математического факультета педагогического вуза при изучении темы • «Элементы математической логики».: Автореф. дисс. канд. пед. наук. М., 1987.-20с.
- Монахов В.М. Совершенствование преподавания математики в свете требований реформы школы// // Математика в школе. 1984, № 6. — С.5−9.
- Нагорный Н.М. Вместо предисловия ко второму изданию. C. VII-XLIV // Марков A.A., Нагорный Н. М. Теория алгорифмов. М.: Фазис, 1995, — 448с.
- Назиев А.Х. Гуманитаризация основ специальной подготовки учителей математики педагогических вузов. Дисс. докт. пед. наук. М., 2000. -387 с.
- Нижников А.И. Теория и практика проектирования методической системы подготовки современного учителя математики. Автореф. дисс.. докт. пед. наук. М., 2000. — 44с.
- Никольская И.Л. Изучение логического следования и логической равносильности в VII классе // Математика в школе. 1977. -№ 1- С.37−39.
- Никольская И.Л. Математическая логика: Учеб. для техникумов. М.: Высшая школа, 1981. — 127 с.
- Никольская И.Л. О единой линии воспитания логической грамотности при обучении математике // Преемственность в обучении математике. М., 1978. — С.24−36.
- Никольская И.Л. Привитие логической грамотности при обучении математике:. Дисс.. канд. пед. наук. М.: 1973. — 185 с.
- Никольская И.Л. Знакомство с математической логикой. М.: Моск. психолого-социальный институт: Флинта, 1998 — 128 с.
- Новиков П.С. Конструктивная математическая логика с точки зрения классической. М.: Наука, 1977., 328с.
- Новиков П.С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1973., 400с.
- Новиков С.П. О состоянии математического образования в педвузах СССР // Математика в школе. 1989, № 3. — с.8−13.
- Носович Г. Н. Формирование логических умений у студентов университета будущих учителей: Автореф. дисс.канд. пед. наук. — Иркутск, 1983. -16с.
- Оганесян В. А. Колягин Ю.М., Луканкин Г. Л. Саннинский В.Я. Методика преподавания математики в средней школе.-М.: Просвещение, 1980. 368с.
- Пайсон Б.Д. Развитие логического мышления с помощью средств дедуктивного вывода (на алгебраическом материале восьмилетней школы): Автореф. Дисс.. канд. пед. наук. -М.,. 1973. -26с.
- Панов М.И. Гуманитаризация математики как аспект нового математического мышления // Диалектическая сущность нового мвшления. М.: Мысль, 1990. — с.244−265.
- Парпиев Н.П. Логика и развитие мышления учащихся. Доклад о содержании книги, представленной на соискание ученой степени кандидата педагогических наук. Душанбе, 1969. — 79с.
- Перевощикова E.H. Теоретико-методические основы подготовки будущего учителя математики к диагностической деятельности. Автореф. докт. дисс.пед. наук. Москва, 2000. — 46с.
- Петрова В.Т. Научно-методические основы интенсификации обучения математическим дисциплинам в высших учебных заведениях. Автореф. дисс.. докт. пед. наук. М., 1998. — 40с.
- Петрова Е.С. Система методической подготовки будущих учителей по углубленному изучению математики. Автореф. дисс.. докт. пед. наук. M., 1999.-38с.
- Пиаже Ж. Структуры математические и операторные структуры мышления // Преподавание математики. Пособие для учителей. М., 1960. — С. 10−30.
- Подгорецкая H.A. Изучение приемов логического мышления у взрослых. -М. Изд-во МГУ, 1980. -149с.
- Подгорецкая H.A. Изучение приемов логического мышления у взрослых. Автореф. дисс.. канд. пед. наук. М., 1975. — 23с.
- Пойа Д. Как решать задачу. Пособие для учителей. М.: Педагогика, 1976. — 206с.
- Пойя Д. Математика и правдоподобные рассуждения: Пер. с англ. Изд. 2-е, испр. М.: Наука, 1975. — 463 с.
- Пойа Д. Математическое открытие: Пер. с англ. М.: Наука. 1970. — 324с.
- Полонский В.М. Оценка качества научно-педагогических исследований. -М.: Педагогика, 1987. 144с.
- Постников А.Г. Культура занятий математикой (Из записок ученого). -М.: Знание, 1975.-64с.
- Потоцкий М.В. Преподавание высшей математики в педагогическом институте. М.: Просвещение, 1975. — 208с.
- Правиц Д. Натуральный вывод. М. ЛОРИ, 1997. — 108 с.
- Программы педагогических институтов. Сборник № 10. Математическая логика. М.: Просвещение, 1980. — 40с.
- Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1983. — 560с.
- Развитие логического мышления учащихся на уроках и во внеклассной работе по математике: метод, разраб. для учителей средней школы. Свердловск: Изд-во Свердл. пед. ин-та, 1974. — 254с.
- Реньи А. Трилогия о математике. М.: Наука, 1983. — 560 с.
- Роль логики в профессиональной подготовке учителя: предварительная публ. /Сост.: Бирбков Б. В., Столяр A.A., Латотин Л. А., Радьков A.M. M., Минск: 1981.-32с.
- Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки. М: -Просвещение, 1987. — 160 с.
- Саранцев Г. И. Обучение математическим доказательствам в школе. М.: Просвещение, 2000. — 174с.
- Саранцев Г. И. Гуманизация образования и актуальные проблемы методики преподавания математики // Математика в школе. 1995, № 5. — с.36−39.
- Сафуанов И.С. Генетический подход к обучению математическим дисциплинам в высшей педагогической школе.-Автореф. дисс.. докт. цед. наук. -М., 2000. 39 с.
- СевастьяноваС.А. Совершенствование логической подготовки студентов математических факультетов педагогических вузов.: Автореф. Дисс. канд. пед. наук. СПб., 1996. — 25с.
- Семенов Е.М. Логические упражнения на математическом материале. Часть 1. Пособие для студентов факультета педагогики и начального обучения. Свердловск, 1975. В надзаг.: Свердлов, пед. ин—т. — 114с.
- Сидоренко Е.А. Общая теория логического следования // Теория логического вывода.- М., 1973. -С.14−50.
- Слепкань З.И. Методическая система реализации развивающей функции обучения математике в средней школе: Автореф. дисс. докт. пед. наук в форме науч. докл. М.: 1987. — 47 с.
- Слупецкий Е., Борковский Л. Элементы математической логики и теория множеств. Пер. с англ. М.: Прогресс, 1965. — 368с.
- Смирнов C.B. Методы математической логики в преподавании общеобразовательных математических дисциплин: Сб. научн метод, статей. — М., 1983.-вып. 11. -С.51−57.
- Смирнова И.М. Научно-методические основы преподавания геометрии в условиях профильной дифференциации обучения: Дисс.. докт. пед. наук. -М., 1994.-364 с.
- Современные пролемы методики преподавания математики / Сост. Н. С. Антонов, В. А. Гусев. М.: Просвещение, 1985. — 304 с.
- Солонина А.Г. Персонализированное обучение математике в педагогическом университете (на примере алгебры и теории чисел). Автореф. дисс.. докт. пед. наук. M., 1999. — 38с.
- Сохор A.M. Объяснение в процессе обучения: элементы дидактической концепции. -М.: Педагогика, 1988.0 124 с.
- Справочная книга по математической логике: В 4-х частях / под ред. Дж. Барвайса. М.: Наука, 1982−83.
- Стефанова H.JI. Теоретические основы развития системы методической подготовки учителя математики в педагогическом вузе. Автореф. дисс.. докт. пед. наук. СПб. — 1996. — 32с.
- Столл Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М.: Просвещение, 1968.-231с.
- Столяр A.A. Элементы математической логики в школах с математической специализацией//Обучение в математических школах.-М., 1965.-С. 126−154.
- Столяр A.A. Методы обучения математике. Минск, 1966.
- Столяр A.A. Как математика ум в порядок приводит. Минск: Вышейшая школа, 1982.-205с.
- Столяр A.A. Логические проблемы преподавания математики. Минск: Вышейшая школа, 1965. — 205с.1
- Столяр A.A. Логические проблемы преподавания математики: Автореф. .дисс. докт. пед. наук. М: 1967. — 37с.
- Столяр A.A. Логико-математический язык в преподавании математики // Математика в школе. 1967, № 2. — с.27−30.
- Столяр A.A. Логическое введение в математику. Минск: Вышейшая школа, 1972. — 222с.
- Столяр A.A. О некоторых применениях логики в педагогике математики // Логика и проблемы обучения /Под ред. Б. В. Бирюкова, В. Г. Фарбера. М., 1977. — С.125−139.
- Столяр A.A. Педагогика математики: Учеб. пособие для физ-мат. фак. пед. ин-тов. Минск: Вышейшая школа, 1986. — 413с.
- Столяр A.A. Зачем и как мы доказываем в математике. Минск: Народная Асвета, 1987.- 143 с.
- Столяр A.A. Роль математики в гуманизации образования. // Математика в школе. 1990, № 6. — с.5−7.201 .Строгалов A.C., Шеховцов С. Г. Интеллектуальная деятельность, обучение и образование. М.: Изд-во. РГГУ, 2000. — 50 с.
- Стяжкин Н.И. Формирование математической логики.-М.:Наука, 1967−508с.
- Такеути Г. Теория доказательств. Перев. с англ., М.: Мир, 1978. — 412с.
- Талызина Н.Ф. Теория поэтапного формирования умственных действий и проблема развития мышления // Советская педагогика 1967. № 1. -С.28−32.
- Талызина Н.Ф. Что значит знать? // Сов.педагогика.-1980- № 8.-С.97−104.
- Тарский А. Семантическая концепция истины и основания семантики // 206.- с.90−129.
- Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук: пер. с англ. М.: ИЛ, 1948. — 326 с.
- Терешин H.A. Методическая система работы учителя математики по формированию научного мировоззрения учащихся: Дисс. в форме научного докл. докт. пед. наук. М., 1991. — 44 с.
- Тестов В.А. Математические структуры как научно-методическая основа построения математических курсов в системе непрерывного обучения (школа-вуз). Автореф. дисс. докт. пед. наук. М., 1998. — 36с.
- Ю.Тимофеева И. Л. Некоторые замечания о методе доказательства от противного. //Математика в школе. 1994, № 3. — С. 36−38.
- Тимофеева И.Л. Об изучении логических систем натурального вывода в курсе математической логики в педвузах. //Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и вузе, Сб. статей, вып. 5. М.: Прометей, 2000. — С.28−30.
- Тимофеева И.Л. О возможности повышения уровня логической подготовки студентов математических факультетов педвузов. //Проблемы и перспективы педагогического образования в XXI веке. Труды научно-практической конференции. М.: Прометей, 2000. — С.263−265.
- Н.Тимофеева И. Л. Логические системы натурального вывода. Введение в теорию доказательств. Учебно-методическое пособие. МПГУ. М., 2000. -90с. — Деп. в ИТОП РАО 23.10.2000, № 20−2000.
- Тимофеева И.Л. О пропозициональных системах натурального вывода. -МПГУ. М., 2000. — 73с. — Деп. в ВИНИТИ 05.10.00, № 2553-В00.
- Тимофеева И.Л. Конструктивное доказательство теоремы о полноте классической пропозициональной системы натурального вывода. // Юбилейный сборник трудов математического ф-та МПГУ (к 100-летию факультета). -М.: Прометей, 2001. С. 83−89.
- П.Тимофеева И. Л. Принцип индукции для натуральных выводов. // Юбилейный сборник научных трудов математического ф-та МПГУ (к 100-летию факультета). М.: Прометей, 2001. — С. 131−137.
- Туркина В.М. Формирование общих приемов поиска доказательства математических утверждений: Автореф. Дисс.канд. пед. наук. Л., 1984. — 119с.
- Удовенко Л.Н. Развитие логической культуры учащихся 5−6 классов средствами логического конструирования при обучении математике: Дисс. канд. пед. наук. М., 1996.-236 с.
- Уемов А.И. Логические ошибки, как они мешают правильно мыслить. М.: Госполитиздат, 1958.- 119с.
- Успенский В.А. Семь размышлений на темы философии математики // -Закономерности развития современной математики.-М.:Наука 1987, с.106−155.
- Фарбер В.Г. О логических средствах школьной грамматики // Логико-грамматические очерки. М., 1961. — С.203−236.
- Фетисов А.И. Элементы математической логики в преподавании математики // Известия АПН РСФСР. -1958. Вып.92. — С.149−199.182
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1. М.:Физматгиз, 1958 — 690 с.
- Фреге Г. Избранные работы.-М.:Дом интеллектуальной книги, 1997. -160с.
- Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. М.: просвещение, 1983. — 160 с.
- Фридман Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. -М., 1977.
- Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. 4.1−2. — М.: Просвещение, 1982. 4.2-М.: Просвещение, 1983. — 191с.
- Фрейденталь X. Язык логики. М.: Наука, 1969. — 136с.
- Хамов Г. Г. Методическая систама обучения алгебре и теории чисел в педвузах с точки зрения профессионально-педагогического подхода. СПб.: РГПУ, 1993.
- Харичева Г. И. Формирование логических приемов мышления у студентов: Автореф. Дисс. канд. пед. наук. М., 1975. — 23с.
- Харичева Г. И. Проверяется сформированность логического мышления //• Вестн. высш. шк. 1974. — № 10. — С.76−78.
- Харди Г. Г. Исповедь математика // Математика о математике: Сб. статей: Пер. с англ. / Перев. и сост. В. Н: Тростников. М.: Знание, 1967. — С.4−15.
- Хинчин А.Я. Педагогические статьи.-М.:Изд-вод АПН РСФСР, 1963 -204с.
- Холодная М.А. Психология интеллекта: парадоксы исследования. М.: Барс,. 1996
- Цейтин Г. С. Теоремы о среднем значении в конструктивном анализе. Труды матем. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова. Т.67, изд. АН СССР. 1962. -С.362−384.
- Черкасов P.C. О методической подготовке учителя математики в педагогическом вузе // Математика в школе. -1976 № 5- С.80−84.
- Черкасов P.C. Отечественные традиции и современные концепции в развитии школьного математического образования // Математика в школе. -1993, № 4 (с.73). № 5 (с.75) и № 6 с.7−14.
- Черч А. Введение в математическую логику. Том первый. -М.: ИЛ, 1960. -484с.
- Черч А. Математика и логика. С. 209 в сб. Математическая логика и ее применения. М.: Мир, 1965. — 342с.
- Шабунин М.И. Научно-методические основы углубленной математической подготовки учащихся средней школы и студентов вузов. Дисс. в форме науч. докл. докт. пед. наук. М.: 1994.
- Шанин H.A. О конструктивном понимании математических суждений.
- Труды матем. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова. Т.52, изд. АН СССР. 1958. С.266- 311.
- Шапиро С.И. От алгоритмов к суждениям.-М.'.Советское радиоД973 -288с.
- Швейцер А. Благоговение перед жизнью. М.: Прогресс, 1992 — 576 с.
- Шевченко В.Е. Некоторые способы решения логических задач. Киев: Выща школа, 1979. — 80с.
- Шенфилд Дж. Математическая логика. М.: Наука, 1975. 528 с.
- Шиханович Ю.А. Введение в современную математику.-М.:Наука, 1965.-376с.
- Шкерина JI.B. Профессионально-ориентированная учебно-познавательная деятельность студентов в процессе математической подготовки в педвузе. Автореф. дисс. докт. пед. наук. -М., 2000. -38с.
- Эрдниев П.М. Преподавание математики в школе (Из опыта обучения методом укрупненных упражнений). М.: Просвещение, 1978.
- Юдина И.Б. Элементы математической логики в курсе математики средней школы: Автореф. дисс. канд. пед. наук. М., 1965. — 20с.
- Ястребов A.B. Моделирование научных исследований как средство оптимизации обучения студентов педвузов. Дисс.. докт. пед. наук. Ярославль, 1997.
- Barnes W. Donald, Mack M. John. An Algebraic Introduction to Mathematical Logic. Graduate Text in Mathematics v.22. Springer-Verlag. New York Heidelberg Berlin, 1976, ISBN 0−387−90 109−4, 122pp.
- Dirk van Dalen. Logic and Structure. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 1997., 217pp.
- Copi Irving. Symbolic Logic. MacMillan Publishing Co. Inc. London, 1979. ISBN 0−02−978 740−8, 398 pp.
- Gentzen G. Untersuchungen uberdas logishe Schliessen. I, II, Mathematische Zeitschrift, vol 39, 1934, pp.176−210, 405−443.
- Goodstein R.L. Mathematical Logic. Leicester University Press, 1957, 162 pp.
- Hamilton A.G. Logic for Mathematicians. Cambridge University Press. 1995, ISBN 0 521 36 865,228 pp.
- Jaskowsky S. On the rules of suppositions in formal logic. Studia Logica, no.l. Warsaw 1934.
- Monk J. Donald. Mathematical Logic. Springer-Verlag. New York Heidelberg Berlin, 1976, ISBN 0−387−90 170−1, 531pp.
- Schutte K. Proof Theory. A series of Comprehensive Studies in Mathematics.v.225. 1977, ISBN 3−540−7 911−4, 299pp. 261. Smullyan, Raymond M. First-Order Logic. Dover Publications Inc. New-York, ISBN 0−486−68 370−2, 1995,158 pp.
- Примеры доказательств в виде дерева
- Пример 1. Рассмотрим доказательство одного из свойств делимости целых чисел.
- Утверждение. Если хотя бы одно из двух чисел аи? делится на с, то их произведение ab делится на с.
- Символически это утверждение записывается так: са v cb —>cab
- При допущении сЬ аналогично доказывается, что саЪ. Таким образом, в обоих случаях cab. Теорема доказана.
- Теперь, восстанавливая пропущенные ссылки и логические переходы, запишем наше доказательство в виде дерева.
- Сначала изобразим в виде дерева рассуждение разбором случаев:2 со.1 [, сь]'с | а V с | Ь. сдЬ саЬ1. саЪсачсЬ саЬ
- Дереву (1) соответствует следующее дерево формул, т. е. можно считать, что дерево (1) построено по следующей схеме:12 Л.1 [В)]т1. A v В.1 J С С---(1) uС1. AvBz>C
- Таким образом, в этом рассуждении были использованы два правила заключения: удаление дизъюнкции v v и введение импликации зв.
- В дереве (1) были использованы обозначения ==IIL и для деревьев выводас | ah cabпредложения cab из допущений са и сЬ соответственно.186
- Построим теперь первое из этих деревьев (второе строится аналогично).а = Лос.32)аЬ = (к0с)ЬаЬ = {кф)с зк{аЪ = кс)^с.аЪ са са →3к (а = кс) 3 к{аЬ = кс)3 к (а = кс) с | аЬсаЬ
- При построении дерева (2) на последнем шаге было использовано правило удаления квантора существования 3у:1. А (х) БхА (х) &trade-Вгде х не входит свободно в формулу В.
- В дереве (2) формулы с | а → 3к (а = кс) и = ¿-е) → с | аЬ являются символическими записями составных частей определения (утверждений, имеющих место в силу определения) отношения делимости и которые использованы в качестве допущений.
- Если все деревья, приведенные выше, соединить воедино, то, очевидно, получится весьма громоздкое дерево. Приведем здесь лишь граф, отражающий структуру этого дерева как частично упорядоченного множества.
- Пример 2. Рассмотрим доказательство еще одного простого свойства делимости целых чисел.
- Утверждение Лат. каждое из чисел, а и Ъ делится на с, то сумма а+Ь делится на с. Символически это утверждение записывается так: са & сЬ са+Ь.
- В сокращенном (свернутом) виде, отражая лишь два последних шага, дерево можно представить следующим образом. са а-^с.1 [Ь = к2с]2сЬ 3 к (а = кс) са+Ъ---------------Э>41)3 кф = кс) са+Ь ---э,(2)са + Ь
- Какие по форме записи доказательства представляются Вам более наглядными: а) в виде последовательности предложений (т.е. линейно упорядоченной системы предложений)-б) в виде системы предложений, частично упорядоченной в виде дерева.
- Как можно отразить логическую структуру, т. е. логические взаимосвязи между членами доказательства?
- Какими логическими правилами (правилами вывода) Вы пользуетесь в неформальных математических рассуждениях? ответы записать в виде схем)
- Что такое правильное и неправильное умозаключение (рассуждение)?
- Как можно определить, является ли рассуждение правильным?
- Как можно объяснить, в чем заключается ошибка в неправильном рассуждении?1. Анкета 2
- Считаете ли вы курс математической логики нужным и полезным для общего математического развития, для дальнейшей преподавательской деятельности?
- Прояснил ли курс математической логики для Вас сущность математического доказательства?
- Расширил ли он Ваши знания о логических средствах, с помощью которых мы рассуждаем в математике?
- С какими типами уточнения интуитивного понятия доказательства Вы познакомились в курсе математической логики?
- Какая тема курса математической логики была для Вас наиболее понятной?
- Какая тема курса была для Вас наиболее интересной?
- Можете ли Вы определить с помощью некоторого общего метода, является ли данное математическое умозаключение правильным или ошибочным?
- Можете ли Вы объяснить, в чем заключается логическая ошибка в рассуждениях, если оно ошибочно?
- Можно ли воспользоваться знаниями, приобретенными в курсе математической логики, для обучения школьников элементам логики?
- Хотели ли бы Вы продолжить знакомство с логическими системами натурального вывода?
- Какие у Вас есть пожелания по совершенствованию содержания курса математической логики?
- Следовательно, ее график не симметричен относительно оси ординат.
- Доказать построением дерева Ыс-вывода1. КА&В^А «с 21) -п (А V В)2. КА^АчВ «с 22)3. 23) Ь"с (~тА/В)=з (А=)В)4. ЬКс, А з (-тЛ з В) 24) (Ач5. ^А=>(В=>А) 25)
- ЬМс (Ь (ЬС))э ((ЬВ)э (ЬС)) 26) К Ач^А «к7. 27) Ь"к Ьйэ^)э (^й)8. 28) Нэй) з ((-Л з-.Я) => Л)9. 29) ЬНк (А^В)^(В^А)10. ^А=>А 30) ЬМ1 -.(-Л&--.£)=> ЛУЯ11. 31)12. 32)
- Ь"с (Л з (Я => С)) =>(А&В=> С) 33)
- Ь"с (Лэ (йэС))э (Вэ (/1эС)) 34) «к15. (А => В) => ((В С) => (А => С)) 35)16. 36)17. {А&ВчА&С)=>А&(ВчС) 37) Ь.
- Ь"с А&(ВчС)=з (А&ВчА&С) 38) 1-Мк (^А=>А)=>А
- Ь"с (>iv5&C)z)(^vj?)&(i4vC) 39)20. 40) (А=>В)=>(-, В&С=з-А&С)
- Варианты контрольной работы1. Вариант .1 .Доказать построением вывода следующее утверждение Л=>(С=>Я), СЬ (Л=>Я)&С
- Доказать построением дерева вывода следующее утверждение Л=>(С=>?), СЬ (Л=>Я)&С
- Доказать, используя производные правила, Ь (А => В) и (-.В&С => -Л&С)
- Доказать построением дерева вывода !-(Л => Я) => (-.Я&С => -Л&С)1. Вариант 2
- Доказать построением вывода следующее утверждение С =>-.(Л v5), А Ь -, С
- Доказать построением дерева вывода следующее утверждение
- Доказать, используя производные правила, А&(ВчС) з ((В => С) => А&С)
- Доказать построением дерева вывода А&{Вч С) з ((5 з С) з Л&С)1. Вариант 31. Доказать построением вывода следующее утверждение В&^А, С => (Я =>А) ЬСиА
- Доказать построением дерева вывода следующее утверждение В&--^4, С => (/? иА) ЬС =>А
- Доказать, используя производные правила, А&В э (Сэ —<ВчС))
- Доказать построением дерева вывода А&В :з (С з -.(Л => -.(Ж/С))
- Решение задач из контрольной работы
- Приведем решение одного из вариантов экспериментальной контрольной работы.
- Задание 1. Доказать построением вывода следующее утверждение
- А, В =эС, -rA v В hH С. Решение.
- Следующая последовательность формул является искомым выводом в Н- в правом столбце комментарии, объясняющие присутствие в этой последовательности каждого из членов согласно определению Н-вывода.1. ((В dC) d (-Л vodQ) (аксиома по схеме А%)
- А. з (-v4 => Q (аксиома по схеме А"0)3. А (гипотеза)4. —Л и С (3, 2- modus ponens)5. (В zd С) :э (-v4 v В z> С) (4, 1- modus ponens)6. В з С (гипотеза)7. -vi v В z> С (6, 5- modus ponens)8. -vi v В (гипотеза)9. С (8, 7- modus ponens)
- Задание 2. Доказать построением дерева вывода следующее утверждение
- A, BidC,-tA.VB hN C Решение.
- Следующее дерево формул является искомым деревом вывода в Nj.
- А Г-vil1. Л, В zdC, -iAvB зеленые листья--IAv В —L—/?.1. В «v m В з С -¼., [→5] увядшие листья.1. J?1. С э'
- Задание З. Доказать, используя производные правила, hK (S =>Л)=> (гтА&С =з В&(А =з С)) Решение. (1)
- Для доказательства данного утверждения (1) в силу теоремы дедукции достаточно доказать утверждение (2).2. => А Ьк-ъ4&С => =з С)
- Для доказательства утверждения (2) в силу теоремы дедукции достаточно доказать утверждение (3).3. -nBz>A, -А&С Ьк B8L{A =з С)
- Для доказательства утверждения (3) в силу правила соединения гипотез достаточно доказать утверждение (4).4.-nBz>A, —А, С Ь-к BSl (A Z> С)
- Для доказательства утверждения (4) в силу правила введения конъюнкции достаточно доказать утверждения (5), (5'). (5')-, BDA,-A, С ~к Aid С
- Утверждение (5') имеет место в силу правила введения посылки.5. S =з А, -А, С -к В
- Для доказательства (5) в силу правила снятия двойного отрицания в К достаточно доказать утверждение (6).6. С Ьк -,-тЯ
- Для доказательства (6) в силу правила контрапозиции достаточно доказать утверждение (7).7. S Z) А, -нЯ, С А
- Утверждение (7) имеет место в силу производного правила Modus ponens. Таким образом, путем сведения данной задачи к более простым, с помощью нахождения соответствующих достаточных условий, утверждение (1) доказано.
- Задание 4. Доказать построением дерева вывода (-¦# =>А)=> (-Л&С => В&(А => С)).1. Решение.
- Следующее дерево является искомым деревом вывода в Ык-Ь Ы & С. 21. Ы&С.2- -иМ) ----— АСв л=>с1. В&(А^С)л •"(Л
- В А) з (-Л & С з В & (Л => С))
- Л.-тЛ&С] 2, [А]3, увядшие листья.
- Примеры, поясняющие критику закона исключенного третьего Пример 1 (С.Клини).
- Пусть Р некоторое свойство натуральных чисел, про которое известно следующее: если великая теорема Ферма верна (Г), то число 10 обладает свойством Р, если не верна (—|/г), то число 5 обладает свойством Р. Таким образом,
- Г —> 3 пР (п). Принимая закон исключенного третьего цр, представителиклассического направления считают доказанным утверждение 3 пР (п).
- Интуиционисты не воспринимают посылку Гу—Г, как нечто обоснованное, т.к. пока неизвестно, какой из дизъюнктивных членов верен. Если считать теорему Ферма доказанной, то в качестве Г можно взять любое другое неразрешимое предложение арифметики. Пример 2.
- Примеры деревьев вывода в системах натурального вывода ^ и ^