Основы финансовых вычислений

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования.

«Красноярский государственный торгово-экономический институт».

М. С. Шемякина.

ОСНОВЫ ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ.

Учебное пособие для студентов экономических специальностей всех форм обучения Красноярск 2007.

УДК 336.6: 51 (075.8).

ББК 65.26Я73.

Ш46.

Рецензенты кандидат экономических наук, доцент М. А. Конищева;

зам. директора КФ «Банк Москвы» Н. М. Еременко.

Шемякина М. С.

Ш46 Основы финансовых вычислений: учеб. пособие / М. С. Шемякина; Краснояр. гос. торг.-экон. ин-т. — Красноярск, 2007. — 68 с.

В учебном пособии представлены методы начисления простых и сложных процентов, операции дисконтирования, производимых при обслуживании клиентов банка, способы учета векселей, методы расчета валютных операций, определение доходности вложений в ценные бумаги и т. д. Приведены примеры из практической деятельности и предложены задачи для самостоятельного решения.

Для студентов, аспирантов, преподавателей и практических работников, специализирующихся в области управления финансами.

УДК 336.6: 51 (075.8).

ББК 65.26Я73.

© ГОУ ВПО «Красноярский государственный торгово-экономический институт», 2007.

© Шемякина М. С., 2007.

1. Общая методика финансовых вычислений.

1.1 Начисление процентов. Расчет наращенной стоимости Задачи для самостоятельного решения.

1.2 Дисконтирование. Расчет первоначальной стоимости Задачи для самостоятельного решения.

2. Практическое применение финансовых расчетов.

2.1 Учет инфляции.

2.2 Операции с векселями.

2.3 Операции с ценными бумагами.

2.4. Валютные расчеты.

2.5 Кредитные отношения Задачи для самостоятельного решения Глоссарий ЗАКЛЮЧЕНИЕ Библиографический список Приложения.

В настоящее время в условиях рыночных отношений в экономике России появилась потребность в использовании количественных методов оценки финансовых операций. Причины этого очевидны: появились самостоятельные предприятия, функционирующие на условиях самофинансирования и самоокупаемости, произошло становление рынка капитала, изменилась роль банковской системы в экономике и т. д.

Многие решения финансового характера целесообразно принимать, используя формализованные методы оценки, которые называются методы финансовых вычислений или методы финансовой математики.

Владение методами финансовых вычислений необходимо студентам, обучающимся по специальности «Финансы и Кредит», «Экономика и управление на предприятии (в торговле)», «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», для рационального выбора привлечения или вложения средств с учетом инвестиционного риска.

Данное учебное пособие содержит две главы (общую и прикладную), задачи для самостоятельного решения, словарь использованных терминов (глоссарий), приложения (порядковые номера дней в году, множитель наращения для сложных процентов, кредитный договор, договор о залоге (ипотеке), динамику ставки рефинансирования Центрального банка Российской Федерации, динамику курсов валют, динамику денежной массы и динамику уровня цен), а также библиографический список, включающий нормативные документы, учебные пособия, практикумы, тренинги и методические указания по курсу финансовых вычислений.

В главе 1 основное внимание сосредоточено на изучении методов финансовых вычислений, которые позволяют принимать финансовые решения в стандартных ситуациях; рассматриваются общие процентные расчеты, расчеты эффективных ставок, способы начисления процентов, методы корректировки процентных ставок на конкретный период, методы дисконтных оценок и исчисления первоначальной стоимости. Глава содержит основные понятия и формулы, после которых представлены примеры решения типовых задач.

Во второй главе учебного пособия приведено практическое применение финансовых вычислений. Глава разделена на пять пунктов, характеризующих отдельные финансовые операции. Здесь представлены теоретические основы и особенности проведения данных операций, рассмотрены на примерах типовые задачи, которые решают субъекты экономических отношений.

Учебное пособие может быть использовано при проведении лекционных и практических занятий по дисциплинам: «Финансы», «Финансы и кредит», «Финансы, денежное обращение, кредит», «Банковское дело», «Деньги, кредит, банки» и т. д., а также рекомендовано студентам для самостоятельной работы.

Настоящее пособие разработано для студентов экономических специальностей всех форм обучения.

1. ОБЩАЯ МЕТОДИКА ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ.

1.1 Начисление процентов. Расчет наращенной стоимости.

В условиях рыночной экономики любое взаимодействие лиц, фирм и предприятий с целью получения прибыли называется сделкой. При кредитных сделках прибыль представляет собой величину дохода от предоставления денежных средств в долг, что на практике реализуется за счет начисления процентов (процентной ставки — i). Проценты зависят от величины предоставляемой суммы, срока ссуды, условий начисления и т. д.

Важнейшее место в финансовых сделках занимает фактор времени (t). С временным фактором связан принцип неравноценности и неэквивалентности вложений. Для того чтобы определить изменения, происходящие с исходной суммой денежных средств (P), необходимо рассчитать величину дохода от предоставления денег в ссуду, вложения их в виде вклада (депозита), инвестированием их в ценные бумаги и т. д.

Процесс увеличения суммы денег в связи с начислением процентов (i) называют наращением, или ростом первоначальной суммы (P). Таким образом, изменение первоначальной стоимости под влиянием двух факторов: процентной ставки и времени называется наращенной стоимостью (S).

Наращенная стоимость может определяться по схеме простых и сложных процентов. Простые проценты используются в случае, когда наращенная сумма определяется по отношению к неизменной базе, то есть начисленные проценты погашаются (выплачиваются) сразу после начисления (таким образом, первоначальная сумма не меняется); в случае, когда исходная сумма (первоначальная) меняется во временном интервале, имеют дело со сложными процентами.

При начислении простых процентов наращенная сумма определяется по формуле.

S = P (1 + i t), (1).

где S — наращенная сумма (стоимость), руб.; P — первоначальная сумма (стоимость), руб.; i — процентная ставка, выраженная в коэффициенте; t — период начисления процентов.

Пример 1.

Рассчитать сумму начисленных процентов и сумму погашения кредита, если выдана ссуда в размере 10 000 руб., на срок 1 год при начислении простых процентов по ставке 13% годовых.

Решение.

S = 10 000 (1+ 0,13 · 1) = 11 300, руб. (сумма погашения кредита);

ДР = 11 300 — 10 000 = 1 300, руб. (сумма начисленных процентов).

Пример 2.

Определить сумму погашения долга при условии ежегодной выплаты процентов, если банком выдана ссуда в сумме 50 000 руб. на 2 года, при ставке — 16% годовых.

Решение.

S = 50 000 (1+ 0,16 · 2) = 66 000, руб.

Таким образом, начисление простых процентов осуществляется в случае, когда начисленные проценты не накапливаются на сумму основного долга, а периодически выплачиваются, например, раз в год, полугодие, в квартал, в месяц и т. д., что определяется условиями кредитного договора. Также на практике встречаются случаи, когда расчеты производятся за более короткие периоды, в частности на однодневной основе.

В случае, когда срок ссуды (вклада и т. д.) менее одного года, в расчетах необходимо скорректировать заданную процентную ставку в зависимости от временного интервала. Например, можно представить период начисления процентов (t) в виде отношения, где q — число дней (месяцев, кварталов, полугодий и т. д.) ссуды; k — число дней (месяцев, кварталов, полугодий и т. д.) в году.

Таким образом, формула (1) изменяется и имеет следующий вид:

S = P (1 + i). (2).

Пример 3.

Банк принимает вклады на срочный депозит на срок 3 месяца под 11% годовых. Рассчитать доход клиента при вложении 100 000 руб. на указанный срок.

Решение.

S = 100 000 (1+ 0,11 ·) = 102 749,9, руб.;

ДР = 102 749,9 — 100 000 = 2 749,9, руб.

В зависимости от количества дней в году возможны различные варианты расчетов. В случае, когда за базу измерения времени берут год, условно состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней), исчисляют обыкновенные, или коммерческие проценты. Когда за базу берут действительное число дней в году (365 или 366 — в високосном году), говорят о точных процентах.

При определении числа дней пользования ссудой также применяется два подхода: точный и обыкновенный. В первом случае подсчитывается фактическое число дней между двумя датами, во втором — месяц принимается равным 30 дням. Как в первом, так и во втором случае, день выдачи и день погашения считаются за один день. Также существуют случаи, когда в исчислении применяется количество расчетных или рабочих банковских дней, число которых в месяц составляет 24 дня.

Таким образом, выделяют четыре варианта расчета:

1) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

2) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды;

3) точные проценты с приближенным числом дней ссуды;

4) точные проценты с банковским числом рабочих дней.

При этом необходимо учесть, что на практике день выдачи и день погашения ссуды (депозита) принимают за один день.

Пример 4.

Ссуда выдана в размере 20 000 руб. на срок с 10.01.06 до 15.06.06 под 14% годовых. Определить сумму погашения ссуды.

Решение.

1. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды:

156=21+28+31+30+31+15;

S = 20 000 (1+0,14 ·) =21 213,3, руб.

2. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:

155= (30· 5)+5.

S = 20 000 (1+0,14 ·) =21 205,6, руб.

3. Точные проценты с приближенным числом дней ссуды:

S = 20 000 (1+0,14 ·) =21 189,0, руб.

4. Точные проценты с банковским числом рабочих дней:

S = 20 000 (1+0,14 ·) =21 516,7, руб.

Данные для расчета количества дней в периоде представлены в прил. 1, 2.

Как сказано выше, кроме начисления простых процентов применяется сложное начисление, при котором проценты начисляются несколько раз за период и не выплачиваются, а накапливаются на сумму основного долга. Этот механизм особенно эффективен при среднесрочных и долгосрочных кредитах.

После первого года (периода) наращенная сумма определяется по формуле (1), где i будет являться годовой ставкой сложных процентов. После двух лет (периодов) наращенная сумма S₂ составит:

S₂ = S₁(1 + it) = P (1 + it) · (1 + it) = P (1 + it)².

Таким образом, при начислении сложных процентов (после n лет (периодов) наращения) наращенная сумма определяется по формуле.

S = P (1 + i t)ⁿ, (3).

где i — ставка сложных процентов, выраженная в коэффициенте; n — число начислений сложных процентов за весь период.

Коэффициент наращения в данном случае рассчитывается по формуле.

Кн = (1 + i t)ⁿ, (4).

где Кн — коэффициент наращения первоначальной стоимости, ед.

Пример 5.

Вкладчик имеет возможность поместить денежные средства в размере 75 000 руб. на депозит в коммерческий банк на 3 года под 10% годовых.

Определить сумму начисленных процентов к концу срока вклада, при начислении сложных процентов.

Решение.

S = 75 000 (1+ 0,1 · 1)³ = 99 825, руб.

ДР = 24 825, руб.

Таким образом, коэффициент наращения составит:

Кн = (1+ 0,1 · 1)³ = 1,331.

Следовательно, коэффициент наращения показывает, во сколько раз увеличилась первоначальная сумма при заданных условиях.

Доля расчетов с использованием сложных процентов в финансовой практике достаточно велика. Расчеты по правилу сложных процентов часто называют начисление процентов на проценты, а процедуру присоединения начисленных процентов — их реинвестированием или капитализацией.

Рис. 1. Динамика увеличения денежных средств при начислении простых и сложных процентов Из-за постоянного роста базы вследствие реинвестирования процентов рост первоначальной суммы денег осуществляется с ускорением, что наглядно представлено на рис. 1.

В финансовой практике обычно проценты начисляются несколько раз в году. Если проценты начисляются и присоединяются чаще (m раз в год), то имеет место m-кратное начисление процентов. В такой ситуации в условиях финансовой сделки не оговаривают ставку за период, поэтому в финансовых договорах фиксируется годовая ставка процентов i, на основе которой исчисляют процентную ставку за период (). При этом годовую ставку называют номинальной, она служит основой для определения той ставки, по которой начисляются проценты в каждом периоде, а фактически применяемую в этом случае ставку (()^mn) — эффективной, которая характеризует полный эффект (доход) операции с учетом внутригодовой капитализации.

Наращенная сумма по схеме эффективных сложных процентов определяется по формуле.

S = P (1+)^mn, (5).

где i — годовая номинальная ставка, %; (1+)^mn — коэффициент наращения эффективной ставки; m — число случаев начисления процентов за год; mn — число случаев начисления процентов за период.

Пример 6.

Рассчитать сумму выплаты по депозиту в размере 20 000 руб., помещенному на 1 год под 14% годовых с ежеквартальным начислением процентов.

Решение.

S = 20 000 (1+)^{4· 1} = 22 950, руб.

Следует отметить, что при периоде, равным 1 году, число случаев начисления процентов за год будет соответствовать числу случаев начисления процентов за весь период. Если, период составляет более 1 года, тогда n (см. формулу (3)) — будет соответствовать этому значению.

Пример 7.

Рассчитать сумму погасительного платежа, если выдан кредит в размере 20 000 руб. на 3 года под 14% годовых с ежеквартальным начислением процентов.

Решение.

S = 20 000 (1+)^{4· 3} = 31 279, 1, руб.

Начисление сложных процентов также применяется не только в случаях исчисления возросшей на проценты суммы задолженности, но и при неоднократном учете ценных бумаг, определении арендной платы при лизинговом обслуживании, определении изменения стоимости денег под влиянием инфляции и т. д.

Как говорилось выше, ставку, которая измеряет относительный доход, полученный в целом за период, называют эффективной. Вычисление эффективной процентной ставки применяется для определения реальной доходности финансовых операций. Эта доходность определяется соответствующей эффективной процентной ставкой.

Эффективную процентную ставку можно рассчитать по формуле.

I_эф = (1+)^mn — 1. (6).

Пример 8.

Кредитная организация начисляет проценты на срочный вклад, исходя из номинальной ставки 10% годовых. Определить эффективную ставку при ежедневном начислении сложных процентов.

Решение.

i = (1+)³⁶⁵ — 1 = 0,115 156, т. е. 11%.

Реальный доход вкладчика на 1 руб. вложенных средств составит не 10 коп. (из условия), а 11 коп. Таким образом, эффективная процентная ставка по депозиту выше номинальной.

Пример 9.

Банк в конце года выплачивает по вкладам 10% годовых. Какова реальная доходность вкладов при начислении процентов: а) ежеквартально; б) по полугодиям.

Решение а) i = (1+)⁴ — 1 = 0,1038, т. е. 10,38%;

б) i = (1+)² — 1 = 0,1025, т. е. 10,25%.

Расчет показывает, что разница между ставками незначительна, однако начисление 10% годовых ежеквартально выгодней для вкладчика.

Расчет эффективной процентной ставки в финансовой практике позволяет субъектам финансовых отношений ориентироваться в предложениях различных банков и выбрать наиболее приемлемый вариант вложения средств.

В кредитных соглашениях иногда предусматривается изменение во времени процентной ставки. Это вызвано изменением контрактных условий, предоставлением льгот, предъявлением штрафных санкций, а также изменением общих условий совершаемых сделок, в частности, изменение процентной ставки во времени (как правило, в сторону увеличения) связано с предотвращением банковских рисков, возможных в результате изменения экономической ситуации в стране, роста цен, обесценения национальной валюты и т. д.

Расчет наращенной суммы при изменении процентной ставки во времени может осуществляться как начислением простых процентов, так и сложных. Схема начисления процентов указывается в финансовом соглашении и зависит от срока, суммы и условий операции.

Пусть процентная ставка меняется по годам. Первые n₁ лет она будет равна i₁, n₂ — i₂ и т. д. При начислении на первоначальную сумму простых процентов необходимо сложить процентные ставки i₁, i₂, i_n, а при сложных — найти их произведение.

При начислении простых процентов применяется формула.

S = P (1+i₁ t₁ + i₂ t₂ + i₃ t₃ + i_n t_n), (7).

где i_n — ставка простых процентов; t_n — продолжительность периода начисления.

Пример 10.

В первый год на сумму 10 000 руб. начисляются 10% годовых, во второй — 10,5% годовых, в третий — 11% годовых. Определить сумму погашения, если проценты выплачиваются ежегодно.

Решение.

S = 10 000 (1+0,10 · 1 +0,105 · 1 + 0,11 · 1)=13 150, руб.;

ДР = 3 150, руб.

При начислении сложных процентов применяется формула.

S = P (1+i₁ t₁)· (1+ i₂ t₂)· (1+ i₃ t₃)· (1+ i_n t_n) (8).

где i_n — ставка сложных процентов; t_n — продолжительность периода ее начисления.

Пример 11.

В первый год на сумму 10 000 руб. начисляются 10% годовых, во второй — 10,5% годовых, в третий — 11% годовых. Определить сумму погашения, если проценты капитализируются.

Решение.

S = 10 000 (1+0,10 · 1)· (1 +0,105 · 1)· (1 + 0,11 · 1)= 13 492, 05, руб.

Приведенные примеры подтверждают тот факт, что начисление простых процентов связано с определением наращенной суммы по отношению к неизменной базе, т. е. каждый год (период) проценты начисляются на одну и ту же первоначальную стоимость. Если рассмотреть пример 10, то в этом случае наращенная стоимость составит:

— за первый год: S₁ = 10 000 (1+0,10 · 1) = 11 000, руб.;

ДР₁ = 1 000, руб.;

— за второй год: S₂ = 10 000 (1+0,105 · 1) = 11 050, руб.;

ДР ₂ = 1 050, руб.;

— за третий год: S₃ = 10 000 (1+0,11 · 1) = 11 100, руб.;

ДР ₃ = 1 100, руб.

Таким образом, сумма процентов за 3 года составит:

ДР = 1 000+1 050+1 100 = 3 150, руб. (см. пример 10).

В случае начисления сложных процентов, исходная сумма меняется после каждого начисления, так как проценты не выплачиваются, а накапливаются на основную сумму, т. е. происходит начисление процентов на проценты. Рассмотрим пример 11:

— в первом году: S₁ = 10 000 (1+0,10 · 1) = 11 000, руб.;

— во втором году: S₂ = 11 000 (1+0,105 · 1) = 12 100, руб.;

— в третьем году: S₃ = 12 100 (1+0,11 · 1) = 13 431, руб.

Таким образом, сумма процентов за 3 года составит: i₃ = 3 431, руб. (см. пример 10).

При разработке условий контрактов или их анализе иногда возникает необходимость в решении обратных задач — определение срока операции или уровня процентной ставки.

Формулы для расчета продолжительности ссуды в годах, днях и т. д. можно рассчитать, преобразуя формулы (1) и (5).

Срок ссуды (вклада):

t = · 365. (9).

Пример 12.

Определить на какой срок вкладчику поместить 10 000 руб. на депозит при начислении простых процентов по ставке 10% годовых, чтобы получить 12 000 руб.

Решение.

t = () · 365 = 730 дней (2 года).

Процентную ставку можно рассчитать по формуле.

i = (). (10).

Пример 13.

Клиент имеет возможность вложить в банк 50 000 руб. на полгода. Определить процентную ставку, обеспечивающую доход клиента в сумме 2 000 руб.

Решение.

t = () = 0,08 = 8% годовых Аналогично определяется необходимый срок окончания финансовой операции и ее протяженность, либо размер требуемой процентной ставки при начислении сложных процентов.

Для упрощения расчетов значения коэффициента (множитель) наращения представлены в прил. 3.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Предприятие получило кредит на 1 год в размере 7 000 000 руб. с условием возврата 8 000 000 руб. Рассчитать простую процентную ставку.

2. Какую сумму нужно положить в банк, выплачивающий 4% годовых по простой процентной ставке, чтобы получить 50 000 руб.: а) через 4 месяца; б) через 1 год; в) через 2 года 9 месяцев.

3. Организации предоставлен кредит в размере 100 000 000 руб. под 17% годовых с 1 января по 1 июля текущего года. Определить подлежащую возврату сумму, применяя разные способы начисления процентов (точные и обыкновенные).

4. Г-н Семенов имеет возможность поместить на депозит в коммерческий банк «Енисей» 60 000 руб. под 12% годовых. При простом начислении процентов на счете г-на Семенова накопится 75 000 руб. через:

а) _______ лет;

б) _______ месяцев;

в) _______ дней.

5. Для финансирования оборотного капитала предприятие взяло кредит в банке в размере 100 000 000 руб. сроком на 2 года с ежегодным погашением процентов. Ставка процента за пользование заемными средствами 15% годовых. Определить сумму погашения кредита и сумму начисленных процентов.

6. Молодая семья получила в банке ипотечный кредит на приобретение квартиры в размере 600 000 руб., сроком на 5 лет под простую процентную ставку 15% годовых. Определить сумму основного долга и процентов по кредиту.

7. Банк принимает вклады на срочный депозит на следующих условиях: процентная ставка при сроке 35 дней — 3% годовых; при сроке — 65 дней — 5% годовых; при сроке 90 дней — 6% годовых. Определить доход клиента при вкладе 70 000 руб. на указанные сроки.

8. Клиент вложил в банк на депозит 2 000 долл. на срок с 12 апреля по 26 июня под простую процентную ставку 9% годовых. Рассчитать доход клиента разными способами начисления процентов (точные и обыкновенные). Год не високосный.

9. Коммерческий банк привлекает средства населения под простые проценты 10% годовых. Клиент внес 20 000 руб. на депозит с 10 мая по 15 октября. Определить величину коэффициента наращения и наращенную сумму:

а) при начислении точных процентов с точным числом дней в году;

б) при начислении точных процентов с банковским числом рабочих дней. Год не високосный.

10. Вкладчик положил в банк выплачивающий 6% годовых 100 000 руб. Какая сумма будет на счете вкладчика через:

а) 2 месяца;

б) полгода;

в) 1 год.

11. Клиент поместил в банк 120 000 руб. 1 февраля. Процентная ставка банка с 1 февраля по 18 февраля — 8% годовых; с 19 февраля по 7 марта — 9% годовых; с 8 марта по 23 марта — 10% годовых; с 24 марта по 19 апреля, когда был изъят вклад — 11% годовых. Определить доход клиента и эффективную процентную ставку, используя методику расчета обыкновенных процентах с приближенных числом дней.

12. Производственное объединение «Русь» 1 сентября имеет на расчетном счете обслуживающего банка среднедневные остатки денежных средств в размере 612 000 руб. На вклады «до востребования» банк начисляет проценты — 3% годовых. Определить сумму начисленных процентов на 16 декабря этого же года, применяя различные способы начисления процентов (точные и обыкновенные).

13. Коммерческая фирма получила в банке ссуду на 1,5 года на следующих условиях: за первое полугодие начисляется 17% годовых, за второе и третье полугодие — 15% годовых. Определить размер ссуды, полученной в банке, если сумма погашения ссуды составит 300 000 руб.

14. Условия кредитного договора между коммерческим банком «Югра» и промышленным предприятием «Ника» предусматривают следующий порядок начисления процентов: в первый квартал 20% годовых; во второй 19% годовых; в третий 18% годовых; в четвертый 16% годовых. Рассчитать сумму погашения кредита в размере 500 000 руб., если предприятию представляется возможность погашения суммы долга в конце срока и право ежеквартального погашения процентов.

15. Банк принимает валютные вклады на депозит под 12% годовых при ежемесячном начислении процентов и их погашением в конце срока. Рассчитать доход клиента при вкладе 2 500 долл. на 6 месяцев.

16. Кредитная организация принимает вклады юридических лиц под 13% годовых с ежеквартальным начислением процентов и их погашением в конце срока. Рассчитать сумму возврата денежных средств, если вложено:

а) 250 000 на 2 года;

б) 150 000 на 3 года;

в) 170 000 на 3,5 года.

17. Кредитная организация начисляет сложные проценты на срочный вклад, исходя из номинальной ставки 11% годовых. Определить эффективную ставку:

а) при ежемесячном начислении процентов;

б) при ежеквартальном начислении процентов.

18. АО «Вектор» заключило контракт с финансовой корпорацией по займу денежных средств в размере 10 000 000 руб. сроком на 3 года и следующими условиями начисления процентов: в первый год 20%, а каждое последующее полугодие ставка процента снижается на 0,5%. Определить сумму, которую должно вернуть АО «Вектор» финансовой корпорации по истечении срока действия контракта, если проценты погашаются в конце срока.

19. По дебетовой платежной карте ежеквартально начисляются и присоединяются проценты по ставке 2% годовых. Рассчитать сумму, которой будет располагать владелец платежной карты через 8 месяцев, если она оформлена на 500 долл.

20. Вкладчик имеет возможность поместить в коммерческий банк 200 000 руб. на 2 года. Первый банк предлагает 13% годовых с ежемесячным начислением процентов; второй банк — 15% годовых с ежеквартальным начислением процентов; третий банк — 16% годовых с полугодовым начислением процентов. Определить наиболее эффективный вариант вложения средств при условии погашения процентов в конце установленного срока.

21. КФ «Банк Москвы» принимает вклады физических лиц на рублевый депозит под 10% годовых и на валютный по 7% годовых. Рассчитать эффективность вложения 1 000 евро на 1 год при ежемесячном начислении процентов в валютном и рублевом эквиваленте, если курс евро на начало года составил 35,14 руб., а к концу года ожидается его повышение к рублю на 70 пунктов:

а) при начислении простых процентов;

б) при начислении сложных процентов.

22. КФ «Банк Москвы» принимает вклады юридических лиц на рублевый депозит под 11% годовых и на валютный по 9% годовых. Выбрать оптимальный вариант вложения 10 000 евро на 1,5 года при ежеквартальном начислении процентов в валютном и рублевом эквиваленте, если курс евро на начало года составил 35,34 руб., а на конец периода — 35,91 руб.:

а) при начислении простых процентов;

б) при начислении сложных процентов;

23. Банк в конце периода выплачивает по вкладам 9% годовых (по сложной ставке). Какова реальная доходность вкладов при начислении процентов:

а) ежемесячно;

б) ежеквартально;

в) по полугодиям.

25. Клиент имеет возможность вложить в банк 10 000 руб. на 2 года. Определить сложную процентную ставку при ежегодном начислении процентов, обеспечивающую совокупный доход клиента в конце срока в сумме 5 000 руб.

26. Кредитная организация принимает срочные вклады на 1 год с условием начисления сложных процентов по ставке 12% годовых и минимальной суммой вклада 100 000 руб. Разработать график начисления процентов, при котором сумма средств на депозите клиента на конец срока составит не менее:

а) 112 500 руб.;

б) 120 000 руб.

27. На срочные «накопительные» вклады населения коммерческий банк начисляет в первый год 4% годовых, а в последующие 4 года ставка увеличивается на 1,5%. Определить эффективную процентную ставку на конец периода, если проценты по вкладу капитализируются.

28. Рассчитать период времени, в течение которого вложенные средства в банке под 14% годовых при ежемесячном, поквартальном и полугодовом начислении процентов удвоятся (использовать сложные проценты).

29. Реклама одного коммерческого банка предлагает 8% годовых при ежемесячном начислении процентов; другого 9% годовых при поквартальном начислении. Срок хранения вклада — 12 месяцев. Какому банку отдать предпочтение, если начисляются сложные проценты?

30. Появилась возможность получить кредит либо на условиях 12% годовых с квартальным начислением процентов, либо на условиях 12,4% годовых с годовым начислением процентов. Какой вариант предпочтительней, если выплата процентов будет сделана единовременно с погашением кредита?

1.2 Дисконтирование. Расчет первоначальной стоимости.

В практике финансовых расчетов может возникнуть и обратная по отношению к наращению задача: по известной наращенной сумме (S) определить размер размещенных средств (P), что наглядно представлено на рис. 2.

Рис. 2. Дисконтирование с течением времени Вычисление S на основе P называется дисконтированием. Таким образом, исчисление первоначальной стоимости связано с дисконтированием наращенной стоимости (ее уменьшением).

Дисконт (d) — это скидка (в процентах), определяемая по отношению к наращенной (будущей) стоимости для получения исходной величины, называемой первоначальной суммой.

Дисконтирование — действие, противоположное начислению процентов.

К дисконтированию обращаются, прежде всего, в практике торговой, инвестиционной и банковской деятельности.

Сумму дисконта (D) можно рассчитать по формуле.

D = S — P. (11).

В финансовой практике используются два метода дисконтирования: метод математического дисконтирования и метод банковского (коммерческого) учета.

К математическому дисконтированию прибегают в тех случаях, когда по известной наращенной сумме (S), процентной ставке (i) и времени обращения (t) необходимо найти первоначальную стоимость (P). При этом предполагается, что проценты начисляются на первоначальную, а не наращенную сумму денег.

Дисконт, как и саму первоначальную сумму, можно находить по схеме простых и сложных процентов.

Первоначальную сумму при простом математическом дисконтировании можно рассчитать по формуле.

P=, (12).

где — дисконтный множитель.

Пример 14.

Через 6 месяцев с момента выдачи ссуды заемщик уплатил кредитору 21 400 руб. Кредит предоставлялся под 14% годовых. Определить сумму кредита и сумму дисконта.

Решение.

P = = 20 000, руб.;

D = 21 400 — 20 000 = 1 400, руб.

Для математического дисконтирования по сложным процентам используется формула.

P=, (13).

где d — ставка дисконта, выраженная в коэффициенте.

Пример 15.

Определить первоначальную величину банковского вклада, если ее будущая стоимость через 2 года составит 23 328 руб. Сложная процентная ставка — 8% годовых.

Решение Р = = 20 000, руб.;

D = 23 328 — 20 000 = 3 328, руб.

На практике математическое дисконтирование используется для определения суммы капитала, необходимого для инвестирования под определенные проценты для получения требуемой величины денежных средств, а также в случаях начисления процентов, удерживаемых вперед при выдаче ссуды.

Наиболее распространенным методом дисконтирования является банковское дисконтирование (коммерческий учет).

Эта процедура представляет собой действие, обратное математическому дисконтированию. Отличие банковского дисконтирования от математического состоит в том, что в случае коммерческого учета ставкой выступает дисконт (d), а при математическом дисконтировании ставкой является обычная процентная ставка (i).

Таким образом, в случаях операций банковского дисконтирования целесообразно воспользоваться следующими формулами:

S= P · (1 — d· t) (14).

или.

P =. (15).

Соответственно, при инвестировании денежных средств соблюдается неравенство S > P, а в случаях дисконтирования, соответственно P > S или S < P, что раскрывает сущность вычисления наращенной, в первом примере, и первоначальной стоимости во втором.

На практике операции, связанные с дисконтированием денежных средств используются при финансовых операциях по учету векселей, выдачи дисконтных ссуд или перепродажи контрактов, в процессе уменьшения балансовой стоимости имущества (амортизации средств), первичного и вторичного размещения ценных бумаг и т. д.

Пример 16.

Финансовая компания выдала ссуду 10 000 руб. на 2 года под простой дисконт, равный 9% в год. Какую сумму получит клиент в момент получения ссуды?

Решение.

S = 10 000 (1 — 0,09 · 2) = 8 200, руб.

Также как и в случае начисления процентов, срок обращения актива при дисконтировании может составлять менее года. В связи с этим, можно скорректировать ставку дисконта под заданный временной интервал в виде отношения, где q — число дней (месяцев, кварталов, полугодий и т. д.) ссуды; k — число дней (месяцев, кварталов, полугодий и т. д.) в году.

В связи с этим, формула (14) изменяется и имеет следующий вид:

S = P (1 — d ·). (16).

Пример 17.

Финансовая компания выдала ссуду 10 000 руб. на 180 дней под простой дисконт, равный 10% в год. Какую сумму получит клиент в момент получения ссуды?

Решение.

S = 10 000 (1 — 0,1·) = 9 500, руб.

В случаях непрерывного дисконтирования или неоднократного учета векселей, ценных бумаг на одинаковых условиях в финансовых расчетах применяется сложная ставка дисконта:

S = P (1 —)^mn. (17).

Задачи для самостоятельного решения.

31. Финансовая корпорация выдает ссуды физическим лицам под простой дисконт 13% годовых. Рассчитать срок, на который выдана ссуда в размере 10 000 руб., если сумма к погашению составит:

а) 10 335 руб.;

б) 11 500 руб.;

в) 13 513 руб.

32. Финансовая корпорация выдает ссуды юридическим лицам под простой дисконт 15% годовых. Рассчитать срок, на который выдана ссуда в размере 250 000 руб., если сумма к погашению составит: а) 454 545 руб.; б) 285 714 руб.; в) 266 667 руб.

33. Рассчитать простую учетную ставку (ставку дисконта) по которой долговое обязательство номинальной стоимостью 1 000 руб. и сроком обращения 180 дней реализуется в первый день за 945 руб.

34. Специализированное финансовое учреждение выдало заемщику кредит в сумме 20 000 руб., под простой дисконт равный 7% годовых: а) на 1,5 года; б) на 280 дней; в) на 3 года. Какую сумму получит клиент в момент получения кредита?

35. Простая ставка размещения краткосрочных денежных ресурсов для банков на 3 месяца составляет 6% годовых. Какой объем средств необходимо разместить для получения 250 000 руб.

36. Определить текущую стоимость денег при простой ставке дисконтирования 3% годовых, если через 10 лет она обратится в 20 000 долл.

37. Ломбард выдает кредиты населению сроком от 1 месяца до года под залог драгоценных металлов по учетной ставке 24% годовых. Сумма кредита не может превышать 60% стоимости залога. Определить минимальную стоимость внесенного залога, если заемщику необходимы 10 000 руб. на 3 месяца.

38. Найти величину дисконта, если долговое обязательство на выплату 40 000 руб. учтено за 3 года до срока погашения по сложной учетной ставке: а) 7% годовых; б) 10% годовых.

39. Через 1 год с момента выдачи ссуды заемщик уплатил кредитору 30 000 руб. Кредит предоставлялся под 15% годовых. Определить сумму кредита и сумму дисконта.

40. Определить первоначальную величину банковского вклада, если ее будущая стоимость через 5 лет составит 50 000 руб. Сложная процентная ставка — 9% годовых.

2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ФИНАНСОВЫХ РАСЧЕТОВ.

2.1. Учет инфляции.

В современной России возникла необходимость учитывать влияние инфляционных процессов на результаты деятельности предприятий, финансово-кредитных организаций, доходы населения и т. д. С помощью финансовых расчетов можно оценить степень обесценения денег.

Инфляция представляет собой процесс обесценивания денег, обусловленный чрезмерным увеличением выпущенной в обращение массы бумажных денег и безналичных выплат по сравнению с реальным предложением товаров и услуг в стране.

Инфляция проявляется в росте цен на товары и услуги. Изменение цен на товары и услуги определяется при помощи индекса потребительских цен J. Численно индекс цен равен отношению цен на товары, работы, услуги в один период времени t к ценам этих товаров, работ, услуг в другой период времени и показывает, во сколько раз увеличились цены на определенные товары или услуги за конкретный период времени.

Процентное изменение индекса потребительских цен называется уровнем инфляции.

В зависимости от уровня инфляции в год, ее подразделяют:

— на ползучую (умеренную) — 3−10% в год;

— галопирующую — 10−100% в год;

— гиперинфляцию — свыше 30% в месяц.

От изменения уровня инфляции зависит реальная стоимость денежных средств или финансовый результат от вложения или предоставления денежных средств на временной основе.

Инфляция способствует перераспределению доходов: под влиянием инфляции потери несет кредитор (если процентная ставка или ставка дисконта не скорректирована с учетом сложившегося уровня инфляции), а заемщик или плательщик, наоборот, получает дополнительную финансовую выгоду.

В любом случае, инфляционные процессы увеличивают номинальную стоимость денег по сравнению с их реальной величиной. Таким образом, можно представить уровень инфляции как r, текущую (или реальную) стоимость как P, и номинальную (наращенную) стоимость S.

Следовательно, изменение стоимости под влиянием инфляции можно рассчитать:

S = P (1 + r · t), (18).

где (1 + r · t) — средний уровень цен за конкретный период; r — уровень инфляции, выраженный в коэффициенте.

Пример 18.

Определить, как изменится сумма денежных средств в размере 5 000 руб. через год, если среднегодовой уровень инфляции составит 13%?

Решение.

S = 5 000 (1 + 0,13 · 1) = 5 650, руб.

Иначе говоря, через год на сумму 5 650 руб. можно будет приобрести тот же набор товаров и услуг, что и в начале периода, только на сумму 5 000 руб.

Если требуется определить, как изменится первоначальная сумма денежных средств под влиянием инфляции за период, составляющий менее 1 года, тогда следует скорректировать период времени t (формула (2)).

Следует обратить внимание, что формулы подсчета S с учетом инфляции выбираются в зависимости от применяемого процента (простой и сложный).

С экономической точки зрения, правильнее рассчитывать инфляционные изменения методом сложного начисления, так как инфляция — процесс непрерывный, то есть обесцениваются уже обесцененные деньги или, начисление процентов осуществляется не на первоначальную стоимость, а на стоимость с учетом ранее начисленных процентов (формулы (1), (3)).

S = P (1 + r)^t, (19).

где t — число лет.

Пример 19.

Определить, как изменится сумма денежных средств в размере 5 000 руб. через 5 лет, если среднегодовой уровень инфляции составит 13%?

Решение.

S = 5 000 (1 + 0,13)⁵ = 9 212, руб.

Если стоит обратная задача, т. е. необходимо определить средний уровень инфляции за конкретный временной интервал (внутри периода), исходя из данных об уровне цен за год или более, то решение осуществляется с помощью вычисления математического корня (квадратного, кубического и т. д.).

Пример 20.

Годовой уровень инфляции составил 10%. Рассчитать среднеквартальный уровень цен.

Решение.

r = 4 = 1, 033 = 3,3, %.

2.2 Операции с векселями.

Вексельные расчеты широко применяются на практике между хозяйствующими субъектами.

Учет векселей является обычной банковской операцией, при которой банки или финансовые компании покупают векселя с дисконтом по цене, меньшей, чем номинальная стоимость векселя.

В соответствии с Гражданским кодексом Российской Федерации вексель является ценной бумагой. С 1997 г. действует Федеральный закон «О переводном и простом».

Вексель — составленное по установленной законом форме безусловной письменное долговое обязательство, выданное одной стороной (векселедателем) другой стороне (векселедержателю).

Вексель — это абстрактное, ничем не обусловленное обязательство векселедателя или приказ векселедателя третьему лицу выплатить указанному лицу (или по его приказу) определенную сумму денег в определенный срок.

Основными чертами векселя являются следующие:

1) абстрактный характер обязательства, выраженного векселем;

2) безусловный характер обязательства, выраженного векселем;

3) бесспорный характер обязательства, выраженного векселем.

Вексель — краткосрочная ценная бумага сроком погашения до 1 года.

Продается с дисконтом (по цене ниже, чем номинальная стоимость), а погашается по номинальной стоимости.

В вексельных расчетах участвуют:

— векселедатель — заемщик;

— векселедержатель — кредитор;

— плательщик (или третье лицо) — коммерческий банк или финансовая компания.

Для расчета суммы денежных средств, полученных векселедержателем при учете векселя в банке, используется формула простого дисконта. Введем следующие обозначения:

S = P (1 — d · t), (20).

где P — номинальная стоимость векселя, руб.; d — учетная ставка (ставка дисконта), выраженная в коэффициенте; t — период времени.

Сумма дохода банка по учету векселя рассчитывается по формуле.

D = P — S = P —, (21).

где D — сумма дисконта по векселю, руб.

Пример 21.

Вексель на сумму 20 000 руб. и сроком погашения 10 октября учтен в банке 10 сентября текущего года по учетной ставке 10% годовых. Рассчитать сколько получит владелец векселя (S) и сумму дохода банка (D).

Решение.

S = 20 000 (1 — 0,1 ·) = 19 840, руб.

D = 20 000 — 19 840 = 160, руб.

На практике вексель часто применяется как инструмент вложения временно свободных денежных средств, обеспечивающий держателю доход в виде дисконта. В таких случаях, цена приобретения векселя рассчитывается по формуле (20), а доход от покупки данной ценной бумаги может быть рассчитан по формуле (21). При расчете дохода от приобретения векселя можно учитывать влияние инфляционных факторов. В этой ситуации инфляция будет увеличивать затраты кредитора (векселедержателя) по приобретению векселя и влиять на изменение доходности осуществляемой операции (п. 2.1).

Пример 22.

Вексель на сумму 50 000 руб. и сроком обращения 1 год реализуется с дисконтом 12% годовых. Определить целесообразность покупки векселя, если среднегодовой уровень инфляции составит 13%.

Решение.

S = 50 000 (1 — 0,12 · 1) = 44 000, руб.

S₁ = 44 000 (1 + 0,13 · 1) = 49 720, руб.

D = 50 000 — 49 720 = 280, руб.

Таким образом, покупку векселя можно считать целесообразной, так как доход по операции является положительным и составит 280 руб.

Операции банковского учета иногда проводятся по сложной учетной ставке. В этом случае сумма денег, выплачиваемая банком вычисляется по формулам (13) (п. 1.2).

2.3 Операции с ценными бумагами.

С юридической точки зрения, ценная бумага представляет собой денежный документ, удостоверяющий имущественные права, осуществление или передача которых возможны только при его предъявлении или если доказано закрепление этих прав в специальном реестре (в случаях, определенных законом).

С экономической точки зрения, ценная бумага — это совокупность имущественных прав на те или иные материальные объекты, которые обособились от своей материальной основы и получили собственную материальную форму. Ценные бумаги могут предоставлять и неимущественные права (например, акция предоставляет право голоса на общем собрании акционеров, а также право получать информацию о деятельности акционерного общества и т. д.).

Фундаментальные свойства ценных бумаг:

— обращаемость;

— доступность для гражданского оборота;

— стандартность и серийность;

— документальность;

— признание государством и регулируемость;

— рыночность;

— ликвидность;

— рискованность;

— обязательность исполнения обязательства.

Гражданский кодекс Российской Федерации выделяет следующие ценные бумаги: государственные, муниципальные, корпоративные облигации, вексель, акции, депозитный и сберегательный сертификат и другие.

Характеристика основных видов ценных бумаг представлена в табл. 1.

Таблица 1.

Характеристика основных видов ценных бумаг.

Размер дохода по данным ценным бумагам можно рассчитать по следующей формуле.

D =, (22).

где N — номинальная стоимость ценной бумаги, руб.; Ct — ставка дивиденда, процента, купона, %.

Как правило, срочные ценные бумаги (вексель, облигация, сертификат) имеют определенный срок обращения. В результате воздействия факторов времени и инфляции реальный доход от приобретения ценных бумаг меняется, что следует учитывать при инвестировании денежных средств.

Увеличение и обесценение капитала можно рассчитать на основе формул простого и сложного процентов, рассмотренных выше.

Пример 23.

Облигация номинальной стоимостью 1 000 руб. и фиксированной ставкой дохода 14% годовых выпускается сроком на 3 года с ежегодной выплатой дохода. Определить целесообразность покупки данной облигации, если среднегодовой уровень инфляции составит 11%.

Решение.

S = 1 000 (1 + 0,14 · 3) = 1 420, руб.

S_инфл = 1 000 (1 + 0,11 · 1) 3 = 1 367, руб.

D = 1 420 — 1 367 = 53, руб.

Таким образом, покупка облигации выгодна для инвестора, так обеспечит доход в размере 53 руб.

Начисляемый процентный доход по ценным бумагам может изменяться в течение времени, тогда увеличение капитала следует определять по формулам (7) и (8) (также как и инфляция, только применяется формула (8)).

Пример 24.

На депозитный сертификат номиналом 1 000 руб. и сроком обращения 1 год начисляются проценты исходя из следующих данных: I квартал — 6% годовых, II квартал — 8% годовых. Каждый последующий квартал ставка процента увеличивается на 1%. Рассчитать общую сумму погашения по сертификату, если проценты погашаются в конце срока.

Решение.

S = 1 000(1 + 0,06·)·(1 + 0,08·)·(1 + 0,09·)·(1 + 0,1·) = 1 085, руб.

Характерной особенностью облигации, также как и векселя, является существование ситуаций размещения данной ценной бумаги с дисконтом, т. е. по цене, ниже номинальной.

В таком случае, цену приобретения облигации можно рассчитать по формуле.

C = P (1 — dt), (23).

где C — цена приобретения облигации, тыс. руб.; P — первоначальная (номинальная) стоимость облигации, тыс. руб.; d — ставка дисконта, выраженная в коэффициенте; t — срок обращения облигации, дни, годы и т. д.

Таким образом, влияние всех факторов, а именно процентного дисконтированного дохода, инфляции при обращении ценных бумаг, можно объединить в примере 25.

Пример 25.

Целевая муниципальная облигация номинальной стоимостью 10 000 руб. имеет процентный доход в размере 8% годовых, реализуется с дисконтом 4% годовых. Рассчитать финансовый результат от приобретения облигации, если срок ее обращения составляет 1 год и среднегодовой уровень инфляции 12%.

Решение Сумма погашения облигации:

S = 10 000 (1 + 0,08 · 1) = 10 800, руб.

Цена приобретения облигации:

С = 10 000 (1−0,04 · 1) = 9 600, руб.

Увеличение затрат по покупке облигации под влиянием инфляции:

S_инфл = 9 600 (1 + 0,12 · 1) = 10 752, руб.

Финансовый результат от покупки облигации:

10 800 — 10 752 = 48, руб.

Приобретение ценной бумаги целесообразно.

2.4 Валютные расчеты.

Валютные расчеты (операции) можно определить как соглашения (контракты) участников валютного рынка по купле-продаже, платежам, предоставления в ссуду иностранной валюты на конкретных условиях (наименование валют, сумма, курс обмена, процентная ставка и т. д.).

Под иностранной валютой понимаются денежные знаки иностранных государств, а также кредитные средства обращения и платежа, выраженные в иностранных денежных единицах и используемые в международных денежных расчетах.

Валютный курс — «цена» (отношение) денежной единицы одной страны, выраженная (выраженное) в денежных единицах других стран.

Котировка валют — установление курса иностранной валюты в национальной (или наоборот).

Способы определения валютного курса: прямая котировка, косвенная котировка, кросс-курс, курсы наличных и срочных сделок.

При прямой котировке стоимость единицы иностранной валюты выражается в национальной денежной единице:

К_п =, (24).

где К_п — прямая котировка; Н_вал — национальная валюта, руб.; И_вал — иностранная валюта, у.е.

К примеру, 1 USD = 28 руб.

При косвенной котировке за единицу принята национальная денежная единица, курс которой выражается в определенном количестве иностранной валюты:

Кк = (25).

или.

Кк = 1, (26).

где Кк — косвенная котировка.

К примеру, 1 руб. = 0,028 USD.

Кросс-курс представляет соотношение между двумя валютами по отношению к третьей валюте.

Кросс-к =, (27).

где Кросс-к — кросс-курс покупки валюты, у. е.; В₁ — валютный курс денежной единицы одной страны, выраженный в денежной единице страны А, у. е.; В₂ — валютный курс денежной единицы другой страны, выраженный в денежной единице страны А, у. е.