Методы решения нелинейных уравнений математической физики

Введение

Методы линейных уравнений установившегося режима можно разделить на две группы: точные (или прямые) и итерационные (или приближенные).

Точными или прямыми методами называются такие, которые в предположении, что все вычисления ведутся точно (без округлений) позволяют получить точные значения неизвестных в результате конечного числа операций. Практически все вычисления ведутся с округлениями, поэтому и значения неизвестных, полученных точным методом, будут содержать погрешности. Точными методами являются метод Гаусса и решение линейных уравнений установившегося режима с помощью обратной матрицы.

Итерационными или приближенными методами называют такие, которые даже в предположении, что вычисления ведутся без округлений, позволяют получить решение системы уравнений лишь с заданной точностью. Точное решение системы в случае применения итерационных методов может быть получено теоретически как результат бесконечного итерационного процесса. Эти методы не всегда сходятся при решении линейных уравнений установившегося режима.

1. Теоретическое описание метода Ньютона Решение нелинейных алгебраических уравнений эффективно методом Ньютона, так как при сравнительно несложной схеме вычислений он обладает быстрой сходимостью и пригоден для решения обширного класса нелинейных уравнений. Идея метода Ньютона заключается в последовательной замене на каждой итерации системы нелинейных уравнений некоторой системой линейных уравнений, решение которой дает значение неизвестных более близкие к решению нелинейных систем, чем исходное приближение. Пусть дано уравнение

. (1.1)

Решение x — точка, в которой кривая W (x) проходит через нуль (рис. 1.1).

Рисунок 1.1- Итерационный Процесс метода Ньютона

1. Задаем начальное приближение (произвольно).

2. Заменяем уравнение в окрестности линейным уравнением

(1.2)

Решение линеаризованного уравнения дает поправки к первому приближению:

(1.3)

За новое приближение неизвестного принимаем :

(1.4)

Аналогично определяются следующие приближения:

(1.5)

Итерационный процесс сходится в случае, если где — малая заданная величина, — абсолютная величина небаланса.

Решение системы нелинейных алгебраических уравнений с действительными переменными методом Ньютона:

Рассмотрим решение по методу Ньютона системы нелинейных алгебраических уравнений с действительными переменными:

или в матричной форме:

Зададим начальные приближения, ,. Заменим нелинейные уравнения линейными, полученными разложением в ряд Тейлора. Так первое уравнение будет иметь вид:

Запишем матрицу Якоби:

Тогда систему можно записать в матричном виде следующим образом:

Решаем данную систему и определяем поправки, например по методу Гаусса, и определяем первое приближение.

Таким образом на каждом итерационном шаге определяются поправки и новое приближение неизвестных. Поправки всегда определяется в результате решения линейной системы методом Гаусса или Зейделя.

Контроль сходимости осуществляется по вектору невязок:

.

1.1 Решение узловых уравнений баланса мощности Небаланс мощности в k-ом узле:

нелинейный уравнение ток напряжение

.

Чтобы оперировать с вещественными величинами, выделим из функции небаланса действительные и мнимые части:

где — небаланс активной мощности в k-ом узле,

— небаланс реактивной мощности в k-ом узле.

гдеразность фаз k-го и j-го узлов, .

 — модуль напряжения k-го и j-го узлов.

Неизвестными могут быть или U, .

Якобиан или матрица частных производных небаланса P и Q по модулям и фазам напряжений:

Дальнейшее решение аналогично предыдущему случаю.

1.2 Решение нелинейных уравнений узловых напряжений в форме баланса токов Небаланс токов для k-го узла:

(*).

Уравнение баланса активных и реактивных токов, при использовании переменных, легко получить, выделив в выражении (*) действительные и мнимые части. Элементами матрицы Якоби являются частные производные небалансов активных и реактивных токов по активным и реактивным напряжениям, либо по модулям и фазам напряжений.

; .

При решении нелинейных уравнений узловых напряжений в форме баланса токов вычислительная схема метода Ньютона близка к вычислительной схеме итерационного процесса, в котором на каждом шаге итерации используется метод Гаусса. Отличие лишь в том, что диагональные элементы подматрицы матрицы Якоби зависят от напряжения и изменяются на каждом шаге итерации, то есть учитывается нелинейность уравнений.

Метод Ньютона широко применяется при расчете установившихся режимов на ЭВМ. Преимуществом этого метода при расчете установившегося режима является быстрая сходимость и возможность учета слабой заполненности матрицы проводимости.

2. Установившиеся отклонения напряжения и частоты Балансы мощностей связаны с напряжением и частотой. Рассмотрим эту взаимозависимость на примере энергосистемы, сделав для нее несколько упрощающих допущений:

1. предположим, что энергосистема абсолютно изолирована (автономна), что соответствует условию отсутствия экспортируемых и импортируемых мощностей

Sэксп= Sимп= 0;

2. заменим все электростанции энергосистемы и все ее нагрузочные узлы одним эквивалентным генератором, вырабатывающим активную PГ и реактивную QГ мощности, и одной эквивалентной нагрузкой, потребляющей соответственно PН и QН, в которые включены не только мощности нагрузки, но и потери мощностей в сетях при передачи электроэнергии;

3. известны статические характеристики нагрузки по напряжению и частоте, представленные в виде следующих функций

PН=p(U,f), QН =q(U,f)

линейных в окрестности точки, соответствующей в координатах U и f исходному установившемуся режиму U0, f0.

Предположим, что в исходном установившемся режиме в энергосистеме генерировались мощности PГ0 и QГ0 и потреблялись нагрузкой PН0 и QН0. Причем Затем энергосистема перешла в новый установившийся режим, в котором Функция статических характеристик нагрузки по напряжению и частоте линейна в окрестностях значений параметров, соответствующих исходному установившемуся режиму, и, следовательно, предполагая, что отклонения параметров от исходных не слишком велики, можно линеаризовать функцию, пренебрегая производными высших порядков в ряду Тейлора.

Поскольку новый режим является установившимся, то будет выполняться система равенств исходя из которого получим Обозначим отдельные частные производные как

;; ;

и запишем уравнение в матричной форме

в которой оно легко может быть решено с применением правила Крамера

.

Данные уравнения отражают зависимость изменений частоты и напряжения от всех четырех частных производных. Анализ характеристик P(f), Q(f), P(U), Q(U) дает возможность определить знаки указанных производных:

Pf 0; Qf 0; QU 0.

Что касается характеристики P(U), то, вследствие ее малой крутизны, приближенно можно принять PU = 0. С учетом последнего замечания уравнения могут быть упрощены до вида

.

Таким образом, можно сказать, что изменение частоты в системе зависит исключительно от величины небаланса активной мощности, изменение напряжения является функцией как небаланса активной, так и реактивной мощности. Однако, с учетом численных оценок величин частных производных, следует признать, что изменение напряжения в рассматриваемой нами системе зависит в основном от небаланса реактивной мощности.

Дефицит генерации активной мощности (например, вследствие резкого возрастания нагрузки) приводит к снижению частоты в системе. В то же время избыток генерации активной мощности (резкое снижение нагрузки) приводит к росту частоты. Подобные колебания частоты недопустимы, поскольку они приводят к ухудшению функционирования или даже прекращению работы электропотребителей, включенных в сеть.

Аналогично избыток или дефицит генерации реактивной мощности приводит, соответственно, к увеличению или уменьшению напряжения в системе.

Отклонение напряжения измеряется в процентах относительно номинального значения

%.

2.1 Влияние установившегося отклонения напряжения на работу электропотребителей Отклонение напряжения отрицательно сказывается на работе любого электроприемника.

Достаточно чувствительны к отклонениям напряжения лампы накаливания.

Как известно, мощность создаваемого ими светового потока пропорциональна квадрату приложенного напряжения

.

Таким образом, при уменьшении напряжения, допустим, на 10% от номинального значения, мощность лампочки уменьшается на 19%. Однако, в связи с уменьшением температуры нити накаливания, пик гаусианы, по которой распределены длины излучаемых волн, смещается в красную сторону диапазона, которая воспринимается человеческим глазом слабее, а левый край гаусианы все больше уходит в невидимую инфракрасную часть спектра. Вследствие этого освещенность рабочей поверхности, создаваемой лампой накаливания, уменьшается уже не на 19%, а в среднем на 40%. Такое уменьшение освещенности очень вредно сказывается на зрении человека и значительно сокращает его трудоспособность.

Аналогично увеличение напряжения на 10% приводит к возрастанию освещенности на 40% и мощности на 19%. Поскольку увеличение мощности приводит к росту температуры поверхности нити накаливания, срок службы лампы значительно сокращается (для нашего примера — в 4 раза).

Люминесцентные лампы имеют несколько иную, не столь сильно выраженную зависимость освещенности от напряжения, вытекающую из физики газоразрядного процесса, которую мы рассматривать не будем. Увеличение напряжения приводит к сокращению срока службы люминесцентной лампы, а его уменьшение вызывает вредное для глаз мерцание лампы. Кроме того, в отличие от процесса накаливания, газоразрядный процесс имеет определенный минимальный порог напряжения, ниже которого зажигание лампы невозможно (это происходит при снижении напряжения на 20 и более процентов).

Следует отметить влияние отклонения напряжения на работу асинхронных двигателей, представляющих собой значительную часть нагрузки энергосистемы. Снижение напряжения приводит к резкому уменьшению электромагнитного момента двигателя и, следовательно, сокращению запаса устойчивости. Это в свою очередь негативно сказывается на работе оборудования, соединенного с двигателем и на качестве технологических процессов, производимых этим оборудованием.

Значительное снижение напряжения может привести к полной остановке двигателя.

Снижение напряжения при постоянной потребляемой мощности приводит к росту потребления тока, что означает перегрев обмоток двигателя и уменьшение срока его службы.

Отрицательного влияния отклонения напряжения не избегают и электротермические установки. Так даже небольшое снижение напряжения вызывает значительный рост времени, затрачиваемого на технологические процессы обработки материалов в рудно-термических печах, и снижает качество этих процессов. При снижении напряжения на 10% данные процессы становятся невозможными.

Примерно при таком же снижении напряжения (на 10−15%) становится невозможной работа сварочного оборудования, однако уже при снижении напряжения всего на несколько процентов качество сварочных швов резко ухудшается.

Значительное падение производительности при уменьшении напряжения наблюдается и у электролизного оборудования. В то же время повышение напряжения хотя бы на 5% приводит к недопустимому перегреву данного оборудования.

2.2 Устранение установившегося отклонения напряжения Существует несколько способов уменьшить отклонение напряжения:

1. Регулирование напряжения при помощи трансформатора с переменным коэффициентом трансформации. Такой трансформатор оснащен устройством автоматического регулирования коэффициента трансформации (АРКТ), и с его помощью можно осуществлять автоматическое регулирование под нагрузкой (РПН). Диапазон, в котором возможно осуществлять регулирование напряжения, достигает 16% в случае применения трансформатора с АРКТ для регулирования напряжения под нагрузкой или 5% при использовании трансформатора с переключением без возбуждения (ПБВ).

2. Сокращение потерь напряжения за счет уменьшения активного и реактивного сопротивления линии. Снижения активного сопротивления можно добиться за счет увеличения площади сечения проводов, снижение реактивного — за счет включения устройств продольной емкостной компенсации.

3. Использование ИРМ с целью сокращения перетоков реактивной мощности по линиям и, следовательно, уменьшения потерь данной мощности.

3. Исходные данные Задана энергосистема.

Таблица 2.1 — Исходные данные Напряжение базисного узла:

Схема замещения энергосистемы:

4. Аналитическая запись решения и численный расчет Рассчитаем параметры энергосистемы:

Определим собственные и взаимные проводимости узлов по формулам:

для взаимной проводимости:

g12=0 b12=0

g23=-0,0056 b23=-0,025

g14=-0,0056 b14=-0,025

g34=-0,0074 b34=-0,027

g24=-0,0034 b24=-0,019

g13=0 b13=0

для собственной проводимости узла:

g22=(g23+g24)=-0,009 b22=(b23+b24)=-0,044

g33=(g23+g34)=-0,013 b33=(b23+b34)=-0,052

g44=(g14+g24+g34)=-0,164 b44=(b14+b24+b34)=-0,071

Cтолбец взаимных проводимостей между независимыми узлами и базисным Yb:

Матрица узловых проводимостей Y:

Решения системы нелинейных уравнений методом Ньютона:

5 Утяжеление режима Исходные мощности

Изменяем P1

Изменяем P2

1. Исмагилов Ф. Р., Максудов Д. В. Электромагнитная совместимость в электроэнергетике вопросах и ответах. Учебное пособие. Уфа: Изд-во УГАТУ, 2005. 87 с.

2. Методические указания для выполнения курсовой работы.

3. Исмагилов Ф. Р., Максудов Д. В. Расчеты на ЭВМ установившихся режимов электроэнергетической системы. Уфа, Изд-во УГАТУ, 2008.