Методы анализа основной тенденции развития в рядах динамики

• Введение
• 1. Статистический анализ динамики ВВП на душу населения в Северо-Западном федеральном округе РФ в период с 2005 по 2012 г.
• 1.1 Понятие о рядах динамики. Правила их построения на примере анализируемого процесса
• 1.2 Основные показатели анализа ряда динамики. Анализ ряда динамики анализируемого процесса
• 1.2 Средние характеристики ряда динамики. Расчет средних характеристик ряда динамики анализируемого процесса
• 1.3 Методы анализа основной тенденции развития в рядах динамики на примере анализируемого процесса
• Заключение
• Список используемой литературы и сайтов

Явления общественной жизни, изучаемые социально-экономической статистикой, находятся в непрерывном изменении и развитии. С течением времени — от месяца к месяцу, от года к году — изменяются численность населения и его состав, объем производимой продукции, уровень производительности труда и т. д., поэтому одной из важнейших задач статистики является изучение изменения общественных явлений во времени — процесса их развития, их динамики. Эту задачу статистика решает путем построения и анализа рядов динамики (временных рядов).

В этом году весь Православный мир празднует 1025-летие Крещения Руси князем Владимиром (988 год). Я отношу себя к Православным и мне интересна эта тема. В своей работе я проанализирую статистические показатели по количеству православных граждан России за период 2003;2012 год.

Для статистического анализа я воспользовалась интернетом. Данные официальных сайтов статистики ВЦИОМ, а также данные с сайта РПЦ, «Левада-Центр», где можно найти информацию для данного исследования, не совсем схожи, но общая тенденция увеличения количества Православных в России видна.

На этих сайтах дано процентное отношение Православных к общему количеству граждан России (согласно переписи). А данные по этому показателю иногда существенно отличаются на выбранном промежутке времени (например, 2003 год — 144,9 млн. чел, а 2009 — 141,9 млн. чел.). Для большей точности расчетов я апроксимировала (приблизила) исходные данные по годам так, как если бы количество населения не менялось (сохранялось бы на уровне +142 млн. чел.). То есть, зная, что численность населения в 2003 году составляла 144,9 млн. чел., а Православных из них 59% (85,529 млн. чел.), составила пропорцию и получила соотношение, которое сравнимо с другими годами. Те же действия были проделаны и с данными по 2004, 2005, 2006 и 2012 годам. В остальные годы численность населения России была более-менее одинаковая.

Показатели ВВП на душу населения по Северо-Западному ФО РФ в текущих ценах (тыс. рублей):

2005 год — 130,8 тыс. руб

2006 год — 160,6 тыс. руб

2007 год — 202,9 тыс. руб

2008 год — 248,8 тыс. руб

2009 год — 251,1 тыс. руб

2010 год — 289,6 тыс. руб

2011 год — 345,3 тыс. руб

2012 год — 368,3 тыс. руб

В данной работе основная часть несколько отличается от предложенного в методических указаниях. В этой части каждый теоретический вопрос сразу же подкреплен практическими расчетами и таблицами с выводами. Я думаю, что для рассматриваемого процесса этот вариант оформления основной части наиболее удобен. Содержание остальных частей работы соответствуют методическим указаниям.

ряд динамика статистический анализ

1. Статистический анализ динамики ВВП на душу населения в Северо-Западном федеральном округе РФ в период с 2005 по 2012 г.

1.1 Понятие о рядах динамики. Правила их построения на примере анализируемого процесса

Ряд динамики (динамический ряд, временной ряд) — это числовые значения статистических показателей, изменяющихся во времени и расположенных в хронологической последовательности, т. е. в порядке возрастания временного параметра.

Ряд динамики включает два обязательных элемента:

· период времени, за который или по состоянию на который приводятся цифровые значения (показатель времени t). В анализируемом примере — это период времени с 2005 по 2012 год;

· конкретные числовые значения показателя, характеризующие изучаемый объект или явление (уровни ряда У). В анализируемом примере — это показатель ВВП на душу населения.

Существуют различные виды рядов динамики. Их можно классифицировать по:

· показателю времени — моментные (отображает состояние изучаемого явления на определенную дату времени (на начало года) и интервальные (отображает итоги развития изучаемых явлений за отдельные периоды или интервалы времени);

· форме представления уровней — ряды абсолютных, относительных или средних величин (в зависимости от способа выражения уровней);

· интервалам времени — равностоящие и неравностоящие.

Важнейшим условием правильного построения рядов динамики, получения правильных выводов при анализе и прогнозировании его уровней является сопоставимость уровней, образующих ряд (по кругу охватываемых объектов, времени регистрации, территории, идеологии расчета и т. п.).

Для наглядного представления процесса развития явлений и процессов во времени широко используют графическое изображение изменения уровней временного ряда. Ряды динамики могут быть изображены линейной, столбиковой, секторной, полосовой, фигурной и т. д. диаграммами.

1.2 Основные показатели анализа ряда динамики. Анализ ряда динамики анализируемого процесса

Для характеристики развития процесса во времени применяются специальные статистические показатели: абсолютный прирост, темп роста и прироста, абсолютное значение 1% прироста, средние значения и т. д.

В зависимости от базы сравнения различают базисные (результат сравнения текущих уровней с одним фиксированным уровнем, принятым за базу) и цепные показатели динамики (для расчета показателей на переменной базе каждый последующий уровень сравнивается с предыдущим).

1. Абсолютный прирост (абсолютное изменение) определяется как разность между двумя уровнями динамического ряда и показывает, на сколько единиц уровень одного периода больше или меньше уровня другого периода. В зависимости от базы сравнения абсолютные прироста могут быть цепными и базисными:

a) цепной:? у =Уi — Уi-1

где Уi — уровень сравниваемого периода;

Уi-1 — уровень предшествующего периода.

Таблица 1

Цепные показатели динамики изменения ВВП на душу населения в Северо-Западном ФО РФ в 2006;2012 годах

Из таблицы 1 видно, что количество ВВП на душу населения в Северо-Западном ФО РФ за период с 2006 по 2008 стабильно увеличивалось. А в 2009 году по сравнению с предыдущими показателями был значительный спад. На мой взгляд, это было связано с мировым кризисом, падением цены на нефть, резкого сокращения доходов страны, спадом инвестирования в производство и т. д.

С 2010 начался подъем, что отражает в целом стабильную макроэкономическую ситуацию по стане.

б). базисный: у =Уi — Уо где Уо — уровень сравниваемого периода;

Уi — уровень базисного периода (в рассматриваемом анализе 2005 год);

Таблица 2

Базисные показатели динамики изменения ВВП на душу населения по Северо-Западному ФО РФ в 2005;2012 годах

В таблице 2 при сравнении всех последующих лет с базисным (2005;им годом) наблюдается стабильный рост ВВП на душу населения, не смотря на кризисный 2009 год. (см. цепные показатели) Цепные и базисные абсолютные прироста связаны между собой определенным правилом: сумма последовательных цепных абсолютных приростов равна последнему базисному:

+29,8+42,3+45,9+2,3+38,5+55,7+23,0 = +237,5

По знаку абсолютного прироста можно сделать вывод о характере развития явления: ?у > 0 — рост; ?у < 0 — спад; ?у = 0 — стабильность. В рассматриваемом анализе из восьми лет наблюдались положительные результаты (+).

Для оценки интенсивности, т. е. относительного изменения уровня динамического ряда за какой-либо период времени исчисляют темпы роста и прироста.

2. Темп роста (изменения) определяется как отношение двух сравниваемых уровней ряда и показывают, во сколько раз данный уровень превышает уровень базисного периода:

а). базисный: Тр = У1/У0 *100%

б). цепной: Тр = У1/Уi-1 *100%

Темпы роста, выраженные в коэффициентах, принято называть коэффициентами роста:

Тр = Кр*100%

Если темп роста больше единицы (или 100%), то это показывает на увеличение изучаемого уровня по сравнению с базисным уровнем. Темп роста, равный 1 (или 100%) показывает, что уровень изучаемого периода по сравнению с базисным уровнем не изменился. Темп роста меньше 1 (или 100%) показывает на уменьшение уровня изучаемого периода по сравнению с базисным уровнем. Темп роста всегда имеет положительный знак.

Таблица 3. Темп роста, коэффициент темпа роста

Из таблицы видно, что темп роста (базисный и цепной), не смотря на кризис 2009 года, рос или уменьшался без особых скачков. Такой же вывод можно сделать и о коэффициенте роста.

3. Темп прироста (сокращения) показывает, на сколько процентов сравниваемый уровень больше или меньше уровня, принятого за базу сравнения, и вычисляется как отношение абсолютного прироста к абсолютному уровню, принятому за базу сравнения.

Темп прироста можно рассчитать двумя способами:

1. Как отношение абсолютного прироста к уровню:

а). цепной: Тпр = (Уi — Уi-1) / Уi-1*100% = Уу / Уi-1 *100%

б). базисной: Тпр = (Уi — У0) / У0*100% = Уу / У0*100%

2. Как разность между темпом роста и 100%:

Тпр = Тр — 100%

Темп прироста может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

Между цепными и базисными показателями изменений уровней ряда существует следующая взаимосвязь:

1. Сумма цепных абсолютных приростов равна базисному приросту;

2. Произведение цепных коэффициентов роста равно базисному;

3. Деление рядом стоящих базисных коэффициентов роста друг на друга равно цепным коэффициентам роста.

Таблица 4. Темп прироста, разность между темпом прироста и 100%.

Базисные темпы прироста остаются всегда положительными, динамика достаточно стабильная с каждым годом. Цепные же показатели заметно снизились к 2009 году (всего +0,92), но, затем, стали расти.

4. Темп наращивания (пункт роста) рассчитывается делением цепных абсолютных приростов на уровень, принятый за постоянную базу сравнения или по базисным темпам роста:

Тн = (Уi — Уi-1) / У0*100% =? у/ У0 *100% = Тр — Тр

5. Абсолютное значение одного процента прироста.

Чтобы знать, что скрывается за каждым процентом прироста, рассчитывается абсолютное значение 1% прироста как отношение абсолютного прироста уровня за интервал времени к темпу прироста за тот же промежуток времени:

А% = (Уi — Уi-1) / (Уi — Уi-1) / Уi *100% или А% =? цепной /Тпр = 0,01уi-1

Абсолютное значение 1% прироста в данном периоде есть сотая часть достигнутого уровня в предыдущем периоде. В связи с этим расчет абсолютного значения 1% прироста базисным методом не имеет смысла, т.к. для каждого периода это будет одна и та же величина — сотая часть уровня базисного периода.

Если систематически растут цепные темпы роста, то ряд развивается относительным ускорением, которое можно определить как разность следующих друг за другом темпов роста или прироста. Полученная величина выражается в процентных пунктах (п. п.).

Таблица 5

Темп наращивания. Абсолютное значение одного процента прироста

Из таблицы 5 видно, что темп наращивания с некоторыми отклонениями длился до 2009 года, в 2010;2012 темп наращивания возобновился. Абсолютное же значение 1% прироста имело наибольшее значение в 2012 году, а наименьшее — в 2006.

1.2 Средние характеристики ряда динамики. Расчет средних характеристик ряда динамики анализируемого процесса

Для обобщения характеристики динамики исследуемого явления за ряд периодов определяют различного рода средние показатели, среди которых можно выделить:

· Средний уровень ряда;

· Средний абсолютный прирост;

· Средние темпы роста и прироста.

1. Средние уровни ряда зависят от вида временного ряда:

а). по интервальному динамическому ряду из абсолютных величин с равными интервалами средний уровень определяется по средней арифметической простой из уровней ряда:

У =? Уi /n

где: n — количество уровней ряда.

В нашем случае У = 1997,4/8 = 249,67

б). для интервального ряда с разными промежутками времени между уровнями используется формула средней арифметической взвешенной, где в качестве весовых коэффициентов используется продолжительность времени между уровнями:

У =? Уiti/? ti

где:

ti — количество дней между смежными датами;

В рассматриваемом примере количество между смежными датами одинаково, поэтому не имеет смысла рассчитывать среднюю арифметическую взвешенную, она будет равна средней арифметической простой с небольшой погрешностью (в високосных годах на 1 день больше);

в). для моментного равно отстающего ряда используется формула средней хронологической:

Ухрон = (½У1 +У2… +Уn-1 + ½Уn) / n-1

Ухрон = 1078,40/9 = 119,82

г). для моментного ряда с неравно отстающими во времени уровнями используется формула средней хронологической взвешенной:

Ухрон = ((У1 +У2) *t1 + (У2 +У3) *t2+… + (Уn-1 + Уn) * tn-1) / ti

Для анализируемого процесса данный показатель рассчитывать не имеет смысла, так как он относится к виду временного ряда, описанному в предыдущем пункте (в).

2. Средний абсолютный прирост (средняя скорость роста):

Цепной:? ц = ?? у/ n — 1? ц = 1997,4/7 = 285,34

Базисный:? Б = (Уn — Уi) /n-1? Б = (368,3−130,8) /7 = 33,92

где: n — количество уровней ряда;

Уn — самое последнее значение ряда;

У1 — самое первое значение ряда.

3. Средний темп (коэффициент) роста:

а). если исходной информацией служат цепные коэффициенты роста, то формула имеет вид:

цепной: Тр = К1 *К2*… Кn = ПКр*100%

б). если известен только коэффициент роста конечного периода (Кр):

Кр = Кр

в). если известны уровни динамического ряда, то формула имеет вид:

Тр = Уn/У1 * 100%

Средний темп роста представляет собой средний коэффициент роста, выраженный в процентах (Тр = Кр*100%)

4. Средний темп прироста может быть выражен через средний темп роста Тпр = Тр — 100%.

Необходимо помнить, что цепное и базисное среднее изменения должны быть одинаковыми.

Все рассчитанные ранее и внесенные в таблицы 1−5 показатели сведены в таблице 6.

Таблица 6

1.3 Методы анализа основной тенденции развития в рядах динамики на примере анализируемого процесса

Одной из важнейших задач статистики является определение в рядах динамики общей тенденции развития явления.

В некоторых случаях закономерность изменения явления, общая тенденция его развития явно и отчетливо отражаются уровнями динамического ряда (уровни на изучаемом периоде непрерывно растут или непрерывно снижаются).

Однако часто приходится встречаться с такими рядами динамики, в которых уровни ряда претерпевают самые различные изменения, (то возрастают, то убывают) и общая тенденция развития неясна.

Поэтому при анализе динамики речь идет не просто о тенденции развития, а об основной тенденции, достаточно стабильной (устойчивой) на протяжении изучаемого этапа развития.

Основной тенденцией развития (трендом) называется плавное и устойчивое изменение уровня явления во времени, свободное от случайных колебаний.

Задача состоит в том, чтобы выявить общую тенденцию в изменении уровней ряда, освобожденную от действия различных случайных факторов. С этой целью ряды динамики подвергаются обработке методами укрупнения интервалов, скользящей средней и аналитического выравнивания.

Одним из наиболее простых методов изучения основной тенденции в рядах динамики является укрупнение интервалов. Он основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики (одновременно уменьшается количество интервалов). Например, ряд ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месячного выпуска и т. д. Средняя, исчисленная по укрупненным интервалам, позволяет выявлять направление и характер (ускорение или замедление роста) основной тенденции развития.

В анализируемом примере можно применить метод укрупнения интервалов, взяв временной промежуток 2 года. Различные изменения уровней ряда по отдельным годам затрудняют выводы об основной тенденции развития процесса.

ВВП на душу населения в Северо-Западном ФО РФ с 2005 по 2012 г. (тыс. рублей).

Как видно из таблицы 7, укрупнение интервалов до двух лет показывает, что с 2005 года до 2012 года рост ВВП стабильно вырастал.:

145,7 225,85 270,35 356,8 тыс. рублей/на душу населения Выявление основной тенденции может осуществляться также методом скользящей (подвижной) средней. Сущность его заключается в том, что исчисляется средний уровень из определимого числа, обычно нечетного (3, 5, 7 и т. д.), первых по счету уровней ряда, затем — из такого же числа уровней, но начиная со второго по счету, далее — начиная с третьего и т. д. Таким образом, средняя как бы «скользит» по ряду динамики, передвигаясь на один срок. В таблице 8 представлен расчет скользящей за 8 исследуемых лет.

Таблица 8

Исходные данные и результаты расчета скользящей средней, (тысяч рублей).

Сглаженный ряд по трехлетиям короче фактического на один член ряда в начале и в конце, по пятилетиям — на два члена в начале и конце ряда и меньше, чем фактический, подвержен колебаниям из-за случайных причин, и четче выражает основную тенденцию развития за изучаемый период.

В анализируемом процессе вновь наблюдаем стабильный рост показателей.

Рассмотренные приемы сглаживания динамических рядов (укрупнение интервалов и метод скользящей средней) дают возможность определить лишь общую тенденцию развития явления, более или менее освобожденную от случайных и волнообразных колебаний. Однако получить обобщенную статистическую модель тренда посредством этих методов нельзя.

Для того, чтобы дать количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики.

Основным содержанием метода аналитического выравнивания в рядах динамики является то, что общая тенденция развития рассчитывается как функция времени:

Уt = f (t),

где Уt — уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

Определение теоретических (расчетных) уровней Уt производится на основе так называемой адекватной математической модели, которая наилучшим образом отображает (аппроксимирует) основную тенденцию ряда динамики.

Выбор типа модели зависит от цели исследования и должен быть основан на теоретическом анализе, выявляющем характер развития явления, а также на графическом изображении ряда динамики (линейной диаграмме).

Например, простейшими моделями (формулами), выражающими тенденцию развития являются:

· линейная функция — прямая — Уt = ao + a1t, где: ao, a1 — параметры уравнения, t — время;

· показательная функция — Уt = ao * a1;

· степенная функция — кривая второго порядка (парабола) ;

Уt = ao +a1t +a2t

Расчет параметров функции обычно производится методом наименьших квадратов, в котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений между теоретическими и эмпирическими уровнями:

(Уt — Уi) min,

где Уt — выровненные (расчетные) уровни; Уi — фактические уровни.

Параметры уравнения а, удовлетворяющие этому условию, могут быть найдены решением системы нормальных уравнений. На основе найденного уравнения тренда вычисляются выровненные уровни ряда.

Таким образом, выравнивание ряда динамики заключается в замене фактических уровней Уi плавно изменяющимися уровнями Уt, наилучшим образом аппроксимирующими статистические данные.

Рассмотрим применение аналитического выравнивания на основании исходных данных таблицы 8.

Таблица 9

Выравнивание по прямой ряда динамики возрастания (убывания) уровня ВВП на душу населения в Северо-Западном ФО РФ за 2005;2012 г.

Выравнивание данного динамического ряда произведем по уравнению прямой линии:

Уt = ao + a1t

В нашем примере n = 8.

Параметры ao, a1 согласно методу наименьших квадратов находят решением следующей системы нормальных уравнений:

у = nao + a1? t

уt = aot + a1? tІ

Для упрощения нахождения параметров уравнения при сохранении полной идентичности конечных результатов введем обозначения дат или периодов времени с натуральным числом (t), с тем, чтобы t = 0.

Так как? t = 0 (мы предполагаем), то система нормальных уравнений примет вид:

?у = nao

? уt = a1? tІ

Отсюда:

ao =? y/n, ao = 1997,4/8 = 249,67

a1 =? уt/ ?tІ, a1 = 2848,4/168= 16,95

Уравнение прямой, представляющее собой трендовую модель искомой функции, будет иметь вид:

Уt = 249,67 + 16,95*t

Подставив в данное уравнение последовательно значения t, равные — 7,-5, — 3, — 1, +1, +3, +5, +7, находим выравненные уровни Уt.

Подставив в это уравнение значение t, получим выравненные теоретические значения У:

У2005 = 249,67 + 16,95* (-7)

У2006 = 249,67 + 16,95* (-5) и т. д.

Если расчеты выполнены правильно, то Уi = Уt.

В нашем примере Уi = Уt = 1997,4. Следовательно, значения уровней выровненного ряда найдены верно.

Полученное уравнение показывает, что, несмотря на значительные колебания в отдельные годы (2009), наблюдается тенденция увеличения роста ВВП на душу населения в Северо-Западном ФО РФ с 2005 по 2012 год, т. е. составлял в год в среднем а1=16,95 тыс. рублей в год.

Фактические и расчетные значения представлены в виде графика (Рис.1)

Рис. 1. Динамика увеличения ВВП на душу населения в Северо-Западном ФО РФ за 2005;2012 годы

Соединив точки, построенные по фактическим данным, получим ломаную линию, на основании которой затруднительно вынести суждение о характере общей тенденции динамики в изменении исследуемого процесса.

Тенденция увеличения роста ВВП в Северо-Западном ФО РФ в изучаемом периоде отчетливо проявляется в результате построения выровненной прямой (наблюдается неуклонный рост):

Уt = 249,67 + 16,95*t

Выявление и характеристика трендов создают базу для прогнозирования, т. е. для определения ориентировочных размеров явлений в будущем. Для этого используют метод экстраполяции.

Под экстраполяцией понимают нахождение уровней за пределами изучаемого ряда, т. е. продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом (перспективная экстраполяция).

Экстраполяцию рядов динамики осуществляют различными способами, например, экстраполируют ряды динамики выравниванием по аналитическим формулам. Зная уравнение для теоретических уровней, и подставляя в него значения t за пределами исследуемого ряда, рассчитывают для t вероятностные Уt.

Так, по данным таблицы 9, на основе исчисленного ранее уравнения Уt = 249,67 + 16,95*t

экстраполяцией при t = 9 можно определить ожидаемое увеличение роста ВВП в Северо-Западном ФО РФ в 2013 году:

У2013 = 249,67 + 16,95*9 = 402,22

На практике результат экстраполяции прогнозируемых явлений обычно получают не точечными (дискретными), а интервальными оценками.

Для определения границ интервалов используют формулу:

Уt ± taSy1

где ta — коэффициент доверия Стьюдента;

Sy = v? (Уi-Уt) І/n-m

— остаточное среднее квадратическое отклонение от тренда, скорректированное по числу степеней свободы (n-m);

n — число уровней ряда динамики;

m — число параметров адекватной модели тренда (для уравнения прямой m=2).

Вероятностные границы интервала прогнозируемого явления:

(Уt — taSy)? Уnp? (Уt + taSy)

Рассчитаем прогнозируемые доверительные интервалы на 2013 год.

Если n = 8 и m=2, то число степеней свободы равно 6. Тогда, при доверительной вероятности равной 0.95 (т.е. при уровне значимости случайностей б = 0,05), коэффициент доверия t = 2,306 (по таблице Стьюдента),

? (У — У) І = 772,42 (см. табл.9),

Тогда Sy = v 772,42/8−2 = ±11,35.

Зная точечную оценку прогнозируемого значения Уt =402,22, определяем вероятностные границы интервала:

402,22 — 2,306*11,35? Уnp? 402,22+2,306*11,35

376,05 ?Уnp? 428,4

Следовательно, с вероятностью, равной 0,95 можно утверждать, что рост ВВП в Северо-Западном ФО РФ в 2013 году будет не менее чем 376,05, но не более чем 428,4.

Заключение

Применив на практическом примере различные виды статистического анализа, в данной курсовой работе отмечены все плюсы и минусы этих методик. Благодаря проведенным анализам рядов динамики, темпов их роста, темпов прироста, темпов наращения можно сделать достаточно оптимистичные выводы по исследуемому процессу: динамика, в целом, положительная.

Дальнейшее исследование средних характеристик ряда динамики тоже дало положительные результаты по исследуемому процессу.

Построение графика первичного динамического ряда, а затем и выровненного динамического ряда подтверждает положительную динамику исследуемого процесса.

И, наконец, заключительный расчет прогнозируемого значения количества Православных в России к 2013 году дает надежду на их увеличение на 10,919 млн. чел. Это, на мой взгляд, очень оптимистичные данные, которые несут надежду на дальнейшее возрождение России, как оплота Православия. Ведь Россия, как издревле считалось, находится под покровительством Пресвятой Богородицы.

Список используемой литературы и сайтов

1. Официальный сайт статистики ВЦИОМ.

2. Сайт РПЦ (Русская Православная Церковь).

3. Сайт http://www.religare.ru/analitics34822. htm.

4. Сайт http://www.religare.ru/article9145. htm.

5. Сайт http://wciom.ru/arkhiv/tematicheskii-arhiv/item/singl/3756.

6. Независимый статистический сайт «Левада-Центр» .