Обыкновенные дифференциальные уравнения
Составим характеристическое уравнение: л2 — л = 0, откуда л1 = 0; л2 = 1, поэтому л1 = 0 есть простой корень (r = 1) этого уравнения. В правой части многочлен первой степени (m = 1), поэтому частное решение неоднородного дифференциального уравнения следует искать в виде: Откуда л1 = — 3 и л2 = 2. Так как корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение данного… Читать ещё >
Обыкновенные дифференциальные уравнения (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Обыкновенные дифференциальные уравнения Задание 1. Найти решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными
.
Решение:
Произведём разделение переменных:
(3y2 + 1) dy = 2xdx
Проинтегрируем левую и правую часть.
3 + = 2.
3 + y + C = 2 ,
y3 + y + C = x2, или x = .
3yy' = x.
Запишем уравнение в виде:
3y = x и произведём замену переменных:
3ydy = xdx, тогда 3 =
3 = + C/2 или 3y2 = x2 + C, тогда
y = .
Задание 2. Найти решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка
(2x — y) dx + (2y — x) dy = 0.
Разрешим уравнение относительно dy/dx:
y' = = - ,
поделив числитель и знаменатель правой части на х, получим:
y' = - ,
т. е. у' есть функция отношения у/х. Это означает, что данное уравнение однородное.
Для решения этого уравнения введём новую функцию u = y/x. Тогда у = ux, y' = xdu/dx + u. Исходное уравнение запишется в виде уравнения с разделяющимися переменными:
x + u = ;
x = - u = = ,
= - du = -. Проинтегрируем это уравнение:
ln = 2 — + lnC.
ln = 2(u — ln (u + 1)) — ln (u + 1) = 2u — l-2ln (u + 1) — ln (u + 1) = 2u — 3 ln (u + 1),
ln + ln (u + 1)3 = 2u,
ln (u + 1)3 = 2u,
(u + 1)3 = e2u, и окончательно получаем решение:
(+ 1)3 = exp (.
xdy — ydx = ydy.
(x — y) dy = ydx y = .
Для решения этого уравнения введём новую функцию u = y/x. Тогда у = ux, y' = xdu/dx + u. Исходное уравнение запишется в виде уравнения с разделяющимися переменными:
x + u = ;
x = - u = = ,
= - du = -. Проинтегрируем это уравнение:
ln = - + lnC.
ln = ln (2u — 1) — u — ln (2u — 1) = - u, окончательно получаем:
x = Ce-u = Ce-y/x.
Задание 3. Найти решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка
y — y ctg x = 2x sin x.
Положим y = uv, тогда y' = u’v + uv' и данное уравнение принимает вид:
u’v + uv' - uv ctg x = 2x sin x,
u’v + u (v' - v ctg x) = 2x sin x.
Решая уравнение v' - v ctg x = 0, получим его простейшее частное решение:
= v ctg x; = ctg x dx; ln = ln; откуда v = sin x.
Подставляя v в исходное уравнение получаем уравнение:
u sin x = 2x sin x, из которого находим u
u' = 2x, следовательно du = 2xdx u = x2 +C.
Итак, искомое решение y = (x2 + C) sin x.
y' + 3y tg 3x = sin 6x, y (0) = 1/3.
Положим y = uv, тогда y' = u’v + uv' и данное уравнение принимает вид:
u’v + uv' + 3uv tg 3x = sin 6x,
u’v + u (v' + 3v tg 3x) = sin 6x.
Решая уравнение v' + 3v tg 3x = 0, получим его простейшее частное решение:
= 3v tg x; = 3tg 3x dx; ln = - ln; откуда v = 1/cos 3x.
Подставляя v в исходное уравнение получаем уравнение:
u/cos 3x = sin 6x, из которого находим u
= ,
u = - - + C, и окончательно получим решение
y = uv = - (+ C).
Найдём постоянную С, согласно заданным начальным условиям у (0) = 1/3:
1/3 = - (+ C) = - 4/18 — C, C = - 1/3 — 4/18 = - 10/18 = - 5/9.
Получаем решение:
у = - (- 5/9) = - () =
= - .
Задание 4. Найти решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка
y''' = cos x, y (0) = 1, y'(0) = 0, y''(0) = 1.
Проводим последовательное интегрирование:
y'' = = sin x + C1,
Из начального условия y (0) = 1 найдём постоянную С1:
1 + 0 = C1, C1 = 1, следовательно y'' = = sin x + 1,
y' = = - cos x + x + C2,
Из начального условия y (0) = 0 найдём постоянную С2:
0 = - 1 + 0 + C2, C2 = 1,
В итоге получаем y' = - cos x + x + 1.
y = dx = - sin x + x2/2 + x + C3.
Из начального условия y (0) = 1 найдём постоянную С3:
1 = - 0 + 0 + 0 + C3, C3 = 1,
В итоге получаем y = - sin x + x2/2 + x + 1.
Задание 5. Проинтегрировать следующие линейные неоднородные уравнения
y'' + y' - 6y = 0
Запишем характеристическое уравнение. Для этого заменим функцию у и её производные соответствующими степенями л:
л2 + л — 6 = 0
откуда л1 = - 3 и л2 = 2. Так как корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:
у = С1е-3х + С2е2х.
у'' - у' = 12х.
Составим характеристическое уравнение: л2 — л = 0, откуда л1 = 0; л2 = 1, поэтому л1 = 0 есть простой корень (r = 1) этого уравнения. В правой части многочлен первой степени (m = 1), поэтому частное решение неоднородного дифференциального уравнения следует искать в виде:
?(x) = x (B0x + B1).
Подставляя ?(х) в уравнение и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, найдём, что
?'(x) = (B0x + B1) + хВ0 = 2В0х + В1.
?''(x) = 2B0.
2B0 — 2В0х — В1 = 12х
— 2В0 = 12 и 2В0 — В1 = 0
В0 = - 6 и В1 = -12,
в итоге получаем ?(x) = x (- 6x — 12) = - 12х — 6×2.
у'' + 2у' + 5y = - 2sin 2x.
Найдём общее решение уравнения? соответствующего однородного уравнения:
у'' + 2у' + 5y = 0.
Решая отвечающее ему характеристическое уравнение
л2 + 2л + 5 = 0,
получаем комплексные корни л1 = - 1 — 2i; л2 = - 1 + 2i, следовательно,
? = e-x (C1 cos x + C2 sin 2x).
Будем теперь искать у*. Здесь правая часть f (x) имеет вид:
f (x) = a cos лx + b sin лx, т. е. а = 0, b = - 2, л = 2i.
Числа 2i не являются корнями характеристического уравнения, поэтому частное решение у* следует искать в форме у* = А cos 2x + B sin 2x,
где, А и В — неопределенные коэффициенты.
Найдём производные у*' и у*'':
у*' = - 2А sin 2x + 2B cos 2x;
у*'' = -4A cos 2x — 4B sin 2x.
подставляя теперь выражения для у*, у*', у*'' в данное уравнение и группируя члены при cos 4x и sin 4x, в результате получим
(-4A cos 2x — 4B sin 2x) + 2(- 2А sin 2x + 2B cos 2x) + 5(А cos 2x + B sin 2x)= -2sin 2x дифференциальный уравнение линейный интегрирование
Cos 2x (- 4A + 4B + 5A) + sin 2x (-4B — 4A + 5B) = -2sin 2x.
Составим систему:
В = - 2 + 4А, А + 4(-2 + 4А) = А — 8 + 16А = 0.
А = 8/17 и В = - 2/17.
Таким образом,
у* = 8/17 cos 2x — 2/17 sin x.
Итак, общее решение данного уравнения имеет вид:
у =? + у* = e-x (C1 cos2x + C2sin2x) + 8/17 cos 2x — 2/17sin 2x.