Геометрия и топология симплектических разрешений

По теореме Хиронаки, любое особое алгебраическое многообразие Y над С допускает разрешение особенностей, т. е. гладкое алгебраическое многообразие X, снабженное проективным бирациональным морфизмом X —> Y. Для многих задач алгебраической геометрии достаточно самого существования X. Однако зачастую, и в первую тогда, когда алгебраическая геометрия применяется к другим областям математики, требуется некоторый контроль над разрешением X.

Это очень хорошо заметно, например, в геометрической теории представлений (которая описана, например, в книге [CG]). В идеале, имея в руках особое многообразие Y, которое кодирует какую-либо задачу теории представлений, необходимо найти разрешение X, которое будет полумалым (т.е. dimX ху X = dimX), и будет иметь слои с тем или иным образом ограниченной топологией. Если на Y действует алгебраическая группа, требуется, чтобы действие поднималось до действия на X.

Во многих конкретных примерах ситуация действительно оказывается идеальной. Например, если Y — нильпотентный конус в присоединенной представлении полупростой алгебраической группы, то у него есть хорошо известное полумалое разрешение Спрингера. Оно эквивариантно по отношению ко всем возможным действиям групп на Y. Хотя его слои, вообще говоря, особы, с когомологической точки зрения они ведут себя, как гладкие однородные пространства: все группы когомологий чисты по отношению к весовой фильтрации, и порождены классами алгебраических циклов. Совершенно аналогичная картина наблюдается для так называемых колчанных многообразий X. Накаджимы, и для схем Гильберта п точек на С2. Кроме того, оказывается, что на разрешениях присутствуют некоторые дополнительные структуры — в частности, голоморфная симплектическая форма.

Известные доказательства этих фактов (см. например работу [CLP]) проводятся явной конструкцией, и сильно зависят от геометрии рассматриваемого многообразия Y.

Результаты настоящей диссертации довольно сильно меняют этот сложившийся взгляд на вещи. Оказывается, что голоморфная симплектическая форма, вспомогательное и почти случайное дополнительного данное на разрешении X, на самом деле сама по себе обеспечивает все остальные хорошие своства разрешения — полумалость, когомологическую чистоту слоев, и т. д. и т. п. Более того, теорию можно сильно развить — вплоть до того, что получается полное алгебраическое описание производной категории когерентных пучков на X. Это дает новую информацию даже в хорошо изученных и классических случаях, таких, как разрешение Спрингера и схема Гильберта.

Поскольку все, что нужно от многообразия X, это голоморфная симплектиче-ская форма, результаты диссертации следует целиком отнести к алгебраической геометрии (или даже к «симплектической алгебраической геометрии», если о таковой уместно в настоящий момент говорить). Поэтому мы не предполагаем и требуем никакого знакомства с геометрической теорией представлений. Более того, хотя большинство приложений на настоящий момент происходят из теории представлений, результаты могут с тем же успехом быть использованы для изучения стягиваний голоморфно-симплектических и гиперкэлеровых многообразий — или, более общо, в той части Программы Минимальных Моделей, которая занимается многообразиями с тривиальным каноническим расслоением. В частности, некоторые из полученных результатов о производныых категориях представлают собой частные случаи известных и трудных гипотез, которые должны выполняться в большей общности (см. в первую очередь общую программу А. И. Бондала и Д. О. Орлова, описанную в работах [BOl], [В02]). В голоморфно-симплектическом случае эти общие гипотезы оказывается возможным доказать.

Полученные результаты. Перечислим кратко представленные в диссертации результаты.

• Методами пуассоновой геометрии и теории Ходжа построена структурная теория особых симплектических мнгообразий («симплектических особенностей»). В частности, выделены и изучены два класса общих пуассоновых схем, голономные и локально-точные схемы, доказано, что симплектические особенности обладают обоими свойствами, и доказано, что у них конечное число симплектических листов, имеется каноническая стратификация гладкими симплектическими многообразиями, верен формальный аналог разложения Вайнштейна, и локально существует нетривиальное действие группы.

• Методами теории Ходжа доказано, что любое симплектическое разрешение X симплектической особенности Y полумалое, а его слои когомологически чисты в смысле структуры Ходжа.

• Построена теория симплектических деформаций для симплектических разрешений — а именно, показано, что деформации не имеют предпятствий (обобщение теоремы Богомолова-Тьяна-Тодорова), и имеется аналог теоремы То-релли. Выделен важный класс однопараметрических деформаций — твистор-ные деформации. Твисторные деформации построены также для любых сколь угодно особых пуассоновых схем.

• Построены и классифицированы некоммутативные деформации симплектических разрешений, также известные как (деформационные) квантования. Показано, что квантования имеют те же хорошие свойства, что и коммутативные симплектические деформации.

• Теория квантования симплектических разрешений обобщена на многообразия над полем положительной кахрактеристики р > 0. Выделен важный класс квантований — Фробениус-постоянные квантования, которые построены и классифицированы. В процессе изучения квантований выделен и изучен пуассонов аналог классического понятия />алгебры Ли.

• Сведением в простую характеристику и применением Фробениус-постоянных квантований получены так называемые наклонные генераторы для производной категории когерентных пучков на симплектическом разрешении X, что позволяет дать чисто алгебраическое описание этой производной категории.

• Доказана гипотеза А. И. Бондала и Д. О. Орлова о том, что два разных симплектических разрешения одной и той же симплектической особенности имеют эквивалентные производные категории.

• При дополнительных предположениях доказано, что когомологии слоев сим-плектического разрешения порождены классами алгебраических циклов.

• В случае симплектического разрешения X симплектической факторособен-ности V/G, получена точная информация о кольце когомологий X (мультипликативное соответствие Маккея) и о производной категории когерентных пучков на X (эквивалентность Маккея).

Результаты получены и опубликованы в работах [Kali], [Ка12], [KV], [GiKa], [BK1], [Kal5], [Kal4], [Kal3], [BK2], [ВКЗ], [Kal6], и неоднократно докладывались на различных конференциях в России и за рубежом — например, в цикле из трех докладов на конференции AMS по итогам развития алгебраической геометрии за последние 10 лет, которая состоялась в г. Сиэттл в июле-августе 2005 года.

2. AB. M. Atiyah and R. Bott, The moment map and equivariant cohomology, Topology23 (1984), 1−28.

3. Beau. A. Beauville, Symplectic singularities, Invent. Math. 139 (2000), 541−549.

4. BeBe. A. Beilinson and J. Bernstein, A proof of Jantzen conjectures, I. M. Gel’fand.

5. Seminar, 1−50, Adv. Soviet Math. 16, Part 1, AMS, Providence, Ш, 1993.

6. BeDr. A. Beilinson and V. Drinfeld, Quantization of Hitchin’s integrable system and Hecke eigensheaves, preprint version available at http: / / www. math.uchicago.edu / arinkin/langlands / .

7. BGV. N. Berline, E. Getzler, and M. Vergne, Heat kernels and Dirac operators,.

8. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 298, Springer-Verlag, Berlin, 1992.

9. BL. J. Bernstein and V. Lunts, Equivariant sheaves and functors. Lecture Notes in.

10. Mathematics, 1578, Springer-Verlag, Berlin, 1994.

11. B K l. R. Bezrukavnikov and D. Kaledin, Fedosov quantization in algebraic context,.

13. BK2. P. Безрукавников и Д. Каледин, Эквивалентность Маккея для симплектических фактор особенностей. Труды МИР АН им. В. А. Стеклова, 246 (2004), 13−33.

14. ВКЗ. R. Bezrukavnikov and D. Kaledin, Fedosov quantization in positive characteristic, Journal of the AMS .

15. BM. E. Bierstone and P. Millman, Canonical desingularization in characteristic zeroby blowing up the maximum strata of a local invariant, Invent. Math. 128 (1997), 207−302.

16. BOl. A. Bondal and D. Orlov, Semiorthogonal decomposition for algebraic varieties, preprint alg-geom/9 506 012.

17. B02. A. Bondal and D. Orlov, Derived categories of coherent sheaves, Proc. I C M 2002in Beijing, vol. II, Higher Ed. Press, Beijing, 2002; 47−56.

18. BKR. T. Bridgeland, A. King, and M. Reid, The McKay correspondence as an equivalence of derived categories, J. Amer. Math. Soc. 14 (2001), 535−554.

19. Br. T. Bridgeland, Flops and derived categories, Invent. Math. 147 (2002), 613−632.

20. CG. N. Chriss and V. Ginzburg, Representation theory and complex geometry.

21. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 1997.

22. CLP. C. de Concini, G. Lusztig, and C. Procesi, Homology of the zero-set of a nilpotentvector field on a flag manifold, Journ. AMS 1 (1988), 15−34.

23. D. P. Deligne, Theorie de Hodge HI, Publ. Math. IHES, 44 (1974), 5−77.

24. DP. M. Demazure and P. Gabriel, Groupes Algebriques. Tome I: Geometriealgebrique, generalites, groupes commutatifs, North-Holland Publishing Co., 1. Amsterdam, 1970.

25. EH. S. Encinas and H. Hauser, Strong resolution of singularities in characteristiczero. Comment. Math. Helv. 77 (2002), 821−845.

26. EV. H. Esnault and E. Viehweg, Lectures on vanishing theorems, D M V Seminar, 20,.

27. Birkhauser, Basel-Boston-Berlin, 1992.

28. Fu. B. Fu, Symplectic resolutions for nilpotent orbits. Invent. Math. 151 (2003), 167−186.

29. GeKa. I .M. Gelfand and D.A. Kazhdan, Some problems of differential geometry and thecalculation of cohomologies of Lie algebras of vector fields, Soviet Math. Dokl. 12 (1971), 1367−1370.

30. GiKa. V. Ginzburg and D. Kaledin, Poisson deformations of symplectic quotient singularities. Adv. Math. 186 (2004), 1−57.

31. EGA. A. Grothendieck, Elements de Geometrie Algebrique, HI, Publ. Math. IHES 24.

32. Kall. D. Kaledin, On crepant resolutions of symplectic quotient singularities, Selecta.

34. Kal2. D. Kaledin, McKay correspondence for symplectic quotient singularities, Inv.

36. Kal3. Д. Каледин, Нормализация пуассоновой алгебры пуассонова, препринтmath. AG/310 173.

37. Kal4. D. Kaledin, On the projective coordinate ring of a Poisson scheme, Math. Res.1.tt. 13 (2006), 99−107.

38. Kal5. D. Kaledin, Symplectic singularities from the Poisson point of view, Grelle J .600 (2006), 135−156.

39. Kal6. D. Kaledin, Derived equivalences by quantization, to appear in GAFA.

40. KL. D. Kaledin and M. Lehn, Local structure of hyperkahler singularities in.

41. O’Grady’s examples, Moscow Math. Journal, 7 (2007), 653−672.

42. KLS. D. Kaledin, M. Lehn, and Ch. Sorger, Singular symplectic moduli spaces. Invent.

44. KV. D. Kaledin and M. Verbitsky, Period map for non-compact holomorphically symplectic manifolds, G A F A 12 (2002), 1265−1295.

45. Kawl. Y. Kawamata, Unobstructed deformations — A remark on a paper of Z. Ran, J .

47. Kaw2. Y. Kawamata, D-equivalence and К-equivalence, J. Differential Geom. 61(2002), 147−171. 1.u. H. Laufer, Normal two-dimensional singularities, Ann. of Math. Studies, 71,.

48. Princeton Univerisity Press, Princeton, 1971.1. G. Lusztig, Introduction to quantum groups. Progress in Mathematics, 110.

49. Birkhauser Boston, Inc., Boston, M A, 1993.

50. Nak. H. Nakajiraa, Instantons on ALE spaces, quiver varieties, and Kac-Moody algebras, Duke Math. J. 76 (1994), 365−416.

51. Ra. Z. Ran, Deformations of manifolds with torsion or negative canonical bundles,.

53. Re. M. Reid, McKay correspondence, preprint alg-geom/9 702 016.

54. VdB. M. Van den Bergh, Three-dimensional flops and noncommutative rings, Duke.

56. Ve. M. Verbitsky, Holomorphic symplectic geometry and orbifold singularities, Asian.

57. Journal of Mathematics, 4 (2000), 553−564.

58. We. A. Weinstein, The local structure of Poisson manifolds, J. DifF. Geom. 18 (1983), 523−557.