Помощь в учёбе, очень быстро...
Работаем вместе до победы

Математические вопросы моделирования оптимального подвижного управления процессами, описываемыми многомерными нелинейными параболическими уравнениями

Диссертация: Математические вопросы моделирования оптимального подвижного управления процессами, описываемыми многомерными нелинейными параболическими уравнениями
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

В работе исследуются математические вопросы, связанные с решением задач оптимального подвижного управления системами с распределенными параметрами (СРП), которые описываются нелинейными параболическими уравнениями. Рассматриваемые модели охватывают широкий круг прикладных задач и, в частности, задач нагрева токопроводящих тел (металлических, порошковых, композиционных) в высокочастотном… Читать ещё >

Содержание

  • стр
  • Введение
  • Глава II. ринципы построения математических моделей опти- мального управления многомерными полями различной физической природы
    • 1. 1. Факторы сложности (общности) рассматриваемых мо- делей, вытекающие из обеспечения их информативности для целей оптимального управления
    • 1. 2. Обзор состояния проблемы решения задач подвижного управления для электротепловых систем
    • 1. 3. Принципы построения эффективных в вычислительном аспекте математических моделей оптимального управления электротепловыми полями
  • Глава II. сходное математическое описание моделей оптими- зации в виде нелинейных уравнений в частных производных. Постановки задач оптимального подвижного управления
    • 2. 1. Исходное математическое описание подвижных управ- лений. Общая постановка задачи управления электротепловой системой
    • 2. 2. Математическая модель тепловых и электромагнитных полей в задачах управления нагревом токопроводящих тел в электромагнитном поле
    • 2. 3. Математическая модель термонапряжений при нагреве металлов в электромагнитном поле
    • 2. 4. Классификация постановок задач управления для нели- нейных электротепловых систем с распределенными параметрами, рассмотренных в работе
  • Глава. Метод интегрального представления нелинейного ре- шения многомерной краевой задачи теплопроводности в модели оптимизации
    • 3. 1. Алгоритм приближенного аппроксимативного метода итерационной линеаризации (АМИЛ)
    • 3. 2. Анализ адекватности математической модели
    • 3. 3. Алгоритмы расчета электромагнитных полей при ин- дукционном нагреве
  • Глава. Декомпозиционный итерационный алгоритм решения задач оптимального подвижного управления для систем, описываемых уравнениями в частных производных
    • 4. 1. Алгоритм декомпозиционного итерационного метода решения задач оптимального подвижного управления
    • 4. 2. Алгоритм решения подзадачи Си (1) оптимизации функ

Математические вопросы моделирования оптимального подвижного управления процессами, описываемыми многомерными нелинейными параболическими уравнениями (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

В работе исследуются математические вопросы, связанные с решением задач оптимального подвижного управления системами с распределенными параметрами (СРП), которые описываются нелинейными параболическими уравнениями. Рассматриваемые модели охватывают широкий круг прикладных задач и, в частности, задач нагрева токопроводящих тел (металлических, порошковых, композиционных) в высокочастотном электромагнитном поле. Важным приложением является, например, расчет теплового режима электронных элементов — объемных интегральных схем (ОИС) СВЧ и КВЧ [6].

Особенность развиваемого подхода к исследованию состоит в том, что для достаточно общей модели оптимизации (учет нелинейности заданных функций в описании начально-краевой задачи теплопроводности, нелинейные взаимосвязи теплового и электромагнитного полей, трех пространственных измерений, учет нелинейных фазовых ограничений, в рамках многокритериальной постановки) решена задача подвижных управлений со взаимосвязанной оптимизацией функции интенсивности источников тепла и функции их пространственной формы. Как будет показано ниже, реализация столь сложной модели стала возможной благодаря использованию интегрального представления решения нелинейной многомерной задачи теплопроводности на базе аппроксимативного метода итерационной линеаризации (АМИЛ) и новому декомпозиционному алгоритму решения задачи оптимального управления.

Системы, где имеют место взаимосвязанные электромагнитно-теплофизические процессы будем далее называть «электротепловыми системами с распределенными параметрами (СРП)».

Актуальность темы

диссертации обосновывается следующими соображениями.

Теория рассматриваемого класса задач оптимального подвижного (пространственно-временного) управления СРП, состояния которых описывается нелинейными многомерными параболическими уравнениями, уравнениями Максвелла, определяющими внутреннее тепловыделение, а также уравнениями термонапряжений Дюамеля-Неймана, определяющими фазовые ограничения, относятся к классу обратных краевых задач оптимизации. Поэтому исследуемые вопросы примыкают к теории обратных задач математической физики. Рассматриваемый в диссертации класс задач оптимизации можно отнести с позиций управления к классу систем управления с распределенными параметрами (СРП). Основы теории оптимизации СРП заложены в работах Алексеева В. М., Алифанова О. М., Андреева Ю. Н., Арсенина В. Я., Беллмана Р., Бутковского.

A.Г., Васильева Ф. П., Гласко В. Б., Дегтярева Г. Л., Дикусара В. В., Диличенского.

B.Н., Дубовицкого А. Я., Егорова А. И., Егорова Ю. В., Кирина Н. Е., Красовского H.H., Лаврентьева М. М., Лионса Ж.-Л., Ли Э., Лурье К. А., Малого С. А., Масло-ва В.П., Милютина A.A., Морозова В. А., Маркуса Л., Моисеева H.H., Орлова Ю. В., Пшеничного Б. Н., Первозванского A.A., Пустыльникова Л. М., Поляка Б. Т., Тихомирова В. П., Тихонова А. Н., Темкина А. Г., Уткина В. И., Федоренко Р. П., Чубарова Е. П., Ягола А. Г., Takamatsu, Root W., Woods I., Kurzhnskii A.B. и др.

Здесь следует отметить, что для СРП достаточно уже развит научный инструментарий: сделаны обобщения основных методов оптимизации динамических систем, разработанных первоначально для систем с сосредоточенными параметрами, моделями которых являются обыкновенные дифференциальные уравнения — метода моментов, принципа максимума Понтрягина, метода динамического программирования, методов Ляпунова для анализа устойчивости, методы регуляризации обратных задач [14−21,98]. Однако основные результаты здесь апробированы для достаточно простых модельных линейных одномерных задач. Перенос результатов на нелинейные многомерные задачи требует дополнительных обоснований и исследований. Например, при подвижном воздействии даже на линейную тепловую систему проблема моментов получается нелинейной [113]. СРП и подвижным воздействием при многомерной постановке задачи практически не исследованы.

Работы, в которых одновременно учитываются все три части исследуемой проблемы — тепловая, электромагнитная и оптимизационная — носят редкий, фрагментарный характер. К теме диссертации непосредственно из круга таких работ примыкают исследования Когана М. Г., Демидовича В. Б. и Немкова B.C., Коломейцевой М. Б., Рапопорта Э. Я., Морозкина Н. Д., Голичева И. И. Однако ни в одной из этих работ, а также в исследованиях учеников указанных руководителей научных школ применительно СРП не рассмотрена проблема целиком, т. е. с охватом тепловых, электромагнитных и оптимизационных аспектов для достаточно общих моделей (с учетом оговоренных выше факторов сложности). Подробный обзор состояния этого вопроса приведен в разделе 1.2. Исключение составляют работы М. Гживачевски и С. А. Горбаткова [5,33,119] и их учеников. Диссертация автора является логическим продолжением и развитием работ М. Гживачевски и С. А. Горбаткова.

Таким образом, уровень проработки исследуемой проблемы не соответствует ее теоретической и прикладной значимости. Учитывая изложенное, цель диссертационной работы формулируется так: разработать теоретические основы и конструктивные приближенные алгоритмы оптимизации взаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей в нелинейных средах при неполном знании входных данных. Достижение этой цели связано с решением ряда задач:

1. Выявить специфику исследуемой проблемы для СРП и на ее основе разработать принципы и методологию построения эффективных в вычислительном отношении приближенных алгоритмов оптимизации.

2. Разработать и обосновать теоретически декомпозиционный алгоритм оптимизации взаимосвязанного электромагнитного и теплового поля и провести его апробацию.

Научная новизна работы в целом.

На основе интегрального представления решения нелинейной многомерной задачи теплопроводности на базе АМИЛ с аппроксимацией нелинейного решения рядами по собственным функциям специально построенного линейного самосопряженного оператора предложен, обоснован математически и апробирован новый декомпозиционный алгоритм решения задачи оптимального подвижного постранственно-временного управления.

Научные положения, полученные лично автором и выносимые на защиту.

1. Предложены принципы построения модели оптимизации для класса задач оптимального подвижного управления полями, описываемыми нелинейными многомерными параболическими уравнениями:

• Использование в модели оптимизации таких приближенных методов решения краевых задач, которые осуществляют сглаживание локальных возмущений управляемого поля. Именно таким методом является АМИЛ, где исходное описание поля в виде дифференциальных уравнений в частных производных трансформируется к интегральному представлению решения по схеме метода конечных интегральных преобразований.

• Адаптация приближенного аппроксимативного метода итерационной линеаризации (АМИЛ) к задачам оптимального подвижного управления, которая позволяет решать вопросы построения оптимальных управлений и011Г{{) в пространстве коэффициентов КИП, а также обеспечивает необходимые свойства решения в пространстве К, 1'0 (?2').

• Декомпозиционный принцип построения алгоритма оптимизации.

• Принцип вложенных математических моделей (ВММ).

• Насыщение алгоритма оптимизации аналитическими операциями (аналитическое представление решения использовано как способ плотной «упаковки» информации о тонкой структуре управляемого поля.).

2. На основе интегрального представления решения по АМИЛ предложен многоуровневый декомпозиционный алгоритм оптимального подвижного пространственно-временного управления СРП, описываемых многомерными параболическими уравнениями, взаимосвязанными с уравнениями электромагнитного поля, определяющими внутреннее тепловыделение. Впервые в данном классе моделей оптимизации учтены три пространственных измерения в условиях нелинейности заданных функций в описании краевой задачи. Впервые при оптимизации учтен реальный характер источников тепла (расчет источников тепла на ЭВМ выполнен Мельниковым В. Н. [6]).

3. Детально исследована подзадача Си{1) синтеза оптимального временного закона управления функцией интенсивности й (/). Доказана теорема 1 о релейном характере этой функции всюду, за исключением особых участков движения СРП по фазовым ограничениям. При доказательстве использовано аналитическое интегральное представление решения на основе АМИЛ и математический аппарат принципа максимума Л. С. Понтрягина для СРП.

4. Доказаны теоремы 2 и 3 непрерывной зависимости коэффициентов КИП и решения от параметра 8 достижимой степени равномерного приближения к требуемому конечному состоянию (У {х), а также непрерывной зависимости от числа интервалов функции ы1 (/). Здесь также активно «эксплуатируется» интегральная форма представления решения и математический аппарат метода моментов. Теоремы 2 и 3 служат основанием для декомпонирующих итераций расщепления общей задачи оптимизации на подзадачи Си (() и С?[х ^.

5. Доказаны теоремы 4 и 5 об устойчивости решения параболического уравнения, получаемого по АМИЛ, при возмущении начального состояния. Здесь также используется интегральное представление решения, которое позволило построить интегральные квадратичные формы и применить метод Ляпунова для СРП (данное положение разработано совместно с Вуйтовичем).

6. Исследована управляемость СРП с использованием интегрального представления решения по АМИЛ и метода моментов при трехмерной постановке задачи.

Новизна указанных положений обоснована тем, что до исследований автора трехмерная нелинейная задача оптимального управления тепловыми полями для подвижных источников воздействия не была решена. Не были разработаны и математические вопросы алгоритма решения данной задачи оптимизации.

Достоверность положений обоснована корректным математическим анализом, а также цифровыми экспериментами при численной реализации модели оптимизации.

Теоретическая ценность положений состоит в том, что указан путь к построению эффективных в вычислительном отношении сложных моделей оптимального подвижного управления. Структура и содержание работы.

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы. Работа содержит. страниц сквозной нумерации, из которых. страниц основного текста,. страниц рисунков, таблиц, библиографии и оглавления.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

1. Предложены принципы построения эффективных в вычислительном аспекте математических моделей оптимального управления электротепловыми полями для достаточно постановки задачи: учет нелинейности заданных функций в описании начально-краевой задачи, три пространственных измерения, взаимосвязи теплового и электромагнитного полей, трехмерного характера источников тепла, подвижного характера пространственно-временных управлений.

2. Сформулировано исходное математическое описание полей теплового, электромагнитного и термонаряжений как базы модели оптимизации.

3. Дана классификация постановок задач оптимального управления для рассматриваемого класса управлений.

4. Разработана адаптация схемы АМИЛ для решения задач оптимального управления: возможность оптимизации функции м (г) интенсивности источников, а также анализа управляемости в пространстве изображений КИП, т. е. без перехода к оригиналу.

5. Предложен декомпозиционный алгоритм решения задач оптимального управления для многомерных нелинейных параболических уравнений, опирающийся на аналитическое интегральное представление решения по АМИЛ и принцип вложенных математических моделей (ВММ).

6. Для подзадачи Си{1) оптимизации функции интенсивности подвижных управлений доказана теорема 1 о релейном виде управлений при отсутствии фазовых ограничений.

7. Для подзадачи сц (() доказаны теоремы 2 и 3 о непрерывной зависимости решения оптимальной задачи от допустимой погрешности е (л,) приближения к требуемому конечному состоянию <2 (х), а также от числа N интервалов управления в классе релейных управлений.

8. Доказаны теоремы 4 и 5 об устойчивости решения по АМИЛ при возмущении начального состояния на основе функций Ляпунова.

9. Исследована управляемость СРП на основе методов моментов для интегрального представления решения согласно АМИЛ.

10. Для подзадачи С?[х1] оптимизации функции пространственной формы предложен на основе принципа ВММ двухэтапный алгоритм поиска с использованием пробных точек равномерно-распределенных ЛПТ — последовательностей И. М. Соболя — Р. Б. Статникова.

11. В качестве апробации предложенного декомпозиционного алгоритма оптимизации решена трехмерная нелинейная краевая задача оптимального подвижного управления при индукционном нагреве парамагнитного прямоугольного параллелепипеда.

Показать весь текст

Список литературы

  1. С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник для вузов. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 1022 с.
  2. В.М., Тихомиров В. Н., Фомин C.B. Оптимальное управление.1. М.: Наука, 1979. — 430 с.
  3. О.М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов. — М.: Машиностроение, 1979. — 216 с.
  4. Ю.Н., Огульник М. Т. Оптимальный по быстродействию нагрев пластины при ограниченных температурных напряжениях // Кибернетика и управление. — М.: Наука, 1967, с. 43 — 52.
  5. P.A., Горбатков С. А., Клестов Е. А. Оптимальное терминальное управление системами с распределенными параметрами при неполном измерении их состояния. — Уфа: Уфимск. гос. авиац. технич. ун-т, 1997, —313 с.
  6. Бек В.В., Вишняков Ю. С., Махлин А. Р. Интегрированные системы терминального управления. — М.: Наука, 1989. — 224 с.
  7. Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи.1. М.: Мир, 1968, — 164 с.
  8. Н.М., Рядно A.A. Методы теории теплопроводности. — М.: Высшая школа, 1982. — 304 с.
  9. A.B., Шепель Г. А. Электротехнологические установки: Учебн. для вузов. — М.: Высшая школа, 1988. — 336 с.
  10. В.Г. Математические методы оптимального управления.
  11. М.: Наука. Физмалит, 1969. — 408 с.
  12. А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. — М.: Наука. Физмалит, 1965. — 474 с.
  13. А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1979. — 224 с.
  14. А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1975. — 568 с.
  15. А.Г., Малый С. А., Андреев Ю. Н. Оптимальное управление нагревом металла. — М.: Металлургиздат, 1972. — 440 с.
  16. А.Г., Пустыльников JI.M. Теория подвижного управления системами с распределенными параметрами. — М.: Наука. Физматлит, 1980. — 284 с.
  17. Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. — М.: Наука. Физматлит, 1988. — 552 с.
  18. О.В. Методы оптимизации в конечномерных пространствах.
  19. Иркутск: Изд-во Иркутского ун-та, 1979. — 132 с.
  20. Ф.П., Ишмухаметов А. З., Потапов М. М. Обобщенный метод моментов в задачах оптимального управления. — М.: МГУ, 1989. — 142 с.
  21. В.М. Оптимальное управление нестационарными температурными режимами. — Киев: Наукова думка, 1979. — 360 с.
  22. И.И., Красовский Ю. П. О методе упругих решений // Докл. АН СССР, 1959. Т. 126, № 4, с. 740 — 743.
  23. М.Е. Математическое обоснование итеро-аппроксимативного метода решения нелинейных многомерных задач электротеплового поля // Электродинамика СВЧ и КВЧ, 1999, Т. 7, № 1. —с. 6 — 17.
  24. А.И., Данилевич Я. Б., Косачевский В. И. и др. Электромагнитные процессы в торцевых частях электрических машин. — JI.: Энерго-атомиздат, Ленингр. отд-ние, 1983. — 216 с.
  25. М., Сарнецка В., Вуйтович М. Декомпозиционный метод решения начально-краевых нелинейных многомерных задач оптимального управления электротепловым полем // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ, 1999, № 4, с.
  26. И.И. Решение некоторых задач для параболических уравнений методом последовательных приближений. — Уфа. Башкирский научный центр Уральского отделения АН СССР, 1979. — 172 с.
  27. И.И. Аппроксимация решения некоторых краевых и смешанных задач // Доклады АН СССР. Серия «Математика». — 1980. — Т. 215, № 8. — с. 535 — 539.
  28. H.H. Оптимальное управление симметричным нагревом массивных тел при различных фазовых ограничениях // Автоматика и телемеханика, 1967, № 4, с. 38 — 57.
  29. С.А., Гживачевски М. К анализу итеро-аппроксимативного метода для трехмерных нелинейных задач теплопроводности // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1988, № 2, с. 101 — 111.
  30. С.А., Кувалдин А. Б., Минеев В. Е. и др. Химические аппараты с индукционным обогревом. — М.: Химия, 1974. — 175 с.
  31. Г. А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. — М.— Л.: Изд. АН СССР, 1948. — 748 с.
  32. К.С. Моделирование магнитных полей. — Л.: Энергия, 1974. — 288 с.
  33. К.С., Чечурин В. Л. Расчет вихревых магнитных полей на основе использования скалярного магнитного потенциала // Электричество, 1982, № 1.
  34. A.M. Введение в теорию обратных задач. — М.: Издательство Московск. госуд. ун-та, 1994. — 208 с.
  35. Л. В. Акилов Г. П. Функциональный анализ. — М.: Наука. Физматлит, 1977. — 742 с.
  36. В.В., Милютин A.A. Качественные и численные методы в принципе максимума. — М.: Наука, 1989. — 114 с.
  37. Ю.В. Некоторые задачи теории оптимального управления // ЖВМ и МФ, 1963, Т. 3, № 5, с. 887 — 904.
  38. А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. — М.: Наука, 1978. — 464 с.
  39. М.Ф., Горбатков С. А. Элементы теории нелинейных электромагнитных систем с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1979.225 с.
  40. B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности. — М.: Энергоатомиздат, 1983. — 328 с.
  41. Л.В. Функциональный анализ и прикладная математика // Успехи мат. наук. 1948, Т. З, № 6, с. 89 — 185.
  42. Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. — М.: Высшая школа, 1985. — 280 с.
  43. Н.Е. Вычислительные методы теории оптимального управления.
  44. Л.: Изд-во ЛГУ, 1968. — 144 с.
  45. Н.Е., Морозкин Н. Д. Численные приближения экстремалей управляемых динамических систем: Учебн. пособия для вузов. — Уфа: Башкирский госуд. ун-т, 1989. — 89 с.
  46. Е.А., Сиразетдинов Т. К. Метод распределенных моментов в задачах оптимального быстродействия // Сб. научн. трудов Казанского ин-та. — Казань: Изд. КАИ, 1971, вып. 130, с. 98 — 103.
  47. М.Г. Поверхночстный эффект в неравномерно нагретом ферромагнитном цилиндре // Электричество, 1967, № 8, с. 72 — 81.
  48. Л.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. — М.: Наука, 1975, —225 с.
  49. А.Н., фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
  50. В.Б., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы систем с последствием. — М.: Наука. — 448 с.
  51. М.Б. Решение задачи оптимального управления индукционным нагревом подвижных объектов // Управление распределенными системами с подвижным воздействием. — М.: Наука, 1979. — с. 99 — 106.
  52. Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1977. — 832 с.
  53. Дж. Методы возмущений в прикладной математике. — М.: Мир, 1972. — 276 с.
  54. А.Н. Краевые характеристики в задачах электродинамики.
  55. Киев: Наукова думка, 1989. — 224 с.
  56. А.Н., Березовский A.A. О нелинейных краевых задачах электромагнитного поля. — Киев: Изд. АН УССР, 1963. — 76 с.
  57. H.H. Теория управления движением. — М.: Наука, 1968. — 476 с.
  58. H.H. Управление динамической системой: Задача о минимуме гарантированного результата. — М.: Наука, 1985. — 518 с.
  59. O.A., Солонников В. А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. — М.: Наука. Физматлит, 1967. — 736 с.
  60. М.А. о приближенных граничных условиях для электромагнитного поля на поверхности хорошо проводящих тел // Исследования по распределению радиоволн. — 1948. — Сб. II, с. 5 — 12.
  61. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. — М.: Наука, 1972.
  62. . — Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. — М.: Мир, 1972. — 416 с.
  63. К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики.1. М.: Наука, 1975, —478 с.
  64. A.B. Теория теплопроводности. — М.: Высшая школа, 1967. — 600 с.
  65. Г. И. Методы вычислительной математики. — М.: Наука, 1980.535 с.
  66. С.Г. Вариационные методы в математической физике. — М.: Наука. Физмалит, 1970. — 512 с.
  67. С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. — М.: Госуд. изд. физико-матем. лит., 1959. — 232 с.
  68. H.H. Элементы теории оптимальных систем. — М.: Наука, 1975. — 526 с.
  69. Н.Д. Оптимальное управление процессами нагрева с учетом фазовых ограничений. — Уфа: Башкирский госуд. ун-т, 1997. — 114 с.
  70. Н.Д. Оптимальный по быстродействию нагрев массивных тел с учетом фазовых ограничений // Математическое моделирование, 1995, Т. 7, № 5, с. 86 — 96.
  71. Н.Д. О сходимости конечномерных приближений в задаче оптимального одномерного нагрева с учетом фазовых ограничений // ЖВМ и МФ, 1996, № 10, с. 12 — 22.
  72. Л.Р. Поверхностный эффект в ферромагнитных телах. — Л.: Гостехиздат, 1949. — 190 с.
  73. B.C., Демидович В. Б. Теория и расчет устройств индукционного нагрева. — Л.: Энергоатомиздат, 1988. — 280 с.
  74. В.В., Никольский Т. И. Декомпозиционный подход к задачам электродинамики. — М.: Наука, 1983. — 304 с.
  75. С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. — М.: Наука, 1969. — 480 с.
  76. Ю.В. Теория оптимальных систем с обобщенными управлениями. — М.: Наука, 1988. — 192 с.
  77. Дж., Рейнболдт. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. — М.: Мир, 1975. — 560 с.
  78. Л.С. и др. Математическая теория оптимальных процессов. — М.: Наука, 1976. — 332 с.
  79. H.A. Инженерные тепловые расчеты индукционных нагревателей. — Л.: Энергия. Ленингр. отд-ние, 1978. — 120 с.
  80. Ю.Н. Проблема декомпозиции в математическом моделировании // Математическое моделирование, 1991, Т. 3, № 4, с. 93 — 122.
  81. A.A., Гайцгорн В. Г. Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация. — М.: Наука, 1979. — 344 с.
  82. В.Н. Необходимые и достаточные условия оптимизации и условия единственности оптимизируемых функций для управляемых систем общего вида // Известия АН СССР. Серия «Математика», 1972, Т. 36, № 6, с. 652 — 679.
  83. Я.С., Бурак Я. Н., Гачкевич А. Р., Чернявская Л. В. Термоупругость электропроводных тел. — Киев: Наукова думка, 1977. — 247 с.
  84. .Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. — М.: Наука, 1980. —320 с.
  85. Э.Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла. — М.: Металлургия, 1993. — 279 с.
  86. Э.Я. Задача равномерного приближения при оптимизации распределенной системы, описываемой уравнениями параболического типа // Сибирский математический журнал. — 1982. — Т. 23, № 5. — с. 168 — 191.
  87. Э.Я. Подвижное управление в задачах оптимизации индукционного нагрева металла // Управление распределенными системами с подвижным воздействием. — М.: Наука, 1979. — с. 82 — 92.
  88. H.H., Зуев И. В., Углов A.A. Основы электронно-лучевой обработки материалов. — М.: Машиностроение, 1978. — 240 с.
  89. A.A., Вабищевич П. Н. Численные методы решения задач конвекции — диффузии. — М.: Эдиториал УССР, 1999. — 248 с.
  90. A.A., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. — М.: Наука, 1978, —591 с.
  91. В. Исследование управляемости электротепловой СВЧ-системы с распределенными параметрами на основе аппроксимативногометода итерационной линеаризации // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ, 1999, № 1, с. 77 — 89.
  92. В. Исследование устойчивости решения параболического уравнения по возмущению начального состояния методом функций Ляпунова // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ, 1999, № 1, с. 90 — 101.
  93. А.Д. Электрические промышленные печи. — М.: Энергия, 1976. —384 с.
  94. А.Г. Прямые и обратные задачи электродинамики // Проблемы математической физики и вычислительной математики. — М.: Наука, 1977, с. 287 — 298.
  95. Т.К. Устойчивость систем с распределенными параметрами. — Новосибирск: Наука. Сибирское отд-ние, 1987. — 231 с.
  96. Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1977. — 480 с.
  97. А.Е., Рыскин С. Е. Индукторы для индукционного нагрева. — JL: Энергия. Ленингр. отделение, 1974. — 264 с.
  98. И.М., Статников Р. Б. Выбор оптимальных параметров задаче со многими критериями. — М.: Наука. 1981. — 110 с.
  99. В.Н. О численном решении некоторых задач индукционного нагрева цилиндрических образцов токами высокой частоты // Вестник Московского госуд. ун-та, Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика, 1993, № 3, с. 40 — 46.
  100. А.Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач: Учебн. пособия для вузов. — М.: Наука. Физмалит, 1979. — 285 с.
  101. А.Н., Кальнер В. Д., Гласко В. Б. Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении. — М.: Машиностроение, 1990. — 264 с.
  102. А.Н., Леонов A.C., Ягола А. Г. Нелинейные некорретные задачи. — М.: Наука. Физмалит, 1995. — 312 с.
  103. O.B. Метод вторичных источников в электротехнике. — М.: Энергия, 1975. — 296 с.
  104. Управление динамическими системами в условиях неопределенности / С. Т. Кусимов, Б. Г. Ильясов, В. И. Васильев и др. — М.: Наука, 1988. — 452 с.
  105. Установки индукционного нагрева: Учебное пособие для вузов / А. Е. Слухоцкий, B.C. Немков, H.A. Павлов, A.B. Бамунэр. — JL: Энерго-атомиздат, Ленингр. отд-ние, 1981. — 328 с.
  106. Р.П. Введение в вычислительную физику: Учебн. пособие для вузов. — М.: Изд-во Моск. физ. — техн. ин-та, 1994. — 528 с.
  107. Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. — М.: Наука, 1979. — 488 с.
  108. Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы. — М.: Мир, 1986. — 442 с.
  109. Ф.Л., Баничук В. П. Вариационные методы механики и управления. — М.: Наука, 1973.
  110. Е.П. Управление системами с подвижными источниками воздействия. — М.: Энергоатомиздат, 1985. — 288 с.
  111. Breinmaker Professional. Neural Network Simulation software. User Guide Reference Manual. — Nevada City: California scientific Software, 1995.
  112. Chandrashekhara K.A. A note on the analysis of finite solid cilinder // AIAA Joutnal, 1969. V. 7, № 6, p. 1161 — 1163.
  113. Gorbatkov S.A., Nikitin A.V., Sarnecka W. Constructive methods of optimal control of non-linear heating processes of ferro- and paramagnetic bodies in elek-tromagnetic field // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ, 1999, № 1, с. 22 — 31.
  114. Grzywaczewski М., Gorbatkov S.A., Nikitin A.V. Local principe of a maximum in problem of conducting body heating in an elektromagnetic field // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ, 1997, Т. V, вып. 2 (18), с. 138 — 151.
  115. Grzywaczewski М., Gorbatkov S.A. Optimal Control in the Process of Induction Heating // Simposium «System — Modelling — Control» (April — May 1998, Zakopane, Poland): Prosidings, p.
  116. Grzywaczewski M., Gorbatkov S.A.Nieregularne punkty fazowe przy optymal-nym sterowaniu procesem nagrzewania indukcijnego // XII Krajowa Konferencja Automatiki (Gdynia, 6 — 8 wrzesnia 1994, Poland). — Gdynia: Wyzsza Skola Morska, 1994. — P. 596 — 602.
  117. Pachpatte b.G. Monotonne method for noulinear system of equation arising in reactor dynamics // Math. Semin. Notes. Kobe Univ. 1982. 10, N 2/2. P. 721 — 732.
  118. Reichert K.A. Numerical Methods to Calculate Induction Heating Installations // Electrowarme INT. — 1968. — V. 26, p. 113 — 123.
  119. Sattinger D.H. A monotonne method for noulinear elliptic and parabolic problems // Indiana Univ. Math. I. 1972. V. 21. P. 979 — 1000.
  120. Schulze D. Modellierung und Steurerung induktiver Erwarmungsprozesse, 1984, 256 s. — Ilmenau: Technische Hochschule, Diss. В.
  121. Handbook of Intelligent Control: Neural, Fuzzy and Adaptive Approaches / (Ed/: David A — Write. Donald a — Sofge): Van Nostrand Reinbrold, № 4, 1992. — 558 p.
  122. Hageman L.A., Young D.M. Applied Iterative Methods. — New York: Akademie Press, 1981.
  123. Hitzschke R.-P., Schulze D. Berechnung van Zeitplansteurungen fur induktive Erwarmungs — sprozesse // Elektrowarme international, 48 (1990). B4, p. 192 — 198.
Заполнить форму текущей работой

Пора сдавать?