Решение задачи о точном уплощении Земли для волн Рэлея

Поверхностные сейсмические волны лявовского и рэлеевского типов служат ценным источником информации о строении Земли. Общие сведения о её внешних областях получены, главным образом, благодаря изучению поверхностных волн. Так как распространение этих волн происходит вдоль поверхности, то убывание их энергии вследствие геометрического расхождения пропорционально 1 / г, где г ~ расстояние от источника до точки наблюдения, в отличие от объёмных, для которых эта зависимость пропордаоначьна 1 / г1. Таким образом, на достаточно далёких расстояниях от источника все наблюдаемые вблизи поверхности сейсмические явления целиком связаны с поверхностными волнами. В частности, наибольшие разрушения при не слишком глубокофокусны х землетрясениях вызываются именно поверхностными волнами.

Вопреки своему названию, поверхностные волны могут при низких частотах проникать в толщи Земли достаточно глубоко. Например, если период колебаний в них более 400 секунд, то они проникают более, чем на половину радиуса, то есть достигают земного ядра, переходя на ещё более низких частотах в собственные колебания Земли.

Поскольку эти волны проникают достаточно глубоко, то они содержат информацию не только о внешних, но и о достаточно глубоких областях. Однако прочесть эту информацию значительно более сложно, чем из объемных волн. Теория обратных задач да®поверхностных волн фактически начала разрабатываться Пикерисом и Слихтеромпервый исследовал обратную сейсмическую задачу, а второй — обратную задачу для электромагнитных полей (у Слихтера рассматривалась асимптотика). Более строгий и в прикладном отношении более полезный для практики подход к обратным задача^ для поверхностных волн стая возможен после разработки теории обратных спектральных задач Гельфандом, Левитаном и Марченко в 50−60х годах. Обобщение этой теории на матричные задачи было сделано группой исследователей под руководством Г. М. Хенкина в работах [36 Применением этой теорий к сейсмическим колебаниям типа Лява и Рэлея в последнее время занимается груша исследователей под руководством В .М.Маркушевича.

Для отработки решения обратных задач необходимо уметь моделировать рэлеевские колебания. Расчёт рэлеевских волн в некоторой модельной упругой среде является очень трудоёмкой вычислительной задачей. Для облегчения расчётов используются различные упрощения. Например, рассматривается среда, неоднородная только в одном, обычно вертикальном направлении, называемая слоистой. В дальнейшем будут рассматриваться только такие среды. Точное определение слоистой среды даётся ниже в разделе 1.3.

Другим важным упрощением является рассмотрение плоской слоистой среды вместо сферической слоистой. Такое упрощение оправдано при региональных исследованиях в сейсмологии, поскольку если поверхностные волны распространяются вдоль земной поверхности на небольшие расстояния, то её можно приближённо рассматривать как плоскую. Плоско-слоистое приближение Земли будет хорошим лишь для достаточно коротких волн. Но с увеличением их длины и большим проникновением волн вглубь эффект сферичности среды становится всё более заметным, и для более длинных волн, захватывающих уже почти всю Землю, необходимо рассматривать уравнения, описывающие колебания сферического тела.

Если сферичность продолжать игнорировать и рассматривать колебания плоской среды, то будет внесена некоторая ошибка. Эту ошибку можно компенсировать следующим искусственным приёмом. Сферическую среду следует заменять плоской с «подправленными» упругими свойствами и плотностью. Иногда такое «исправление» плоской среды оказывается столь успешным, что отличие колебаний в плоской среде от сферической исчезает полностью, правда плоские колебания также необходимо подправлять, но эта поправка также точно находится. Нахождение «поправок» двух сортов, а именно, поправок к двойствам среды и поправок к решениям уравнений, описывающих колебания, получило название «уплощения» сферической среды. Причем" поскольку оказывается иногда возможным найти точное уплощение, оно будет справедливым для любых глубин вплоть то центра Земли.

Поясним эту процедуру на примере лявовских волн, для которых известно точное уплощение. Колебания этого типа как в сферических, так и в плоских средах описываются уравнениями в частных производных. Используя то, что среды предполагаются слоистыми" к этим уравнениям применяется метод разделения переменных. В результате получается следующее обыкновенное дифференциальное уравнение. где щ ~ щ{г) — трансформанта смещения в упругой волне как функция градиус-вектора из центра сферы, д* = - упругий модуль сдвига, р3 ~ р${г) — плотность среды, а> - частота, § - волновое число. Штрих' обозначает дифференцирование по г, то есть Г ~д/?дг.

Если в это уравнение подставить где штрих' теперь обозначает дифференцирование, но % - а Ща ¡-г), а — радиус.

Земли.

Уравнение (4) по форме совпадает с уравнением лявовских волн с трансформантой смещения и/ в плоско-слоистом полупространстве со свойствами /г/ и р/ и глубиной измеряемой от поверхности.

А* - МЛ?) = {а}г? у/ОЫа/г)), Ра ~ рАг) = аъ Г5 р/(Ы (а/ г",.

Щ = Щ (г) — (г/а)м/0а (<�а/г)),.

3).

2) то обнаружится, что и/ удовлетворяет уравнению и/((02 + И/Ду- + Д/М/ «О,.

4).

Чтобы получить модуль сдвига ?1 / подправленной плоской среды, необходимо модуль сдвига цх сферической среды умножить, как следует из.

2), на (а?г)~3, а плотность на а" 3 г5. При этом плоское решение Uf будет отличаться от сферического us, как следует из (3), на множитель, а ¡-г.

Таким образом, по заданным свойствам fis® и ps® сферически слоистой среды находятся из (2) такие свойства ji/(z) и p/(z) некоторой плоской, что исходное сферическое уравнение (1) принимает вид плоского (4) для некоторой функции и/, известным образом, по формуле (3), связанной с искомой us, то есть «уплощается». Появляется возможность вместо уравнения (1) исследовать более простое уравнение (4) и все результаты перенести на исходную задачу, используя преобразование (3).

Точное уплощение для лявовских волн было найдено Гервером и Кажданом.

3] и Бисвасом и Кноповым [29]. Были попытки найти подобное преобразование и для рэлеевских волн, но до сих пор оно не было найдено. Это объясняется более сложным характером рэлеевских колебаний по сравнению с лявовскимив частности, они описываются системой двух уравнений второго порядка.

Вместо точного уплощения для рэлеевских волн предлагались различные варианты приближённых. Наиболее известен среди них вариант приближённого уплощения, предложенный Бисвасом [30]. При этом приближённом уплощении формулы, аналогичные (2) и (3), имеют вид:

Mr) = Mf (Ha/r)l A. s® = АДЫя/г)), j (5).

Ps® = (a jrf р/(п (а/r)), it sir) = (г/ a) и/(ln (a / /•)), (6) где Xs — ещё один упругий модуль, входящий наряду с? is в уравнения рэлеевских волн. Необходимо обратить внимание, что теперь, в рэлеевском случае, амплитуды волн us и й/ являются двухкомпонентными векторами, и обозначены жирным шрифтом.

При подстановке формул (5) и (6) в уравнения рэлеевских волн в сферической среде, получаются аналогичные уравнения для плоской среды плюс слагаемые вида /(г)/л, где /(г) — числитель слагаемого, зависящий от радиуса. Для небольших глубин г%а выполняется /(/")"а, следовательно формулы (5) и (6) определяют приближённое уплощение.

Несмотря на то, что данное уплощение справедливо для небольших глубин, с точки зрения практики эти глубины часто оказываются достаточными. Так в статье Бисваса [30] показано, что этим уплощением вполне можно пользоваться при небольшой погрешности для расчёта рэлеевских волн, которые проникают не глубже половины радиуса Земли.

Погрешности при этом оказываются не столь велики для не очень низких частот и поэтому многие расчёты, например, Гомберг и Мастере [35], предпочитают делать, используя именно уплощённую модель, а не сферическую.

Известно и много других вариантов приближённого уплощения, например Альтерман, Яром, Пикерис [26]. То обстоятельство, что в течение почти 30 лет предлагались различные варианты уплощений (приближённых) для рэлеевских волн и делались безуспешные попытки найти точное" говорит о том, что точное уплощение является актуальной задачей, решение которой даст существенные преимущества при расчётах сейсмограмм.

Эти преимущества состоят в следующем. При расчётах сейсмограмм наиболее эффективными оказываются матричные методы, такие как метод матричного нропагатора, метод отражений. Эти методы детально разработаны именно для плоско-слоистых сред, но имеют ограниченное применение для сферических. Применение матричных методов для сферических сред известно (Бхаттачария, [27,28]), но их эффективность сильно уступает аналогичным методам для плоских сред, так как требует разбиения сферической среды на слишком большое количество тонких слоёв, особенно глубинных. Применение уплощения позволило бы использовать для сферических сред быстрые матричные методы расчёта сейсмограмм, первоначально разработанные для плоских сред.

Несмотря на то" что метод приближённого уплощения Бисваса очень популярен, он не может претендовать на решение задачи безусловного применения матричных методов для сферической среды, так кж имеет ограниченную область применимости, в которой использованное в этом методе приближение допустимо. Предлагаемое в этой работе точное уплощение от таких ограничений не страдает. Оно справедливо для любых глубин вплоть до центра упругого слоистого шара и любых частот, кроме нулевой, то есть статических деформаций. В случае Земли оно применимо вплоть до жидкого ядра.

Решение задачи уплощения находится как результат теории единого представления рэлеевских колебаний в форме Штурма-Лиувилля для плоских и сферических сред. Более того, теория включает в рассмотрение и цилиндрически-симмегричные упругие тела и утверждает, что другие типы симметрии не принадлежат к этому классу, то есть классу слоистых упругих сред, допускающих такое представление.

Последовательное изложение этой теории и её применение к решению классической задачи уплощения Земли для рэлеевских волн и составляет содержание настоящей работы. В первой главе формулируется «остановка задачи, даётся определению тому классу слоистых упругих сред, которые входят в рассмотрение излагаемой теории, приводятся уравнения рэлеевских колебаний в произвольной криволинейной ортогональной системе координат и находится класс сред, для которых возможно разделение переменных в данной системе уравнений. Во второй главе разделённые уравнения приводятся к единой форме Штурма-Лиувщщя. Третья глава посвящена решению задачи уплощения с помощью единого представления уравнений в сферической и плоской средах.

Точное решение задачи уплощения для рэлеевских волн уже не имеет такого простого вида, как формулы (2) и (3) или (5) и (6). В общем случае аналогичные зависимости находятся из решений нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений четвёртого порядка. Находятся специальные случаи сферически-слоистых сред, которые допускают аналитическое решение этой системы. И лишь для определённых частот в этих случаях решение записывается в столь же простом виде, как для лявовских волн или приближённого уплощения для рэлеевских волн. В случае произвольной среды необходимо численное интегрирование этой системы, что может составить некоторые вычислительные трудности в отдельных случаях. При численном интегрировании для однородных сферических слоёв разработаны пути преодоления этих трудностей. В результате рассчитывается уплощённый аналог модели Земли Гутенберга.

Для проверки эффективности метода точного уплощения рассчитаны дисперсионные кривые для моделей Земли: Гутенберга и PREM, а также для модели Луны.

Заключение

.

Результаты проведённых аналитических исследований и численных э кспериментов можно обобщить в виде следующих выводов.

1) Для Р-БУ колебаний решена задача точного уплощения, т. е. найден метод, позволяющий рассчитать колебания сферически слоистой среды при помощи быстрых и эффективных алгоритмов, разработанных для плоско-слоистых полупространств. Ранее такая задача была решена только для 8Н колебаний.

2) Система обыкновенных дифференциальных уравнений для Р-8У колебаний с помощью серии матричных и дифференциально-матричных подстановок преобразуется к матричному уравнению Штурма-Л иу вилля. Вид этого матричного уравнения одинаков для плоско-слоистых, сферическии цилиндрически-слоистых сред. Спектральным параметром получившегося уравнения Штурма-Лиувилля является волновое число, а частота входит в потенциал как параметр.

3) Используя одинаковую форму уравнений Штурма — Лиувилля для плоско и сферически-слоистых сред, можно указать матричное преобразование подобия, которое переводит уравнение для сферической среды в уравнение для плоской. Тем самым заданной сферической среде сопоставляется плоская среда, т. е. осуществляется точное уплощение.

4) Для определения матрицы, задающей преобразование сферической среды в плоскую, требуется решить систему четырёх нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, разрешённых относительно производной. Начальные условия при интегрировании такой системы являются свободными параметрами. Решение системы зависит от частоты.

5) Как правило, такую систему можно решить только численно. Однако выделен класс сферически слоистых сред, для которых эта система является автономной и допускает аналитическое решение. Сравнение этих решений с приближённым уплощением Бисваса показывает те особенности, которые не учитываются э тим приближённым уплощением.

6) Основным недостатком плоских сред, осуществляющих точное уплощение, является быстрый выход параметров Ламе и плотности за физически допустимые границы с увеличением глубины. Были исследованы начальные условия, минимизирующие этот эффект. Выбор матрицы преобразования из условия равенства параметров Ламе в сферической и плоской средах в начальной точке уплощения, а плотности в плоской среде равной сферической, умноженной на квадрат радиуса, обеспечивает умеренное изменение параметров для однородной сферы.

7) Точное решение задачи уплощения представлено в виде ряда по обратным степеням радиуса сферы. Нулевому члену этого ряда соответствует приближение Бисваса. Учёт следующего, первого, члена позволяет уточнить параметры уплощающей среды. В результате этого собственные частоты колебаний Земли, заданной в виде моделей Гутенберга, PREM, IASP91, а также модели Луны, при расчёте предлагаемым методом уплощения получаются точнее, чем при использовании уплощения Бисваса.