О шпехтовости разрешимых многообразий коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3

Одним из аспектов изучения тождеств неассоциативных алгебр, в частности, алгебр близких к ассоциативным, является конечнобазируе-мость многообразий. Если каждая алгебра из многообразия М обладает конечным базисом тождеств, то такое многообразие называется шпехто-вым (по имени немецкого математика). Сама проблема, является ли данное многообразие шпехтовым, известна как проблема Шпехта. Шпехт [40] сформулировал свой вариант проблемы, ставший ныне классическим, в 1950 году для ассоциативных алгебр над полем характеристики нуль. На пути решения классического варианта проблемы Шпехта значительные результаты были получены во многих конкретных многообразиях и классах ассоциативных алгебр. Так, В. Н. Латышев [14−16], а также Г. К. Генов [5], А. П. Попов [20] показали локальную шпехтовость нематричных многообразий над полем нулевой характеристики. Исследовались тождества матричных многообразий. См., например, [3, 4, 13, 17, 26] .

Классический вариант проблемы Шпехта получил окончательное решение А. Р. Кемером [10] в восьмидесятые годы. Оказывается, что конечным базисом тождеств обладает любое многообразие ассоциативных алгебр над полем характеристики нуль. Им же [11] положительно решен локальный случай для бесконечного поля простой характеристики.

В глобальном случае для поля простой характеристики проблема оставалась нерешенной. Но недавно автору стало известно, что А. В. Гришиным, А. Я. Беловым и В. В. Щиголевым независимо получены некоторые результаты по этой проблеме.

В первое время проблема Шпехта рассматривалась исключительно как проблема теории ассоциативных алгебр. В середине 60-ых годов некоторые математики начали распространять эту проблему на многообразия неассоциативных алгебр и в первую очередь на многообразия алгебр, близких к ассоциативным.

Исследования вопросов конечной базируемости в многообразиях алгебр, близких к ассоциативным, показали, что в некоторых многообразиях существуют нешпехтовы подмногообразия. А коль скоро это установлено, возникает потребность в нахождении различных условий для выделения в многообразии как шпехтовых подмногообразий, так и не-шпехтовых подмногообразий. Далее, следует отметить, что в силу специфики неассоциативных многообразий, тождества там всегда играли особую роль, а общая задача описания тождеств, в частности, вопросов конечной базируемости, занимает в теории неассоциативных многообразий одно из центральных мест. Таким образом изучение структуры многообразий алгебр с точки зрения проблемы Шпехта совершенно естественно, более того, как показывают результаты, весьма плодотворно.

Настоящая диссертация состоит из трех глав и посвящена изучению вопросов конечной базируемости и установлению некоторых свойств шпехтовых многообразий разрешимых коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3.

Одним из первых, кого заинтересовали вопросы конечной базируемости многообразий алгебр, близких к ассоциативным, был А. И. Мальцев. В 1966 году на Втором Всесоюзном симпозиуме по теории групп в городе Батуми им [12] были сформулированы вопросы о шпехтовости многообразий алгебр Ли и многообразий, порожденных конечными алгебрами Ли.

Одним из наиболее значительных результатов в этой области является доказательство А. В. Ильтяковым [38] шпехтовости многообразия, порожденного конечномерной алгеброй Ли.

Далее, легко показать шпехтовость произвольного неассоциативного нильпотентного многообразия алгебр над полем. В 1968 году Воон — Ли [41] показал шпехтовость многообразия разрешимых индекса 2 алгебр Ли над любым полем, а затем им [42] был построен пример нешпехтова многообразия алгебр Ли над произвольным полем характеристики 2, удовлетворяющего тождеству (хх2 • Х3Х4) Х5 = 0. Позднее B.C. Дренски [7] показал нешпехтовость многообразия разрешимых индекса 3 алгебр Ли над произвольным полем характеристики р > 0. Вопрос о шпехтово-сти многообразий разрешимых алгебр Ли над полем характеристики нуль до сих пор остается открытым и в настоящее время является одним из основных в этой области.

В многообразии алгебр Ли понятия нильпотентности и разрешимости довольно далеки друг от друга, в то время как в многообразии правоаль-тернативных алгебр они, в некотором смысле, близки. Так, например, в конечномерном случае разрешимость эквивалентна правой нильпотентности. В связи с этим следует отметить результат В. П. Белкина [1] о том, что многообразие разрешимых индекса 2 правоальтернативных алгебр над произвольным полем не является шпехтовым.

В многообразиях альтернативных и йордановых алгебр понятие нильпотентности и разрешимости еще ближе друг к другу, например, в конечнопорожденном случае эти понятия просто совпадают. Далее, многообразие альтернативных алгебр одно из самых близких к многообразию ассоциативных алгебр. Эта близость проясняется теоремой Артина, утверждающей, что во всякой альтернативной алгебре подалгебры, порожденные двумя элементами, ассоциативны. В связи с этим интересен следующий вопрос: не будут ли многообразия разрешимых альтернативных (йордановых) алгебр шпехтовы? Этот вопрос был сформулирован A.M. Слинько в «Днестровской тетради» [6]. Проблема получила положительное решение в случае поля характеристики не равной 2,3.

Для разрешимых индекса 2 алгебр это следует из результатов работы Ю. А. Медведева [18]. Кроме того, им [19] указано многообразие разрешимых (более точно, центрально-метабелевых, т. е. удовлетворяющих тождеству (хх2 ¦ х3×4) х$ = 0) альтернативных алгебр над полем характеристики 2, не имеющее конечного базиса тождеств. С. В. Пчелинцевым [25] построен соответствующий пример многообразия центрально-метабелевых (некоммутативных) альтернативных алгебр над полем характеристики 3.

Как показывают результаты работ [9, 23, 24, 31, 32] характеристика поля 3 в случае альтернативных алгебр играет особую роль: а) свободное альтернативное кольцо содержит ненулевые элементы, аддитивный порядок которых равен 3 [23, 24]- б) над полем характеристики 3 существуют исключительные первичные алгебры [9, 23, 31]- в) недавно И. П. Шестаков [32] получил описание простых альтернативных супералгебр: в характеристике 3 возникли очень интересные супералгебры, среди которых имеются и бесконечномерные.

Кроме того, заметим, что в силу тождества ху> А + [уг, *] + [гх, у] = 3(х, у, г) справедливого во всякой альтернативной алгебре [8], неассоциативные коммутативные альтернативные алгебры существуют только над полем характеристики 3.

Первая глава посвящена доказательству шпехтовости некоторых разрешимых многообразий коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3 и построению бесконечнобазируемого многообразия.

Хорошо известно, что в любой конечномерной разрешимой алгебре Ли Ь над полем характеристики 0 подалгебра Ь2 нильпотентна. В.

1984 г. C.B. Пчелинцев [22] доказал, что аналогичный результат справедлив для произвольных (не обязательно конечномерных) альтернативных алгебр характеристики^2,3. Как показано позднее И. П. Шестаковым [30], ограничение на характеристику можно снять. Кроме того, им получена явная оценка индекса нильпотентности. Аналог теоремы Пчелинцева был доказан также и для йордановых алгебр [39].

Пусть Nk и, А — соответственно, многообразия альтернативных алгебр класса нильпотентности не выше к и алгебр с нулевым умножением. В своей работе C.B. Пчелинцев доказал, что всякая разрешимая альтернативная алгебра, А над полем характеристики не равной 2,3 принадлежит многообразию NkAnN3Nm, т. е.

A2f = (Amf = 0 для некоторых к, m, зависящих только от индекса разрешимости алгебры А.

Затем У. У. Умирбаевым [28] была показана шпехтовость этого многообразия, что является аналогом результатов Брайнта, Воон-Ли.

34], Г. В. Шейной [29] для алгебр Ли. Отсюда следует шпехтовость многообразий разрешимых альтернативных алгебр над полем характеристики не равной 2,3. Доказательство шпехтовости в указанных работах основано на применении метода вполне частично упорядоченных множеств. Этот метод восходит к Г. Хигману [37] и впервые для решения проблемы конечной базируемости тождеств был употреблен Д.Коэном.

35], доказавшим шпехтовость многообразия² в случае групп.

В первом параграфе главы I доказана следующая Теорема 1. Многообразие NkAr^N3Nm коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3 шпехтово.

В частности, при k=3, т=2 шпехтовым является многообразие коммутативных альтернативных алгебр с тождеством вд)(ХзХ4Ж*5Хб)=0.

Доказательство шпехтовости проводится методом вполне частично упорядоченных множеств.

Во втором параграфе решается отрицательно проблема A.M. Слинько для разрешимого (коммутативного) многообразия. Более подробно, в многообразии коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3 с тождествами х3 = 0, [[(вдХад)] Оз*б)] х7=0. указана бесконечная неприводимая система тождеств степени 4 по переменной х: рСХJ X2и '. JC^fjj^' jCJCjffj^i. Хбп-}Х '.

Этот результат сформулирован в теореме 2 .

Для доказательства этой теоремы сначала строится вспомогательная супералгебра, грассманова оболочка которой есть коммутативная альтернативная алгебра. Затем непосредственно в доказательстве теоремы показывается, что приведенная в условии система тождеств нетривиальна в грассмановой оболочке и не имеет следствий высших степеней.

C.B. Пчелинцев в [21] ввел понятие топологического ранга шпехто-ва многообразия, которое является естественным обобщением понятия конечномерности. Напомним необходимые определения.

Пусть V — конечнобазируемое многообразие, VczW. Размерностью dimw У многообразия V относительно W называется наименьшее число л, обладающее свойством: существует конечная система тождеств ь .,/, выделяющая Vm W., т. е. (fx, fs) T+ TiW) = TiV), такая, что ни одно из тождеств этой системы не выполняется в Wn п = max{deg/i,. .. , deg/5}.

Но Л размерностью dim F многообразия V понимается размерность V относительно многообразия всех алгебр.

Пусть M — шпехтово многообразие, т. е. всякое его подмногообразие конечнобазируемор (М) — множество всех подмногообразий многообразия М. Пусть О с р (М) — множество О называется конечномерным, если размерности всех многообразий из множества С2 ограничены в совокупности.

Для любого IV т р (М) введем множества ип (ГГ)={У^ цг дшц, у >п}, ип{Щ = и"(1?)и{1У}.

Считая систему множеств I = {II" (IV) | р{М), п е N } базой окрестностей, р (М) наделяется некоторой топологиейП является топологическим подпространством пространства р{М). Поскольку М шпех-тово, любая убывающая цепочка многообразий М з М2 и>... з Мп =>... из О. стабилизируется, следовательно, всякий минимальный элемент множества П является изолированной точкой в пространстве О. Обозначая через О! множество предельных точек пространства имеем О’с О. Топологическим рангом гг (С1) пространства ?2 называется число г такое, что ~1] ф 0 и = 0. Топологическим рангом гг (М) многообразия М называется топологический ранг пространства р (М), т. е.

Легко видеть, что если многообразие М нильпотентно индекса п, то &-тМ < п и г ((М)=1- если же однородное многообразие М не является нильпотентным, то множество р (М) бесконечномерно. В работе [21] С. В. Пчелинцевым был найден топологический ранг многообразий Ак2, (-1,1)2, Ма1с2, .ТогсЬ, т. е метабелевых (другое название разрешимых индекса 2) альтернативных, (-1,1) —, мальцевских, йордановых алгебр над полем характеристики ф 2, 3: гг (А112) = гг ((-1,1)2) = 2, гг (Ма1с2) = 3, фогс12) = К0.

В работе [36] В. Дренски и Т. Рашковой доказывается конечность топологического ранга собственных подмногообразий многообразия Логё2.

Вторая глава посвящена нахождению топологического ранга некоторых разрешимых многообразий.

Положим, В — многообразие ЛУУг коммутативных альтернативных ниль-алгебр индекса 3 над полем Ф характеристики 3, т. е. многообразие коммутативных альтернативных алгебр с тождествами х3=0,.

Свд)(ХзХ4)](>5Хб)=0. В главе II диссертации построен базис пространства полилинейных многочленов свободной алгебры ДХ>) и найден топологический ранг г ((Вп) многообразий.

Д = /) п Уаг ((ху — 21) х... хп).

Доказана следующая.

Теорема 4. Топологический ранг г^рп)=п +2.

Отсюда следует бесконечность топологического ранга многообразия Д.

Структура главы II такова. В параграфе 2.1 строятся вспомогательные примеры алгебр порождающих различные подмногообразия Д. В параграфе 2.2 построен базис свободной алгебры центрально-метабелевого многообразия, т. е. многообразия заданного соотношением [(х1×2)(х3×4)]х5 = 0, и описана решетка его подмногообразий (теорема 3). В параграфе 2.3 построен базис полилинейной части свободной алгебры многообразия Д (лемма 5) и найден топологический ранг многообразий Д&bdquo- (теорема 4).

Целью третьей главы диссертации является построение бесконечного базиса тождеств в многообразии коммутативных луп Муфанг (КЛМ). Напомним основные определения из теории КЛМ, которые можно найти, например, в [2, 33].

Лупа, в которой выполняется тождество х2 • уг = ху ¦ хг, называется коммутативной лупой Муфанг. Ассоциатор [хх, х2, элементов х, х2, Хз.

КЛМ определяется равенством.

ХХ2 ¦ Хз = Х[Х, Х2, Хз] ¦ Х2Хз .

Индуктивно определяется ассоциатор

X], х2, ., х2&bdquo-+1] = [[х}, Х2, ¦ ¦., X2пЛ, *2п, %2п+1] •.

В работе Н. И. Санду [27] указывается бесконечная независимая система тождеств в многообразии КЛМ. Эта система имеет следующий вид.

1, У2, Уз, У4, У5 ], [г, ?2, 23], [г4, , г6], .,, , г12к ]],.

У, У2, Уз, У4, У5 ], [¿-12к+1, %12к+2, ],., [г24к-2, *24к-1, г24к ]],.

У1, У2, Уз, У4, Уз]] = 1.

Пример бесконечной независимой системы тождеств, построенный в настоящей диссертации, выглядит несколько проще, чем пример Н. И. Санду. Кроме того, метод построения заключается в том, что основные вычисления проводятся в коммутативной альтернативной алгебре, а окончательный результат переносится затем на КЛМ.

В первом параграфе главы III снова строится вспомогательная супералгебра над полем характеристики 3, несколько более сложная, чем в первой главе. Грассманова оболочка С{А) этих супералгебр является коммутативной альтернативной алгеброй над полем характеристики 3 со следующими тождествами (теорема 5).

X3 = О, [(ХХ2 ¦ ХзХ4){Х$Х6)]Х1 = О, хх]. х2п ¦ ху1. у2п) • Х2. г2п.]Х = 0.

Затем строится бесконечная система тождеств, нетривиальная в грассмановой оболочке и не имеющая нетривиальных следствий в этой оболочке.

Во втором параграфе главы III строится бесконечная неприводимая система тождеств КЛМ. Переход от коммутативной альтернативной алгебры к КЛМ осуществляется следующим образом. Легко показать, что множество обратимых элементов коммутативной альтернативной алгебры с единицей образует КЛМ относительно операции умножения. Тогда вспомогательная КЛМ может быть представлена как множество обратимых элементов алгебры G (A)#, где G (Af получена из G (A) внешним присоединением единицы.

Результаты сформулированы в следующих теоремах.

Теорема 6. Пусть М — многообразие коммутативных альтернативных алгебр над полем Ф характеристики 3 с тож: дествами хъ = О, [{ХХ2 ¦ ХзХ4)(Х5Х6)]Х7 = 0.

Система одночленов.

JlSn+3 «(ХХ1 ¦¦¦ хбп-2 ' ХУ1 ¦¦¦ Убп-2) ' XZj. Z6n + 3X неприводима в многообразии М. л.

Теорема 7. В многообразии КЛМ с тождеством x = 1 следующая система тождеств hl8n+3 :=, ., Хбп+2], [х, У!, Убп-2], Zj, ., Z6n., х]] является неприводимой.

Результаты диссертации докладывались на международном семинаре «Универсальная алгебра и ее приложения» памяти Л. А. Скорнякова в Волгограде в 1999 г.- семинаре по алгебре в МГУ под руководством профессоров В. НЛатышева, А. В. Михалева.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [43−46].

Нумерация формул и лемм в диссертации в каждой главе своя. Нумерация теорем сквозная.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю С. В. Пчелинцеву за постановку задач, постоянное внимание и большую помощь в работе.

1. Белкин В. П. О многообразиях правоальтернативных алгебр // Алгебра и логика, 1976, т. 15, № 5, с.491−508.

2. Белоусов В. Д. Основы теории квазигрупп и луп. М.: Наука, 1972.

3. Генов Г. К. Базис тождеств алгебры матриц третьего порядка над конечным полем // Алгебра и логика, 1981, т.20, № 4, с.365−388.

4. Генов Г. К., Сидеров П. Н. Базис тождеств алгебры матриц четвертого порядка над конечным полем. I, II. // Сердика, 1982, № 8, с.313−323, с.351−366.

5. Генов Г. К. Некоторые шпехтовы многообразия ассоциативных алгебр // Плиска, 1981, № 2, с.30−40.

6. Днестровская тетрадь. Новосибирск, 1982.

7. Дренски B.C. О тождествах в алгебрах Ли // Алгебра и логика, 1974, т.13, № 3, с.265−290.

8. Жевлаков К. А., Слинько A.M., Шестаков И. П., Ширшов А. И. Кольца, близкие к ассоциативным, М.: Наука, 1978.

9. Зельманов Е. И., Шестаков И. П. Первичные альтернативные супералгебры и нильпотентность радикала свободной альтернативной алгебры // Изв. АН СССР, сер. мат., 1990, т.54, № 4, с.676−693.

10. Кемер А. Р. Конечная базируемость тождеств ассоциативных алгебр // Алгебра и логика, 1987, т.26, № 5, с.597−641.

11. Кемер А. Р. Тождества конечно порожденных алгебр над бесконечным полем // Изв. АН СССР, сер. мат., 1990, т.54, № 4, с.726−753.

12. Коуровская тетрадь. Новосибирск, 1976.

13. Красильников А. Н. О тождествах алгебр Ли треугольных матриц над полем положительной характеристики // VI симпозиум по теории колец, алгебр и модулей. Тезисы. Львов, 11−13 сентября 1990. — С. 76.

14. Латышев В.H. О некоторых многообразиях ассоциативных алгебр // Изв. АН СССР, сер. мат., 1973, т.37, № 5, с.1010−1037.

15. Латышев В. Н. Конечная базируемость некоторых колец // Успехи мат. наук, 1977, т.32, № 4, с.259−262.

16. Латышев В. Н. Нематричные многообразия ассоциативных алгебр // Дисс. на соиск. уч.ст. докт.физ.-мат. наук, М., 1977, 150.

17. Мальцев Ю. Н., Кузьмин Е. Н. Базис тождеств алгебры матриц второго порядка над конечным полем // Алгебра и логика, 1978, т.17, № 1, с.28−32.

18. Медведев Ю. А. Конечная базируемость многообразий с двучленным тождеством // Алгебра и логика, 1978, т.17, № 6, с.705−726.

19. Медведев Ю. А. Пример многообразия разрешимых альтернативных алгебр над полем характеристики 2, не имеющего конечного базиса тождеств // Алгебра и логика, 1980, т.19, № 3, с.300−313.

20. Попов А. П. О шпехтовости некоторых многообразий ассоциативных алгебр // Плиска, 1981, № 2, с.41−53.

21. Пчелинцев C.B. Разрешимые индекса 2 многообразия алгебр // Матем. сб., 1981, т.115, с.179−203.

22. Пчелинцев C.B. Разрешимость и нильпотентность альтернативных алгебр и алгебр типа (-1,1) // В книге «Группы и другие алгебраические системы с условиями конечности», — Новосибирск: Наука, 1984, с.81−101.

23. Пчелинцев C.B. О нильпотентных элементах и ниль-радикалах альтернативных алгебр // Алгебра и логика, 1985, т.24, № 6, с.674−695.

24. Пчелинцев C.B. О кручении свободного альтернативного кольца // Сиб. матем. ж., 1991, т.32, № 6, с. 142−149.

25. Пчелинцев C.B. Структура слабых тождеств на грассмановыхоболочках центрально-метабелевых альтернативных супералгебр суперранга 1 над полем характеристики 3 // Фундаментальная и прикладная математика (в печати).

26. Размыслов Ю. П. О конечной базируемости тождеств матричной алгебры второго порядка над полем харктеристики нуль // Алгебра и логика, 1973, т.12, № 1, с.83−113.

27. Санду Н. И. Бесконечные неприводимые системы тождеств коммутативных луп Муфанг и дистрибутивных квазигрупп Штейне-ра // Изв. АН СССР, сер.мат., 1987, т.51, № 1, с.171−188.

28. Умирбаев У. У. Шпехтовость многообразия разрешимых альтернативных алгебр // Алгебра и логика, 1985, т.24, № 2, с.226−239.

29. Шеина Г. В. О некоторых многообразиях лиевых алгебр // Сиб. матем. ж., 1976, т.17, № 1, с.194−199.

30. Шестаков И. П. О разрешимых альтернативных алгебрах // Сиб. матем. ж., 1989, т. ЗО, № 6, с.219−222.

31. Шестаков И. П. Супералгебры и контрпримеры // Сиб. матем. ж., 1991, т.32, № 6, с.187−196.

32. Шестаков И. П. Первичные альтернативные супералгебры произвольной характеристики (в печати).

33. Bruck R.H. A survey of binary systems. Berlin: Springer Verlag, 1958.

34. Bryant R.M., Vaughan-Lee M.R. Soluble varieties of Lie algebras // Quart. J. Math., Oxford, 1972, v.23, № 89, p. 107−112.

35. Cohen D.E. On the laws of a metabelian variety // J. Algebra, 1967, v.5, p.267−273.

36. Drensky V.S., Rashkova T.G. Varieties of metabelian Jordan algebras // Serdica, Bulgarical mathematical publicationes, 1989, v. 15, p.293−301.

37. Higman G. Ordering by divisibility in abstract algebras // Proc.1.ndon Math. Soc., 1952, v.2, № 7, p.326−336.

38. Iltiakov A.V. On finite basis of identities of lie algebra representations // Nova Jonrn. Algebra Geometry, 1992, № 3.

39. Medvedev Ju. A., Zel’manov E.I. Solvable Jourdan Algebras // Comm. Algebra, 1985, v. 13, № 6, p. 1389−1414.

40. Specht W. Gezetze in Ringen // Math.Z., 1950, 52, p.557−589.

41. Vaughan-Lee M.R. Some varieties of Lie algebras // D.Phil.thesis, Oxford, 1968.

42. Vaughan-Lee M.R. Varieties of Lie algebras // The Quart. J. Math., 1970, v.21, № 83, p.297−308.Публикации автора по теме диссертации.

43. Многообразие центрально-метабелевых коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3 // Ред. Сиб. мат. журн. Новосибирск. 1998. Деп. в ВИНИТИ. № 3209-В98.

44. Многообразие N3N2 коммутативных альтернативных ниль-алгебр индекса 3 над полем характеристики 3 // Фундаментальная и прикладная математика (в печати).

45. Шпехтовость многообразий коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3 // МПГУ. Москва. 1998. Деп. в ВИНИТИ. № 1952;В98.