Слияние свободных границ в задаче Стефана и задаче Стефана-Гиббса-Томсона

Содержание

Обычно под задачей со свободной границей понимают задачу, в которой требуется дать динамическое описание некоторой среды, которая может находится либо в одной, либо в двух различных фазах (например, лед и вода). Свободной границей, как правило, называют поверхность раздела фаз между областями, занимаемыми различными фазами. В случае же однофазной задачи, понятно, что свободной границей является граница области, занимаемой рассматриваемой средой. Свободная граница перемещается (эволюционирует) со временем и ее позиция априори неизвестна. Такого рода задачи имеют глубокое прикладное значение во многих областях науки, не только в физике [52, 53], но также и в финансовой математике [61].

Первая математическая модель процессов, связанных со свободной границей была предложена Стефаном. В этой задаче требуется решить уравнение теплопроводности для температуры в каждой из областей с различными фазами х = ?>0, (1.1) которое дополнено специальными условиями на свободной границе Г4: -2К, (1.3) а также начальными и граничными условиями (последние на внешней границе области О). В задаче (1.1)—(1.3) мы обозначили П С — область, которую занимает рассматриваемая среда, — подобласти О, разделенные Г (, в±- = 9±-(х^) — температура среды, соответственно, в областях

Qf, к*- = const > 0 — коэффициенты температуропроводности фаз «+» и «—11, v — нормаль (в направлении из фазы 11 — «в фазу «+») к поверхности Г4, V» — нормальная скорость точек свободной границы, и

Условие (1.3) называется условием Стефана.

Задача (1.1)—(1.3), названная классической задачей Стефана, является существенно нелинейной, и интенсивно исследовалась как физиками, так и математиками (см. [53]). В частности, утверждалось, что условие (1.2) слишком грубое, т.к. в реальной среде температура в разных точках свободной границы Гг может быть различной. Кроме того, было установлено, что значения температуры зависят от геометрии поверхности свободной границы.

В связи с вышесказанным, физиками была предложена более адекватная модель, которую назвали модифицированной задачей Стефана или задачей Стефана-Гиббса-Томсона (задача с кинетическим переохлаждением). Усовершенствование заключалось в замене условия (1.2) на так называемое условие Гиббса-Томсона

0±-|Г1 = Я1у" + х2к, (1.4) где К, — средняя кривизна поверхности и н2 — некоторые постоянные, физический смысл которых характеризует влияние поверхностного натяжения.

Однако, понятно, что ни классическая, ни модифицированная задачи Стефана не описывают все множество процессов, связанных со свободной границей: существует ряд физических ситуаций, в которых эволюция свободной границы описывается другими законами (Муллинс-Секерка, (МиШпв-Бекегка), Хеле-Шоу (ЬЫе-БЬауу) и др.). Более того, детальные физические исследования показали, что в действительности не существует четкой границы между фазами, а наблюдается скорее тонкий пограничный слой, в котором вещество находится в промежуточном состоянии. Микроскопическое описание процессов в пограничном слое дает теория фазовых переходов Гинзбурга-Ландау (см., например, [47]). На основе этой теории были разработаны как очень сложные и комплексные математические модели, так и упрощенные уравнения в той или иной степени адекватно описывающие конкретные физические процессы (см., например, [1, 2, 3, 5, 7, 10, 11, 12, 26, 43]).

Возникает вопрос, заключающий в себе как физический, так и математический смысл: нельзя ли усреднить все эти микроскопические модели, т. е., можно ли получить некоторую глобальную макроскопическую задачу, описывающую распределение фаз в среде. Понятно, что решение такой обобщенной задачи позволит определить вид предельных задач, отвечающих множеству частных физических ситуаций. Этому вопросу посвящен широкий круг работ [6, 8, 9, 18, 24, 25, 28, 29, 30, 34, 35, 39, 40, 41, 44, 45, 46, 49, 54, 55, 56, 57].

Главным результатом упомянутых выше исследований является утверждение, что в качестве основной математической модели, дающей микроскопическое описание процессов, происходящих как внутри, так и вне зоны перехода фаз можно использовать систему фазового поля, которая впервые была предложена Г. Каджиналпом (G. Caginalp) [5] x, t) eQ, (1.5) r^ - е2Ли = ^ + С{ч)в. (1.6)

Здесь Q — (0, t*) х Q — ограниченная область с гладкой (С°°) границей, параметры I, т, а, е — безразмерные постоянные, к (х, t) — регуляризация по параметру е начального значения коэффициентов А-±(х, t), в = в (х, t) -регуляризация по параметру е начального распределения температуры и — функция порядка, причем при е 0 и —У ±1 для фаз «±», соответственно, Hi* - некоторый конечный момент времени.

Доказывается, что система фазового поля (1.5), (1.6) при надлежащем выборе параметров ие→0 переходит в соответствующие предельные задачи со свободной границей, см. [6, 8, 9, 49]. В частности, выбор параметров, при котором, а —0, г ~ е2 —> 0, еа-½ —> 0, соответствует классической задаче Стефана (1.1)—(1.3), а выбор, при котором а, т, е 0, те~2 = const, та~1 = const, отвечает задаче Стефана-Гиббса-Томсона (1.1), (1.3), (1.4). За положение свободной границы принимается положение фронта предела (е —" 0) нелинейной волны и в системе (1.5), (1.6). Выбор функций F (u) и G (u) определяется свойствами рассматриваемой среды. В простейшем случае принимают

F (u) = и — u2m+1, m^l, G (u) = *r = const.

Распространение (динамика) свободной границы в задаче Стефана (1.1)—(1.3) и задаче Стефана-Гиббса-Томсона (1.1), (1.3), (1.4) в настоящее время достаточно хорошо изучено в работах В. Г. Данилова, Г. А. Оме-льянова, Е. В. Радкевича [20, 38, 41, 57]. Основная идея построения решения (т.е. определения функций в±- и границы Tt) состоит в том, что решение системы фазового поля (1.5), (1.6) рассматривается в смысле пространства обобщенных функций. Исходя из конкретной физической ситуации, авторами подбирается анзатц слабого асимптотического решения. Далее, доказывается, что при е 0 это слабое асимптотическое решение удовлетворяет соответствующей предельной задаче, подробнее см. Раздел 1.0.3.

В то же время, в большинстве случаев значительный практический интерес представляют задачи не с распространением, а со взаимодействием свободных границ. Именно, пусть существуют две свободные границы Tit и Г2(. Понятно, что в этом случае область fi С R" разделяется свободными границами уже натри подобласти: Предполагается, что свободные границы движутся навстречу друг другу и в момент времени t — t* в точке х = х* происходит их касание. Понятно, что в момент взаимодействия свободных границ происходит смена топологии: вместо двух свободных границ возникает одна Г*, а вместо трех областей с различными фазами существует только две (в одномерном случае остается только область О, занятая только одной из фаз).

В настоящее время, на сколько нам известно, единственным примером аккуратного качественного анализа задачи со слиянием свободных границ в случае задачи Хеле-Шоу является исследование А. Мейрма-нова и Б. Зальтцмана [33]. Напомним, что задача Хеле-Шоу описывает движение свободной границы в однофазной среде. В своем исследовани-ии А. Мейрманов и Б. Зальтцман использовали классические результаты (в частности, принцип максимума) для уравнения теплопроводности. Заметим, что изучаемые нами двухфазные задачи являются на порядок сложнее рассмотренной в [33], и в нашем случае принцип максимума, вообще говоря, не применим, и мы используем другую — конструктивную технику.

Ясно, что, применив известную технику построения слабого асимптотического решения задачи без взаимодействия [20, 38, 41, 57], мы можем построить решение системы фазового поля как до, так и после взаимодействия. В то же время, необходимо «сшить» эти два решения равномерно по времени при t = t*. Используя метод слабых асимптотик (см. Раздел 1.0.3), взаимодействие свободных границ в задаче Стефана-Гиббса-Томсона исследовал Г. А. Омельянов [38]. В соответствии с изложенными выше соображениями Г. А. Омельянов написал равномерную по t асимптотику решения системы фазового поля. В отличие от Г. А. Оме-льянова мы используем иной вид анзатца слабого асимптотического решения системы фазового поля, который позволяет вывести глобальные по времени предельные задачи обобщающие предельные классические задачи на случай взаимодействия свободных границ.

1.0.1 Цель работы.

Наша основная задача заключается в построении формального асимптотического решения для системы фазового поля (1.5), (1.6), которое описывает взаимодействие свободных границ, т. е. мы хотим построить некоторую приближенную (асимптотическую) формулу для решения, и эта формула должна работать на временах? € [0,^], ?1 > ?*, Г — момент взаимодействия свободных границ.

Согласно общим теоремам существования, решение системы (1.5), (1.6) существует. Решение строится с использованием метода слабых асимптотик.

Необходимо отметить, что цена, заплаченная за возможность построения более или менее явных формул для решения, не так мала — мы не проверяем, что асимптотические решения близки к точным решениям. Более того, исходя из известных оценок, такую проверку нельзя осуществить. В то же время, мы сравниваем построенные формулы с результатами численного моделирования (см. [42]).

1.0.2 Основные результаты

При формулировке основных результатов мы приводим только наиболее важные формулы и теоретические факты в общем виде. Более подробное их освещение и обоснование дано ниже в соответствующих главах диссертации (см. также [22]).

В Главе 2, в Разделе 2.4, посвященной исследованию взаимодействия свободных границ в задаче Стефана-Гиббса-Томсона, получены следующие основные результаты.

Во-первых, нами построено слабое асимптотическое решение системы фазового поля, описывающее взаимодействие свободных границ в случае задачи Стефана-Гиббса-Томсона (2.8), (2.10), (2.11). Именно, ан-затц слабого асимптотического решения для функции порядка имеет вид

В формуле (1.7), tpi (t, e) = <�рц(т), ? = 1,2, где функции 0 являются гладкими с сохранением знака производных продолжениями решений классической задачи Стефана-Гиббса-Томсона (2.8), (2.10), (2.11) из области [0,i*] в область [0, ii] (ti> t*), функции <£>л определяются из системы (2.128), (2.129), т =

3 — 1 + Р (т), Pi определена в (2.115), и /Зх — положительная гладкая равномерно ограниченная по г е (—оо, оо) функция. Кроме того, <рц —У О, и pi —> 0 при т —У оо. Функция ш0 определена в (2.13), (2.14).

Слабое асимптотическое решение для температуры в строится по формуле

6 = 9 + [Л (г)0Г (М) + ва{х, т)]фo (t), (1−9) где ip0 = ср2о — А (г) — произвольная гладкая монотонная функция такая, что Л (оо) = О, Л (—оо) = 1, Л'(г) е SiK.1), функции вf, ва определяются соответственно из (2.91) и (2.92). Мы предполагаем, что tOs (x, t) ^ const. Для определения функции в при г —V оо имеем уравнение теплопроводности (2.84) с дополнительным условием (2.85).

Точный математический результат, содержащий условия, при которых анзатц (1.7), (1.9) удовлетворяет предельной классической задаче Стефана-Гиббса-Томсона, сформулирован в следующей теореме.

Теорема 1. В случае задачи Стефана-Гиббса-Томсона (2.8), (2.10), (2.11), если

1. существует классическое решение задачи Стефана-Гиббса-Томсона (2.8), (2.10), (2.11) nput t.o (

2. выполнено уравнение (обобщенное условие Стефана) т .>)

1 — Л (т)) (-l)W (p) +<7(р)=0, (1.10)

X=

2.104)),

3. выполнено уравнение (обобщеное условие Гиббса-Томсона) х — Vit + ФоЧт) (0Г|Ж="2 «fiP)+ (1-П)

V20t — ч>ш)р{р) + (

2.105), (2.106)),

4- выполнено соотношение f32C (p)-D (p)= О, (1.12) где С (р), D (p) — гладкие равномерно ограниченные функции, причем С{оо) — D (oo) = 1, ?>(—оо)/С (—оо) = const (см. формулы (2.101), (2.102)), то функции й, в, определенные в (1.7), (1.9), являютяся слабым асимптотическим решением системы фазового поля (2.2), (2.3).

Замечание. Уравнения (1.10) и (1.11) при г —> оо переходят в условия Стефана и Гиббса-Томсона соответственно. В диссертации доказано, что уравнение (1.10) есть уравнение для определения функции р (т) (см. формулу (2.123)) и доказана его разрешимость. Равенство (1.11) вместе с (1.10) есть система уравнений для определения функций <�рц (т), г = 1,2, см. формулы (2.128), (2.129).

Во-вторых, в ходе доказательства Теоремы 1 устанавливается, что в момент контакта свободных границ их скорости (pit удовлетворяют следующему уравнению

Vlt = ~?>2t, t — t*, (1.13) а после взаимодействия выполнены пределы fit^-0, т-оо, г = 1,2. (1.14)

В-третьих, что является наиболее важным, получена предельная задача являющаяся обобщением классической задачи Стефана-Гиббса-Томсона (2.8), (2.10), (2.11) на случай взаимодействия свободных границ: дО В"2 в dt~dx≥ [2ip2tS{x ~ ~2(ри5{х ~^WP — ^ (1Л5) M-iy

Рассмотрим слияние свободных границ в случае задачи Стефана (одномерный случай). Подробности построения и точное описание задачи см. в Главе 2, Раздел 2.5.

Во-первых, в случае задачи Стефана (2.8)-(2.10) слабое асимптотическое решение для функции порядка строится по формуле (1.7), где функции (fii, i = 1,2 ищутся в виде (2.133).

Слабое асимптотическое решение для температуры имеет вид

6 = ёо + еа01(х1 $, ёо = 0 + [А (т№{х, г) + ва (х, т)]г1-о (*), (1Л6) где функции Л (т), 93 определяются так же, как и в (1.9), 01(х,£) е С2'1. Для определения имеем задачу (2.143). На функцию в имеем задачу (2.84), (2.134).

Точный математический результат, содержащий условия, при которых анзатц (1.7), (1.9) удовлетворяет задаче Стефана, содержится в следующей теореме.

Теорема 2. В случав задачи Стефана (2.8)-(2.10), если

1. существует классическое решение задачи Стефана (2.8)-(2.10) при? < (до взаимодействия), и существуют ® = 1,2,

2. выполнено уравнение (1.10),

3. выполнено соотношение (1.12), то функции и, 0 определенные в (1.7), (1.16) (все функции, входящие в (1.16), определены для случая задачи Стефана, см. Раздел 2.5) являются слабым асимптотическим решением системы фазового поля (2.2), (2.3).

Во-вторых, доказывается, что справедливо соотношение между скоростями свободных границ (1.14).

В-третьих, имеем предельную задачу, которая является обобщением классической задачи Стефана (1.1)—(1.3) на случай взаимодействия свободных границ: х — 4>г) — 2 ц>и5(х — <�Рх)]Н{е — *), (1.17) О, < = 1,2

1.0.3 Метод слабых асимптотик.

Для того, чтобы проанализировать рассматриваемые в диссертационной работе задачи со свободными границами в случае взаимодействия, необходимо выбрать подходящий метод построения решения.

Под нелинейными волнами мы подразумеваем решения нелинейных дифференциальных уравнений, которые имеют локализованное «быстрое» изменение. Наиболее типичными примерами таких волн являются решения уравнений с малой дисперсией е <С 1 и сглаженные ударные волны в уравнениях с малой вязкостью. Применяемый в данной работе метод основывается на процедуре, при которой нелинейная волна является заданной функцией от времени со значениями в пространстве обобщенных функций 2?'(К£).

Обычно, под тем фактом, что функция является асимптотическим (приближенным) решением дифференциального уравнения, подразумевается, что эта функция удовлетворяет уравнению с малой невязкой. Говорят, что невязка мала, если в некоторой норме она допускает оценку 0(еа), где, а > 0 и малый параметр е —> 0. Очень часто используется норма в пространстве Ск. В рамках применяемого нами метода мы используем норму в пространстве С°°. Малый параметр е содержится в решении или в уравнении. Асимптотическое решение ищется в виде специального анзатца, вид которого зависит от используемого метода.

Рассмотрим существующие в настоящее время основные асимптотические методы, использующиеся для решения нелинейных уравнений.

На рубеже 19 и 20 столетий в физической литературе появилось упоминание о хорошо сейчас известном методе ¥-КВ. В то время математики уделяли этому методу особое внимание, и он стал исходной точкой глубоких математических теорий, связанных с линейными уравнениями (теория разрешимости линейных гиперболических уравнений, канонический оператор Маслова и его различные версии, интегральный оператор Фурье, геометрическое квантование и более общие объекты симплекти-ческой геометрии, связанные с геометрическим квантованием и др.). Согласно методу ¥-КВ анзатц асимптотического решения записывается в виде где 5(х, ?) и (гладкие функции.

Обобщением метода УКВ для решения нелинейных уравнений в частных производных стал метод Уизема (¥-ЫЛат) [48]. Согласно этому методу асимптотическое решение ищется в виде где функция д является гладкой по всем своим переменным и периодической пот = Б/е. Заметим, что в случае линейных уравнений метод Уизема сводится к методу УКВ, а функция д определяется из линейного уравнения. В общем случае, функция до (т, х, {) = д (т, х, 0) удовлетворяет нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению по переменной т. Такое уравнение называется стандартным или модельным.

У модельного уравнения может быть либо периодическое либо стабилизирующееся на бесконечности решение. Последнее означает, что решение удовлетворяет следующему условию f^Kour]-«), |г| → оо, Vc"l, где N достаточно большое положительное число, а оценка О локально равномерная по х и t.

Такое стабилизирующееся решение отвечает нелинейной волне с локализованным быстрым изменением. Примерами таких волн являются решения уравнений с малой дисперсией, ударные волны, кинки, волны концентрации и др. Эти объекты представляют собой элементарные структуры нелинейного мира, который описывается с помощью процессов распространения и взаимодействия указанных нелинейных объектов, а также с помощью более сложных структур, возникающих при их взаимодействии.

В 70−80 гг. прошлого века В. П. Маслов со своими коллегами усовершенствовал метод Уизема [16, 31]. Это позволило описывать распространение нелинейных волн в несколько более общих ситуациях.

Примерно в те же годы разрабатывался новый мощный метод для построения точных решений «интегрируемых» уравнений в частных производных, описывающих взаимодействие одиночных нелинейных волн. Этот метод назвали методом обратного преобразования рассеяния (метод обратной задачи рассеяния), появление которого было воспринято как величайшее событие в математической физики 20 века.

Однако, благодаря усилиям многих знаменитых математиков, в последние несколько десятилетий почти все «интегрируемые» задачи были решены. Тем не менее, понятно, что множество математических моделей тех или иных физических явлений, в которых необходимо проанализировать взаимодействие нелинейных волн, далеко не исчерпывается только «интегрируемыми» случаями.

В случае рассматриваемой в диссертационной работе задачи Стефана и задачи Стефана-Гиббса-Томсона используется новый подход для построения асимптотических решений, описывающих распространение и взаимодействие нелинейных волн. Этот подход был назван методом слабых асимптотик и тесно связан с идеями, предложенными Ж. Ф. Коломбо (J.F. Colombeau) и другими учеными, которые занимались построением различных алгебр обобщенных функций. Метод, как таковой, был впервые введен в работах В. Г. Данилова и В. М. Шелковича под воздействием работ Ж. Ф. Коломбо и М. Обергуггенбергера (М. Ober-guggenberger) с соавторами и благодаря идеям, высказанным в работах

Ж.А. Марти (J.A. Marti), B.B. Жаринова С. Пилиповича (S. Pilipovic).

В методе слабых асимптотик приближенные решения ищутся в таком же виде, как и в методе Уизема, модифицированном для решения задач с нелинейными волнами с локализованным быстрым изменением ([16, 31]), но с невязкой малой в смысле пространства функционалов V’x над пробными функциями, зависящими только от пространственной переменной х. В частности, такое довольно тривиальное усовершенствование позволяет свести задачу описания взаимодействия нелинейных волн к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений (вместо решения уравнений в частных производных).

Понятно, что в рамках метода слабых асимптотик результат подстановки асимптотического решения в уравнение трактуется в смысле Т>'х. В действительности это означает, что исследуются обобщенные решения нелинейных уравнений. Одним из первых примеров такого исследования был метод, который предложил В. П. Маслов [50] для получения условия Ранкина-Гюгонио (Rankine-Hugoniot) для ударных волн. Рассмотрим основные моменты этого метода на примере уравнения Хопфа (Hopf) du ^ д (иf = 0 dt дх

Ударная волна определяется как решение указанного уравнения и имеет вид и = щ + щН (х — Vt), где H (z) функция Хевисайда. Для простоты положим, что и0 и щ постоянные. Подставив это выражение в уравнение Хопфа, получим

-Vu + (2и0щ + «?)] 6(х — Vt) = 0.

Для того чтобы удовлетворить этому уравнению, необходимо и достаточно приравнять выражение в квадратных скобках к нулю. Отсюда получаем 2щщ + и v?] щ [и] ' где [и] скачок функции и на прямой х = Vt.

Заметим, что рассмотренный подход основывается на соотношении и0 + щН)2 = а + ЬН, (1.18) где, а = uq и 6 = u + 2uqxl. Более того, подобное соотношение выполнено для любой непрерывной функции f (z) uq + щН) = А + ВН, (1.19) где, А = /(«о) и В = f (uo + ui) — /(щ)¦ Таким образом, множество линейных комбинаций вида и0 + щН замкнуто относительно нелинейных функциональных операций. Другими словами, пара (1- Н) порождает подалгебру обобщенных функций над кольцом гладких функций. Этот факт был основой гипотезы В.П. Ма-слова о том, что гладкие самоподобные решения нелинейных уравнений соответствуют подалгебрам с конечным числом образующих. Более того, В. П. Маслов утверждал, что существует только три такие алгебры [51].

Наиболее знаменитая конструкция, которая позволила расширить пространство обобщенных функций до алгебры, является построение, предложенное Коломбо в [14]. Здесь мы не будем описывать эту конструкцию, которую можно найти в широко известных работах [4, 14, 36]. Заметим только, что элементы алгебры Коломбо являются классами эквивалентности гладких функций fe{x), производные которых 9а/е/9а-а возрастают не быстрее степени e~N (a

Трудности в использовании алгебры Коломбо для построения решений дифференциальных уравнений связаны с тем, что отношение эквивалентности fe (x) ~ fHx) означает выполнение соотношения f}(x)-f?(x) = 0(eN) ViV.

Рассмотрим более подробно. Если мы выбрали указанное условие эквивалентности, то регуляризация обобщенных функций может быть построена с помощью свертки

1 х fe (x) = -Uc (-)*f (x) со специальной функцией-сглаживателем (mollyfier), имеющей нулевые моменты

J zkuc (z)dz = О Vfc.

Это условие означает, что регуляризация f? обобщенной функции, построенная с использованием такой сглаживающей функции, «почти» совпадает с исходной функцией /: fE (x) = f (x) + o (eN) WN> 0.

Это же верно и для обобщенных функций с точностью С (е^) в слабом смысле.

Итак, в стандартном варианте теории обобщенных функций Коломбо нет величины, определяющей степень малости параметра е аналогичной той, которая используется в теории асимптотических методов.

Более того, с точки зрения дифференциальных уравнений, уравнение само «выбирает» регуляризацию обобщенных функций, содержащихся в его решении (регуляризация относительно малой вязкости, малой дисперсии и др.), что не согласуется с подходом Коломбо. Полученная при решении дифференциальных уравнений регуляризация не удовлетворяет условию нулевых моментов.

Для того, чтобы сделать подход Коломбо более близким к асимптотическим методам и получить конструктивные формулы, было предложено алгебраическое расширение линейной оболочки однородных и присоединенных однородных функций [17, 23]. Например, гармоническая регуляризация дельта функции Дирака (5-функции) была проведена с помощью сглаживающей функции с ненулевыми моментами. Было установлено взаимно-однозначное соответствие между алгеброй порожденной гармонической регуляризацией элементов указанной линейной оболочки и асимптотической серией типа Лорана-Хартога (Laurent-Hartog), называемой асимптотическим распределением [17, 23]

Здесь /у — однородная или присоединенная однородная функция, {с^} -ограниченная снизу монотонно возрастающая последовательность действительных чисел, и {/%} - конечное множество действительных чисел при каждом фиксированном г.

Произведение двух асимптотических распределений определяется как асимптотическое распределение, ассоциированное с произведением соответствующих элементов в алгебре гармонических регуляризаций. Оно также позволяет ввести асимптотические подалгебры в алгебре регуляризаций по модулю 0(еа) в слабом смысле при подходящем выборе си. Такие построения могут быть легко обобщены на случай произвольной гладкой регуляризации (более общий, чем случай гармонической регуляризации).

Понятие «малости в слабом смысле» упомянутое выше, одно из самых важных в методе слабых асимптотик. Будем говорить, что обобщенная функция /(х, е) имеет порядок От>'(еа), если для любой пробной функции £(х) выполнено соотношение е), ф)) = 0(е°).

В качестве примера рассмотрим множество Ц регуляризаций Н (х, е) функций Хевисайда Н (х). Здесь Н (х, е) — ш (х/е), о-(+оо) = 1, си (—со) = О, и uj'(z) € S (Rгде пространство Шварца (Schwartz). Понятно, что выполнено соотношение

Н (х, е) = Н (х) + 0&-(е).

Поскольку функция [Н (х, е)]т также принадлежит множеству % при любом т, то имеем

H (x, e)]m = H{x) + Ov>(?).

Отсюда получаем, что в общем случае для любой непрерывной функции g (z) выполнено равенство д{аг + &i#(x, e)) = а2 + Ъ2Н (х) + Ov,(e), т. е. мы, используя регуляризацию, выписали формулы, аналогичные (1.18)-(1.19) и проверили, что элементы % порождают асимптотическую подалгебру (modOp/(e)) с образующими (1 Н{х)).

Более точно эти подалгебры порождаются произвольной гладкой регуляризацией, которая используется в методе слабых асимптотик. Именно, асимптотика строится в виде линейной комбинации регуляризован-ных образующих некоторой подалгебры.

Тот факт, что множество всех линейных комбинаций замкнуто с точностью до Ор' (еа) относительно нелинейных отображений, приводит к конечной системе уравнений на коэффициенты исходной линейной комбинации точно так же, как в приведенном выше примере для ударной волны.

В рассматриваемом здесь подходе существует только один момент, которому необходимо уделить особое внимание. Это выбор определения слабого решения, допускающего переход к «правильной» предельной задаче.

Эта проблема является хорошо известным камнем преткновения в теории нелинейных дифференциальных уравнений. Частные случаи, такие как предел при нулевой вязкости и предел при нулевой дисперсии, были изучены в известных работах [15, 27].

Заметим, что наше понимание величины Ovi (ea) в правой части уравнения может трактоваться как в смысле малой вязкости, так и в смысле малой дисперсии. Однако, при этом решения, соответствующие этим двум физическим трактовкам регуляризации, достаточно различные. Поэтому в наших построениях очень важно корректно сформулировать определение слабого решения допускающего переход к предельной задаче при е 0.

Напомним, что стандартный способ построения слабого решения состоит в умножении исходного уравнения на пробную функцию и затем интегрировании несколько раз по частям. Однако, в рамках рассматриваемого подхода, определения слабого решения вплоть до членов порядка Ot>'{s) в правой части уравнения Бюргерса (Burgers) с малой вязкостью ди д (и)2 сРи dt дх дх2' уравнения Кортевега-де Фриза (Korteweg-de Vries) с малой дисперсией и уравнения Хопфа du д (и)2 ^^д3и д dt дх дх3 ' du [ д (и)2 = Q dt дх оказываются эквивалентными, что, конечно, не так. Точнее, последнее верно только для уравнений Хопфа и Бюргерса, в то время как уравнению Кортевега-де Фриза соответствует более сложная структура.

По-видимому, на эту ситуацию впервые было обращено внимание в работах [18, 19], где исследовался переход к предельной задаче (от системы фазового поля к задаче Стефана-Гиббса-Томсона). В диссертационной работе приводится определение слабого решения нелинейной системы фазового поля (см. Определение 1), которое немного отличается от полученного согласно стандартному подходу. Как показано в [18, 19], это определение позволяет корректно перейти к соответствующей предельной задаче. Заметим, что проанализированная в [18, 19] конструкция близка к методу слабых асимптотик, применяемому в настоящей работе.

Грубо говоря, логика метода состоит в следующем. Мы рассматриваем совместно две задачи: предельную задачу (без е) и регуляризованную задачу (содержащую е). Возникает вопрос: какое слабое решение регу-ляризованной задачи соответствует предельной задаче? Слово «соответствует» означает, что слабый предел слабого решения должен удовлетворять предельной задаче1.

1 В частности, сингулярный носитель слабого решения должен совпадать с позицией фронта предельной волны.

Итак, каким же образом можно получить определение слабого решения, которое автоматически будет удовлетворять указанным условиям соответствия?

Давайте посмотрим на нелинейную одиночную волну в регуляризо-ванной задаче (кинк, солитон, волну концентрации и др.), построенной упомянутым выше методом [16, 31]. Главный член разложения в случае всех этих волн при е —0 определяется решением известного стандартного (модельного) уравнения. Само это уравнение не содержит е. Его решения обычно интерпретируются как образ последовательности функций, аппроксимирующих 5-функцию или образ последовательности функций, аппроксимирующих функцию Хевисайда и т. д. Можно сказать, что модельное уравнение порождает гладкую структуру, которая содержит особую информацию, не зависящую от е, о зависимости от е решения обобщенной задачи.

Но на изучении модельного уравнения исследование не заканчивается. В порядке построения е-асимптотики для регуляризованной задачи необходимо также рассмотреть первую вариацию этого уравнения с точностью выше, чем 0{е).

Вариационное уравнение не зависит от е (как и само модельное уравнение), и, как правило, его разрешимость гарантируется условием ортогональности с нулевым ядром сопряженной задачи.

Это условие ортогональности, фактически, определяет позицию фронта нелинейной волны. Очевидно, это условие, в некотором роде, должно играть существенную роль в построении «правильного» определения слабого асимптотического решения. Поэтому мы даем определение слабого решения допускающего предельный переход таким образом, что в слабом смысле это определение становится условием разрешимости для линеаризованной задачи.

Число условий ортогональности равно размерности ядра сопряженного линеаризованного оператора. Следовательно, определение слабого решения для единичного скалярного уравнения может содержать только одно интегральное тождество (если размерность ядра равна 1) или два интегральных тождества (как в случае уравнения Кс1У).

Главным преимуществом метода слабых асимптотик является возможность аналитически описывать не только распространение нелинейных волн, но и их взаимодействие без использования точных интегральных методов (таких как метод обратного преобразования рассеивания, методы теории групп и др.).

Этот подход стал возможным благодаря особым свойствам асимптотических подалгебр обобщенных функций, элементы которых используются при построении слабых асимптотических решений. Описание асимптотическх подалгебр, на которых основывается построение слабых асимптотических решений в данной работе, дано в [20]. Здесь мы приводим простой пример, на котором основывается техническая база аналитического описания взаимодействия (слияния) ударных волн.

Рассмотрим множество % регуляризаций функции Хевисайда, введенное выше. Возьмем два элемента Н^х, е) € г = 1,2, и рассмотрим произведение

Н1{х, е) Н2(х-ф, е), (1.20) где ф параметр. В нашем примере элементы % сходятся к Н{х) не только в слабом смысле, но и поточечно. Следовательно, при е —> 0 имеем

Н1(х, е) Н2(х — ф, г) Н (х)Н (х — ф) в смысле поточечной сходимости. Что можно утверждать по поводу произведения в правой части? Например, очевидно, что если ф > 0, то

Нх{х, е) Н2{х — ф, е) — Н (х — ф), и если ф < 0, то

Н1(х,?)Н2(х-ф, е) = Н (х).

Однако, не существует формулы для произведения Н (х)Н (х — ф) такой, что соответствующая функция гладко зависит от ф в смысле обобщенных функций.

Если мы допустим негладкую зависимость от ф, то такая формула может быть легко выписана, например, в следующем виде

Н (х)Н (х -ф) = Н{х — ф) Н{ф) + Н (х){ 1 — Н{ф)). (1.21)

Аппроксимируя функции Хевисайда Н (ф) в правой части элементами из множества 71, мы получим непрерывную по ф функцию в правой части. Однако, требуется еще проверить мала ли разность между полученной регуляризацией и исходным произведением в смысле оценки Ох>>-Например, слабая асимптотика произведения (1.20) имеет вид

Н^е^^х-ф.е) = Н{х-ф)В{ф/е)+Н (х){1-В{ф/е)) + Оъ1{е), (1.22)

В{ф/е) = 1- [ оо[(г)и}'2(г~ф/е)йг, и функции соответствуют элементам Н, Е Л, т. е., Нг{х, е) — и>г (ф/е), г = 1,2. Формула (1.22) имеет следствием аналог соотношения (1.18) в о + щН{х — фие) + и2Н2{х — ф2, е))2 = (1.23) а + ЬН2х — фг) + сН (х — ф2) + 0&-{е), а = ul, Ъ = и + 2и0щ + В ((фг — ф2)/е) щи2, с = ul + 2и0и2 + (1 + В ((Ф1 — ф2)/е)) ихи2, щ = const,? = 0,1,2.

Формула (1.23) позволяет почти буквально повторить упомянутую выше конструкцию Маслова, но для решения уравнения Хопфа, состоящего из двух волн, и таким образом решить задачу о взаимодействии ударных волн.

На самом деле, формула (1.23) определяет (в частном случае квадратичной нелинейности) нелинейный закон суперпозиции. В этом случае вклад нелинейности содержится только в коэффициентах слабой асимптотики. Вот почему мы можем «отделить» особенности и найти уравнения для функций, определяющих решения как в случае единственной особенности, так и в случае множества особенностей.

Нелинейный закон суперпозиции в случае общей нелинейности или в случае иных особенностей позволяет решать задачи взаимодействия нелинейных волн в несколько более общих ситуациях.

Объяснить, в чем состоит существенность высказанного выше замечания о том, что время принято за параметр обобщенных функций. В самом деле, если мы рассмотрим асимптотику произведения

Hi (x, e) H2(x — ф, е) в V t (т.е., в пространстве обобщенных функций, зависящих не только от координат, но и от временной переменной), то мы должны вместо (1.22) рассмотреть правую часть выражения (1.21) — но выражение (1.21) разрывно по ф и, следовательно, по t, как уже было сказано выше.

Выводы: Рассмотренные выше асимптотические методы успешно применялись для решения задач без взаимодействия. В то же время, из-за тех или иных ограничений они не могут быть использованы для анализа рассматриваемых нами существенно нелинейных задач, описывающих взаимодействие свободных границ. Применяемый в данной работе метод слабых асимптотик является логическим развитием идей В. П. Маслова [16, 31] и Ж. Ф. Коломбо [14]. Существенным преимуществом метода слабых асимптотик перед остальными методами построения асимптотических решений является возможность его использования для описания процессов взаимодействия нелинейных волн (в нашем случае кинков).

Глава

Описание слияния свободных границ

В этой главе, используя метод слабых асимптотик, исследуется слияние свободных границ в одномерном случае.

Глава состоит из нескольких разделов, в которых рассматриваются задача Стефана и задача Стефана-Гиббса-Томсона для различных случаев выбора температуры. Мы начинаем с рассмотрения наиболее простого — симметричного (относительно замены координат х —" —х) случая, (см. Раздел 2.2 и Раздел 2.3), и на основе полученных формул строим слабое асимптотическое решение для системы фазового поля в случае общего выбора температуры (см. Раздел 2.4 и Раздел 2.5). Соответствующие построения содержатся в [22].

Мы постоянно сравниваем наши теоретические результаты с данными численного моделирования, см. Главу 3. В частности, нам удается качественно объяснить различия во взаимодействии свободных границ между случаем аппроксимации задачи Стефана и случаем аппроксимации задачи Стефана-Гиббса-Томсона, выявленные в процессе численного исследования, см. [42].

2.1 Постановка задачи

Рассмотрим одномерную среду и предположим, что эта среда занимает интервал = [/ьЬ]- Пусть существуют две свободные границы

Гм = {х- х = &(*)} Г2," = {х] х = &(*)}, (2.1) где хбЕ1. Таким образом, интервал разделяется на три подинтервала = ПГ = (&-(*)>и = [&(*), У. где ^1,2(*) некоторые искомые функции. Обозначим = и При этом область соответствует фазе «+», а область — фазе «—