Метаоптика одномерных фотонных и магнитофотонных кристаллов

5.2.2 Объемный эффект Фарадея в однородной пластинке. Резонансное усиление как поверхностный эффект.119.

5.2.3 Модификация метода Эйри для многослойной резонансной структуры.125.

5.2.4 Оценка усиления эффекта Фарадея резонансом.129.

5.2.5 Механизм усиления эффекта Фарадея.132.

5.2.6 Идеальный эффект Фарадея.136.

5.2.7 Усиление магнитооптических эффектов Керра и Фарадея на таммовском состоянии .138.

5.2.8 Экспериментальная проверка наличия таммовских состояний и усиления МО эффектов.141.

5.3 Усиление магнитооптического эффекта Фарадея поверхностным плазмоном.145.

5.3.1 Схема с поверхностным плазмоном.146.

5.3.2 Схема с поверхностным плазмоном и дополнительным резонатором.154.

5.3.3 Схема с МО-эффектом, пропорциональным добротности.155.

5.3.4 Выводы и обсуждение.161.

Глава 6. Анализ формул смешения в применении к метаматериалам.162.

6.1 Газовое приближение и теория Гарнетта.162.

6.2 Теория Бруггемана (эффективной среды).166.

6.3 Симметризованная формула Гарнетта.170.

Заключение

172.

Приложение.173.

Список литературы

.176.

Актуальность темы

.

Работа посвящена актуальным задачам электродинамики неоднородных сред. Рассмотрена электродинамика сложных систем, когда взаимодействие электромагнитного поля с элементами, образующими эти среды (включениями в матрице, ячейками фотонного кристалла, молекулами и т. д.) носит непотенциальный характер и не может быть описано, как это традиционно делалось, в рамках только квазистатического приближения. Новые эффекты, обусловленные запаздыванием и соленоидальностью полей (киральность, искусственный магнетизм, запрещенные зоны и т. д.), приводят к существенному отличию макроскопических свойств таких сред от свойств традиционных материалов, что и дало основание выделить такие системы в отдельный класс — класс метамате-риалов. Обычно такой композитный материал представляет собой матрицу из вещества с диэлектрической проницаемостью б порядка единицы, в которой находятся включения, имеющие резонансный отклик.

Использование металлов или сред с большой диэлектрической проницаемостью как материала для включений позволяет получить включение-резонатор размером много меньше длины волны. В этом случае дипольный отклик резонансного включения приводит к экстремальным значениям эффективной диэлектрической проницаемости seJf, а возбуждение включения-резонатора в магнито-дипольной моде приводит к отличной от единицы (возможно и к отрицательной) эффективной магнитной проницаемости fieff, даже если были использованы только немагнитные материалы [1−5].

Согласно предложенной классификации, к метаматериалам можно отнести также фотонные кристаллы (ФК), т. е. среды с периодической пространственной зависимостью диэлектрической проницаемости. Их период имеет порядок длины волны, и, таким образом, их описание как однородной среды с эффективными параметрами невозможно. Роль упомянутого выше резонанса в этом случае играет брэгговское отражение, которое приводит к возникновению запрещенных зон для распространения электромагнитных волн. Формирование запрещенной зоны лежит в основе разнообразных применений фотонных кристаллов [6−8].

В узком смысле под метаматериалами понимают среды с отрицательными значениями эффективных б и /л. Применение таких сред теоретически позволяет повысить разрешающую способность оптических приборов, преодолев дифракционный предел. Используя материалы с е < 0 (и, по возможности, fj. < 0), можно за счет плазмонного резонанса усилить ближние (неоднородные) волны, ответственные за перенос информации о деталях с размером много меньше длины волны. Идеальной для этой цели является среда Веселаго, имеющая s = jn = —. Среды с одновременно отрицательными б и /л [9] обладают интересными с точки зрения теории и полезными для практики свойствами (распространение обратных электромагнитных волн, отрицательное преломление, создание действительного изображения плоской пластинкой). Однако только в конце 90-ых годов с помощью метаматериалов была смоделирована среда Веселаго [10−12]. Также были получены киральные среды [13], среды с большим квадрупольным откликом, среды с сильной пространственной дисперсией [14], с помощью которых пытаются создать приборы с разрешением выше дифракционного предела [15].

Цели работы.

1. Исследование зонной структуры одномерных фотонных кристаллов, содержащих метаматериалы (слои с отрицательной диэлектрической или магнитной проницаемостью).

2. Определение физических пределов разрешения многослойной металинзы, состоящей из слоев с положительной и отрицательной диэлектрической проницаемостью.

3. Объяснение эксперимента по аномальному нерезонансному прохождению ИК излучения через неупорядоченную систему отверстий в металлической пленке.

4. Объяснение эксперимента по достижению сверхразрешения в СВЧ диапазоне при помощи проволочной линзы, имитирующей сверхлинзу Пендри.

5. Исследование возможности усиления магнитооптических эффектов устройствами на основе метаматериалов и фотонных кристаллов.

6. Разработка алгоритмов, дающих физически правильный ответ при использовании теорий Гарнетта, Бруггемана и симметризованного подхода Гарнет-та для расчета эффективных параметров композитных материалов, включающих ингредиенты с диэлектрическими проницаемостями разных знаков.

Научная новизна.

1. Предложен и изучен новый тип одномерных фотонных кристаллов с отрицательной контрастностью диэлектрической проницаемости, в которых зоны прозрачности возникают как результат резонансного возбуждения поверхностных плазмонов.

2. Впервые показано, что возникающий в металинзе поток энергии, возникающий из-за потерь или при детектировании изображения, снижает качество изображения, создаваемого линзой Пендри.

3. Исследованы свойства поверхностных (таммовских) состояний на границе двух фотонных кристаллов и предсказано усиление магнитооптических эффектов в системах, содержащих такие состояния. На основании разработанной теории в Технологическом университете Тояхаши (Япония) был поставлен эксперимент, в котором было продемонстрировано существование там-мовского состояния и возможность усиления магнитооптики при помощи этого состояния. Показана роль эффекта Боррмана в усилении эффекта Фа-радея.

4. Предложен механизм (фильтрация ближних и дальних волн), объясняющий эксперимент по улучшению разрешения металинзы на основе проволок.

ИТПЭ РАН, Г. А. Федоров и др.) и эксперимент по нерезонансному аномальному прохождению света через металлическую пленку с неупорядоченной системой субволновых отверстий (ИТПЭ РАН, И. В. Быков и др.).

5. Развито описание металинз с помощью зонной теории фотонных кристаллов, что позволило выявить физический смысл ограничений разрешающей способности этих устройств.

6. Показано, что известные схемы усиления магнитооптических эффектов плазмонным резонансом неэффективны из-за слабого взаимодействия плаз-мона с падающей волной. Предложена модификация, не имеющая этого недостатка.

7. Предложен алгоритм расчета эффективных параметров композитов, содержащих метаматериалы. Указан способ выбора ветви квадратного корня, при котором формула Бруггемана и симметризованная формула Гарнетта всегда дают физически осмысленный ответ.

Достоверность результатов.

Результаты расчетов подтверждены в экспериментах, обнаруживших сверхразрешение в проволочной металинзе, аномальное прохождение света через систему субволновых отверстий, таммовское состояние на границе двух фотонных кристаллов и усиление магнитооптического эффекта Фарадея этим состоянием.

Научная и практическая ценность.

Результаты исследования возможности усиления магнитооптических эффектов могут быть использованы для уменьшения размера магнитооптических устройств и для перехода к использованию существенно более дешевых компонент, что имеет большое практическое значение.

Исследование одномерных фотонных кристаллов отрицательной контрастности имеет фундаментальное значение. Для таких кристаллов предсказан новый тип блоховских волн — блоховских волн ближнего поля, представляющих собой систему поверхностных плазмонов. Показано, что данные волны играют ключевую роль в работе многослойных металинз, предложенных Дж. Пендри [16], а также А. Алю и Н. Энгетой [17]. Показано, что в последних имеются запрещенные зоны нулевой ширины (точки Дирака), которые обеспечивают безотражательное прохождение света через линзу Энгеты. Показано, что блоховская волна в фотонном кристалле может переносить энергию, имея нулевое волновое число.

Так как рассматриваемые в работе металинзы предполагается использовать для улучшения разрешения в фотолитографии, то в работе было проведено исследование устойчивости этих линз к наличию диссипации и случайному отклонению параметров (диэлектрической проницаемости, толщины слоев), которое всегда имеет место при практической реализации.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. По фотонному кристаллу могут распространяться волны неизвестного ранее типа. В пределе сильной связи такая волна представляется как комбинация поверхностных плазмонов.

2. За счет фильтрации, а именно, отражения распространяющихся волн и пропускания Ш-поляризованных неоднородных волн, линза Пендри и ее реализация в виде проволочной среды увеличивают разрешение для ТЕ-поляризованных волн. Ранее предполагалось, что линза Пендри может работать только с ГМ-поляризованными волнами, а повышение разрешения происходит за счет усиления неоднородных ТМ-волн. Необходимо отметить, что в рассмотренной проволочной линзе последний механизм вообще не реализуется.

3. Этот же механизм фильтрации волн приводит к аномальному прохождению света через неупорядоченную систему субволновых отверстий в металлической пленке.

4. Наличие процесса измерения приводит к частичному разрушению изображения в линзе Пендри, причем механизм ухудшения разрешения такой же, как при наличии диссипации внутри линзы. А именно, возникает расфази-ровка плоских волн пространственного спектра.

5. Диапазон пространственных частот, воспроизводимый многослойной линзой Пендри, ограничивается резонансами. Эти резонансы соответствуют собственным состояниям, для которых линза является резонатором.

6. Выявлен механизм усиления магнитооптических эффектов в многослойных системах. В общем случае усиление эффекта Фарадея связано с резонансной прозрачностью таких систем. При этом угол фарадеевского вращения имеет масштаб разности фаз по разные стороны от резонанса, т. е. к. Ранее выдвигались различные гипотезы о механизме усиления: относительное увеличение поля за счет локализации в магнитооптических слоях [20], многократное прохождение резонатора волной [21], уменьшение групповой скорости и, как следствие, увеличение времени взаимодействия волны и вещества [22]. Данные механизмы не являются достаточными для усиления магнитооптики, хотя они могут вносить вклад в усиление. В частности, наличие любого из указанных явлений не обеспечивает усиление.

7. Теоретически предсказан оптический аналог эффекта Бормана — усиление эффекта Фарадея вблизи одного края запрещенной зоны и ослабление вблизи другого края, что связано с отличием в распределении энергии. На основании наших расчетов этот результат подтвержден экспериментально коллегами из Технологического университета Тойохаши (Япония).

8. Предложен алгоритм, который обеспечивает правильный выбор ветвей квадратного корня, входящего в формулы смешения для расчета свойств композитных материалов, в случае, когда включения могут иметь отрицательную диэлектрическую проницаемость. Отмечено, что в случае метама-териалов различные формулы смешения дают качественно отличающиеся результаты.

Апробация результатов.

Результаты докладывались на следующих международных и российских конференциях:

1. XLVII Научная конференция МФТИ, 26 — 27 ноября 2004, Москва.

2. Workshop on Metamaterials for Microwave and Optical Technologies, July 18 — 20, 2005, San Sebastian, Spain.

3. ICMAT 2005, 3−8 July 2005, Singapore.

4. XLVIII Научная конференция МФТИ, 27 — 29 ноября 2005, Москва.

5. Седьмая ежегодная научная конференция ИТПЭ ОИВТ РАН, 17−20 апреля 2006, Москва.

6. Международная конференция Days of Diffraction 2006, May 30 — June 2, 2006, Saint Petersburg.

7. Юбилейная XX Международная школа-семинар «Новые магнитные материалы микроэлектроники», 12−16 июня 2006, Москва.

8. MORIS 2006 Workshop, June 6−8 2006, Chiba, Japan.

9. ETOPIM 7, July 9- 13 2006, Sydney, Australia.

10. BIANISOTROPICS 2006, September 23−28 2006, Samarkand, Uzbekistan.

11. VIII ежегодная научная конференция ИТПЭРАН, 9−12 апреля 2007, Москва.

12. VIII научная школа молодых ученых ИБРАЭ РАН, 27 апреля 2007 г., Москва.

13.Международная конференция DAYS ON DIFFRACTION'2007, May 29 -June 1, 2007, Saint Petersburg.

14. PIERS 2007, August 27−30, 2007, Prague, Czech Republic.

15. The Fourth International Conference on Materials for Advanced Technologies (ICMAT 2007) Simposium R, Electromagnetic materials, Singapore 2007.

16. International Conference «Functional Materials» ICFM-2007, Ukraine, Crimea, Partenit October 1−6, 2007.

17. First International Congress on Advanced Electromagnetic Materials, Rome, Italy, October 22−26, 2007.

18. XLX Научная конференция МФТИ, 23 — 27 ноября 2007, Москва.

19. PIERS 2008, March 24−28, Hangzhou, China.

20. MISM 2008, June 20−25, Moscow.

21. Международная конференция DAYS ON DIFFRACTION'2008, May 29 -June 1, 2007, Saint Petersburg.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 24 работы, в том числе 11 статей в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, определённых ВАК.

Краткое содержание работы.

Во введении обсуждается актуальность темы работы, научная новизна, указаны цели, а также положения, выносимые на защиту.

5.3.4 Выводы и обсуждение.

1. Схема, в которой кросс-поляризация усиливается поверхностным плазмоном, малоэффективна: интенсивность волны кросс-поляризации приближенно пропорциональна (g / б)2 In2 Q.

2. Интенсивность волны кросс-поляризации можно усилить дополнительным резонатором, его добротность определяет коэффициент усиления.

3. Предложена схема, в которой интенсивность волны кросс-поляризации пропорциональна (g / s)2 Q.

4. Схемы типа дефект-моды и таммовского состояния (раздел 5.2), работающие при падении по нормали, также можно рассматривать методом взаимодействующих мод, в частности, можно получить формулу (57). В этом случае резонанс усиливает волны как падающей, так и кросс-поляризации. В результате интенсивность волны кросс-поляризации пропорциональна g / s)2 Q2. Но для этой системы необходимо использовать фильтр на выходе, поскольку падающая поляризация проходит через систему.

Глава 6. Анализ формул смешения в применении к метаматериалам.

Термин «метаматериал» часто предполагает, что неоднородную среду можно в некотором определенном смысле заменить однородной, имеющей какие-то материальные параметры. Для многих метаматериалов этот вопрос не решен. Часто эффекты пространственной дисперсии оказываются сильными, даже когда размер включений и расстояние между ними много меньше длины волны (например, среда из параллельных проволочек [14]). Тем не менее, даже в сомнительных случаях говорят о средах с эффективной отрицательной диэлектрической проницаемостью [40], об искусственном магнетизме немагнитных композитов [1−4], об искусственной киральности [13]. В данной работе не будет рассматриваться задача о последовательном введении эффективных параметров. Мы лишь рассмотрим применение качественных теорий — так называемых формул смешения — к метаматериалам. Они позволяют оценить эффективные параметры, например, метаматериала, заполненного металлическими шариками, и получить резонанс дипольного момента, который имеется в этой системе.

6.1 Газовое приближение и теория Гарнетта.

Задача гомогенизации композитных сред в случае, когда размер включения много меньше длины волны и используются только положительные е, является решенной [116−118]. При этом рассматривается статическая задача, т. е. решается уравнение Лапласа, а не Гельмгольца. В двухмасштабной теории гомогенизации выделяется малый масштаб порядка размеров включений, на котором производится усреднение, и макроскопический масштаб, для которого выводится гомогенизированное уравнение. Из этого уравнения берется эффективное е. Другая точная теория гомогенизации была предложена A.M. Дыхне [119].

Применение точных теорий к метаматериалам [120,121], когда включения являются резонансными, оказывается спорным. Кроме них, существуют также феноменологические теории, основанные на некоторых правдоподобных рассуждениях. Результатами этих теорий являются формулы смешения: Гарнетта, фон Бруггемана и симметризованная формула Гарнетта [122−126]. Заметим, что строгое обоснование теории двухмасштабной гомогенизации существует лишь для задач с положительно определенным оператором [117]. Распространение результатов этой теории на случай метаматериалов носит «силовой», т. е. феноменологический характер. Применение же феноменологических теорий носит, как всегда, неконтролируемый с точки зрения строгой теории характер. Более того, в отличие от строгой теории, каждая из феноменологических теорий дает качественное описание лишь части свойств системы15.

Необходимо также упомянуть спектральную теорию Бергмана-Мильтона, в которой включения с отрицательным значением проницаемости играют особую роль. Так, в рамках теории Бергмана-Мильтона показывается [131], что расчет эффективной проницаемости seff может быть сведен к нахождению спектральной функции, которая, в свою очередь, определяется распределением полюсов scff как функции проницаемостей включений. Хотя теория Бергмана.

Мильтона и не дает алгоритма расчета спектральной функции, но зато она показывает, что все полюса эффективной проницаемости лежат на отрицательной действительной оси [131].

Ниже мы рассмотрим применение наиболее известных феноменологических теорий для описания метаматериалов.

Все феноменологические теории формул смешения сводят, тем или иным образом, многочастичную задачу к решению одночастичной задачи. Рассмотрим, для начала, «теорию возмущений», или «газовое приближение», т. е. случай, когда концентрация включений столь мала, что мы можем пренебречь влиянием частиц друг на друга.

Рассмотрим, следуя [23], интеграл.

15 Мы здесь не будем рассматривать вопрос о правомерности введения эффективных проницаемостей для композитов при резонансном взаимодействии электромагнитных волн с неод-нородностями, и лишь сошлемся на работы, где дискутируется этот вопрос [12,127−130].

1 = 1|(В-да = (В>-, и (Е> (64). будем обозначать ет и st диэлектрические проницаемости матрицы и включения). Эффективная диэлектрическая проницаемость seff определяется из уравнения (D) = ?ejI (Е) и может быть выражена через интеграл I:

B) = seff (E) = sm (E) + l (65).

Принимая во внимание, что подынтегральное выражение отлично от нуля только внутри включения, где D = slЕ, получим для интеграла I:

1 = 7 J0> «= yf (s,-em)Еdv, (66). где в последнем интеграле интегрирование производится по объему включений.

Пренебрегая пространственным изменением так называемого локального поля Е/ос, в котором находится включение, получим известное выражение для поля внутри включения [23]:

Е, = Е/ос, (67). что дает нам уравнение е, + 2s™) здесь р — объемная концентрация включений).

До сих пор единственными предположениями, сделанными нами, были предположения о том, что частицы находятся в однородном внешнем поле и что расстояние между ними настолько больше их размера, что изменением полей от других частиц на масштабе любого выделенного включения можно пренебречь.

Предположив далее, что полями других частиц можно пренебречь («газовое приближение»), иными словами, Е/ос =, получим следующее выражение для расчета эффективной проницаемости:

3e"(e.-eJ e,+2 Би) ч (69).

Если величину локального поля рассчитывать по формуле Лорентц-Лоренца:

4л;

El0C={E) + -j-P (70). где — среднее поле, Ё1ос — локальное поле, Р — поляризация частицы, то придем к известной формуле Дж. К. М. Ганетта: = sm+3 р *и (*'~*и)-г (71). е{ + 2ет)-р (е{ -sm) (ет и st —• диэлектрические проницаемости матрицы и включения, р — объемная концентрация включений). Эта формула замечательна тем, что в ней учитываются реально существующие граничные условия, что чрезвычайно важно при наличии объемных и поверхностных мод.

Применительно к включениям с отрицательными проницаемостями никаких математических проблем не возникает ни с (69), ни с (71). Концентрационные зависимости seff представлены на рис. 81.

До тех пор пока st > —2ет, наблюдается монотонное изменение seff от sm к sl при увеличении концентрации включений от нуля до единицы (рис. 81а)16. Для включений с отрицательной проницаемостью, в полном соответствии со спектральной теорией Бергмана-Мильтона, существует концентрация, при которой эффективная проницаемость обращается в ноль. При е1 < -2Ет удобнее.

16 Еще раз обратим внимание на то, что эти формулы выведены в приближении малых концентраций, когда расстояние между частицами много больше размера частицы. Часто об этом забывают и применяют этих формулы для больших концентраций, что может привести к нефизическим результатам.

Рис. 81. Зависимость от концентрации /? величин: a. seff при значениях sj sm, равных -2 (1), -1.8 (2), 0 (3), со (4) — б. 1I? eff при значениях sj £т, равных -2 (1), -2.8 (2), -5 (3), -со (4). Кривые получены по формуле Гарнетта (71). анализировать функцию sjf, так как вместо нуля проницаемости возникает ее полюс, т. е. эффективная проницаемость обращается в бесконечность, что связано с явлением «электромагнитной ловушки» при ех = -2ет. При выполнении этого условия дипольный момент включения, а вместе с ним и локальное поле, обращается в бесконечность, что и дало название этому явлению. Учет эффектов запаздывания ограничивает значения поля и дипольного момента, что вытекает из точной теории Ми [127,22].

При точном выполнении условия st — -2sт эффективная проницаемость перестает зависеть от концентрации (полюс находится при р- 0): eeff = —2ет. При стремлении st к минус бесконечности полюс движется к единице (рис. 84, штриховая линия). При заданных проницаемостях величина s~jf монотонно изменяется от до ?~1 (рис. 816).

6.2 Теория Бруггемана (эффективной среды).

В теории фон Бруггемана, часто называемой теорией эффективной среды.

ТЭС), матрица и включения рассматриваются «равноправно». Часто эту формулу называют симметричной формулой смешения. ТЭС предполагает, что «в среднем» частицы не возмущают внешнее поле, т. е. в среднем поле внутри частиц равно приложенному полю. При этом считается, что частицы, состоящие из материала включении, и частицы, состоящие из материала матрицы, погружены в некую однородную среду с искомой проницаемостью seff. Уравнение для нахождения seff принимает вид Е^ =Е0, где суммирование ведется по всем i видам материалов. С использованием (67) для двухкомпонентной смеси это уравнение приобретает вид: plAZ^ + (l-p)JkLZE^ = 0. (72). eff + ?i cff + £т.

Существует множество модификаций ТЭС, в которых делаются попытки учесть те или иные явления или свойства композитов, не описываемых формулой фон Бруггемана. Так, в [132,133] получено выражение, учитывающее скин-эффект на металлических включениях. В [134] предложена формула, куда порог протекания входит как свободный параметр. Существует также масса работ, где делаются попытки учесть корреляции в распределении частиц [127,135,136]. Все эти подходы базируются на уравнении (72).

Популярность формулы (72) связана с тем, что она дает описание перко-ляционного перехода при рс = 1 / 3 (в теории Гарнетта порог протекания равен единице). Т. е. при £т=0 эффективная проницаемость seff тождественно равна нулю при концентрациях ниже порога протекания и изменяется от нуля до si при увеличении концентрации включений от порога протекания до единицы. Однако получение уже этого результата требует осторожного обращения с функциями комплексного переменного.

Действительно, при стремлении sm к нулю второе слагаемое в (72) имеет вид неопределенности 0/0, и для получения правильного ответа мы должны использовать общее решение (72) в форме: еф = 0.25^,(3р-1) + (2−3р) + ^(е,(3р -1) + ея{2−3р)) + %s, sm J (73).

Здесь мы впервые сталкиваемся с проблемой выбора однозначной аналитической ветви корня. Физически правильный ответ (пассивные включения e’ff.

2/3 В.

— 0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0.

1/3 2/3 1p б.

Рис. 82. Концентрационные зависимости эффективной диэлектрической проницаемости, иллюстрирующие перколяционный переход при? m/sl—> 0, в соответствии в ТЭС. а. е.= 1.6. некорректный результат (13) при е. =-1. в. корректный результат, получаемый из формулы (14) при st = -1. дают пассивную эффективную среду, а активные — активную) дает разрез по отрицательной действительной оси и определение квадратного корня как z exp.

Л l’l (pz прил < (р < 7t .

74).

Тогда в пределе ет —> 0 и si > О ТЭС дает перколяционное поведение (рис. 82а) = °-25[?' (3/> - О+(Зр — О)2 ]= 0.25(£,(3Р-1) + Ц.(3Р-1)|) = {?°'3¹)/2;

Р<�Рс Р>Рс.

75).

76).

Однако, чтобы получить аналогичное поведение при s. < 0, нужно выбрать другую ветвь квадратного корня, иначе получается странный результат (рис. 826) е,(Ър-)12, р<�рс SeJT 1 0, р>рс что лишает подход универсальности. Причина этого кроется в том, что мы имеем дело с функцией многих комплексных переменных. Вопрос о выделении однозначной аналитической ветви функции многих комплексных переменных на сегодняшний день не имеет окончательного решения [137]. Представляется разумным свести задачу к вычислению функций одной переменной, факторизуя.

3JJ[ 2.5 2.0| Л5 l. t 0.5 0 l. i 0.8 0.6 0.4 0.2.

1/3.

2j3.

1/3.

2P a.

Рис. 83. Зависимость Re?^ (сплошная линия) и (штриховая линия) от объемной доли включений р, в соответствии с ТЭС, при значениях параметров ет =1- а. Ег = 3- б. е} - -0.01- в. е1 = -0.5, г. ?•,=-!. аргумент •¦¦¦¦ zn = yjz^ •. • yfz^. Вместо (75) мы получаем выражение: seff = 0.25(3р -1) + V^/WM1)> (14) дающее правильное перколяционное поведение (рис. 82в). Заметим, что при извлечении корня из квадрата проницаемости используется выражение yfs? = yft^yft^ - s, а при извлечении корня из оставшегося выражения используется традиционная формула теории функций действительного переменного:

J (3p-l)2=3p-l.

Для нахождения решения в общем случае ет Ф 0 предлагается использовать выражение вида:

— 10 -5 О 5.

Рис. 84. Характерные точки кривой в зависимости от соотношения £тНезакрашенная область соответствует комплексным значениям seff, полученным из ТЭС. Горизонтальная штриховка показывает области, где функция? eff (p) имеет выпуклость вверх (d2?eff /dp2 <0), вертикальная штриховка показывает области с выпуклостью вниз. В незакрашенной области RQ (d2seff/dp2) = 0. Штриховая линия показывает положение полюса, в соответствии с формулой Гарнетта. seff = 0.25(5, (Зр-!) + ?," (2 -3/0 +.

9р2−9р-2 + 6^2р (1-р) (1−3 р)2.

77).

9р2−9р-2-в^2р (-р) (1-Зр)2.

Расчеты по этой формуле представлены на рис. 83.

Характерной особенностью является отсутствие полюсов, что связано с нарушением условия плазмонного резонанса (вместо истинных граничных условий рассматриваются эффективные), а также наличие области концентраций, где эффективная проницаемость имеет мнимую часть (рис. 84). Возникновение «диссипации» связано с «накачкой» энергии в образующиеся резонансные конфигурации.

6.3 Симметризованная формула Гарнетта.

Симметризованная формула Гарнетта [122−126] дает как перколяционный переход, так и резонансное поведение. В данном подходе рассматривается вероятность Р1 конфигураций, когда включение окружено материалом матрицы, и вероятность Рп конфигураций, когда частица матрицы окружена материалом включений. Как показано в работе [122], Р, = и{ /(м7 + ии), Рп = ии /(и- +ип), где и, =(l — рх’г)3 и un =. Для каждой из конфигураций I, II рассчитывается эффективная проницаемость в соответствии с теорией Гарнетта? m (?i-?m) еИ=е{+3(1-р) s,+2sm)-p (e.-em).

Фт~?д sm+28i)-(l-p)(8m-si) что дает правильное описание возможных резонансов. На втором шаге происходит усреднение по конфигурациям в рамках ТЭС. Предполагается, что других конфигураций нет, поэтому уравнение, определяющее эффективную проницаемость, имеет вид Pf.

Seff S1 2 8eff+8l pu % Su — 0. eff + ?II.

Теория дает конечный порог протекания рс «0.455 (рис. 85а). В целом поведение эффективной проницаемости носит довольно сложный характер: существуют области значений, когда наблюдаются полюса и когда наблюдается эффективная диссипация (см. рис. 856, в и рис. 86). tar I 4.

0.2 0.

0.6 O.t.

Т (Р в.

0.2 0.4 0.6 0.8 а.

Рис. 85. Зависимость RQ8eff (сплошная линия) и Ьп£-# (штриховая линия) от объемной доли включений р, в соответствии с симметризованной формулой ¦Гарнетта, при следующих значениях параметров: a. sm—> 0, sj = 1, б. sm = 1, em = 1, e,=-4.

1п (-е, 1бт).

Рис. 86. Поведение функции seffr вычисленной в соответствии с симметризованной формулой Гарнетта. Закрашенные области соответствуют комплексным значениям Eeff. Пунктирные линии показывают положение полюса.

Заключение

.

В работе рассмотрен ряд задач, связанных с электродинамикой и оптикой ближних полей (неоднородных волн), поверхностными волнами и состояниями, получением сверхразрешения, фотонными кристаллами, метаматериалами.

Во второй главе показано, что диссипация в линзе Пендри и детектирование приводят к расфазировке неоднородных волн из пространственного спектра предметной волны. В третьей главе рассмотрены отрицательные фотонные кристаллы и их частные случаи — многослойные линзы Пендри и Энгеты. В четвертой главе показано, что фильтрация неоднородных волн является механизмом работы линзы Пендри в Г?-поляризации и нерезонансного аномального прохождения света. В пятой главе резонаторы на основе фотонных кристаллов использованы для усиления магнитооптических эффектов. В шестой главе приведен способ оценки эффективных параметров метаматериалов, содержащих металлические включения, с помощью формул смешения.