Разностные методы решения нелокальных краевых задач для уравнения параболического типа с вырождением

Вопросы, связанные с процессом диффузии частиц в турбулентной плазме, с переносом влаги в почво-грунтах, а также с процессом распространения тепла в тонком нагретом стержне, если задан закон изменения общего количества тепла стержня, приводят к нелокальным задачам, для дифференциальных уравнений математической физики.

К первым работам с неклассическими граничными условиями для общих параболических уравнений относятся, по-видимому, работы Камынина Л. И. [20] и Чудновского А. Ф. [46], [47]. После появления работы Бицадзе А. В. и Самарского А. А. [6], внимание математиков все чаще стали привлекать нелокальные задачи математической физики. Различные классы нелокальных задач для дифференциальных уравнений с частными производными изучались в работах Ионкина Н. И. [15],[16], Самарского А. А. [35], Ионкина Н. И., Моисеева Е. И. [19], Ильина В. А., Моисеева Е. И. [13]-[14], Шополова Н. Н. [48], Гордезиани Д. Г. [9]-[11], Нахушева A.M. [27]-[28], Шханукова М. Х. [49]-[50], Керефова А. А. [21], Митропольского Ю. А., Шханукова М. Х., Березовского А. А. [24], Муравей Л. А., Филиновского А. В. [26], Житарашу Н. В., Эйдельмана С.Д.

Проведем обзор некоторых классов нелокальных задач, возникающих в различных областях знаний.

Рассмотрим толщу почвы от поверхности земли до уровня грунтовых вод (зона аэрации). В этой зоне влагоперенос, в случае движения влаги в вертикальном направлении под воздействием силы тяжести и капиллярного давления, описывается диффузионной моделью.

12], Солдатова А. П., Шханукова М. Х. [42] и др. дги д.

8w f{x, w), 0 <х <1, 0.

K (w) — коэффициент влагопроводности.

Чудновский А.Ф. в работе [46] обратил внимание на недостаточно критический подход к формулировке граничных условий и впервые, по крайней мере для уравнения влагопереноса, сформулировал задачу с нелокальным условием: а.

D?gz=0 = JwdX, (0.2) о 0, (0.3) дги дх х—а w (x, 0) = <�р (х), 0 <С X < а. (0.4).

Нелокальное условие (0.2) означает, что поток влаги через поверхность х = 0 равен содержанию влаги в активном слое почвы от 0 до а.

Камынин Л.И. в работе [20] рассматривал для параболического уравнения второго порядка общего вида нелокальное условие вида х2С0.

J g (x.t)u (x.t)clx = E (t). 0 ^t^T, х,'(0 где Xi (t)->г" = 1, 2- g (x.t). E (t) — известные функции.

В работе [36] Самарский А. А. поставил для параболических уравнений задачу с нелокальным условием общего вида: u (0,t) + a2(t)u (l, t) + a3(t)ux (Q, t) + a4{t)ux{l, t) = (t), /3, (t)u (0, t) + (32 {t)u (l, t) + Д3 (t)us (0, t) + в4 (t)ux (l, t) =.

При изучении популяционных моделей возникает другой класс нелокальных условий.

Пусть u (x.t) — плотность численности популяции возраста х в момент времени t. Тогда, как показано в работе [8], u (x, t) является решением нелокальной задачи ut + их = /г (ж, t), 0 < X < I, t > 0, (0.5).

— э u (x, 0) = р (х), (0.6) i u{0,t) = J c{x, t) u (x, t) dx, (0.7) о где (р (х) — начальное возрастное распределение, а условие (0.7) называется законом рождаемости, c (x.t) — коэффициент рождаемости. Здесь следует заметить, что задачи, возникающие в мат с м ат и ч е с ко и биологии, как правило, нелокальные (см. [29]).

Нелокальные условия вида (0.7) для параболических уравнений возникают при математическом моделировании технологических процессов, применяющихся для очистки кремниевых плит от примеси, а также в теории солепереноса в почвогрунтах при интенсивном испарении [25]-[26].

В работе [15] методом Фурье доказано существование и единственность решения нелокальной задачи и = а2и. 0 < х < /. t > 0. t XX > / ' ii (0,t) = u{l.tt), ux (0,t) = g (t), u (x. 0) = u0{x).

К результатам работы [36] близко примыкают результаты ТТТопо-лова Н.Н. [48]. В работах [1−3]-[14], [50] для обыкновенного дифференциального уравнения.

Lu = — clx dii.

4х) fa — q (x)u = -f{x), о < х < 1 изучены нелокальные задачи: и (0) = 0, = к= 1 где — фиксированные точки интервала (0.1) — т и (0) = 0, П (1) = 5>, П (0: к= 1 где Щж) = - поток через сечение х. ак — постоянные числа.

В этих же работах получены априорные оценки в нормах С. W2 ,.

2 ,. W’o в дифференциальной и разностной трактовках.

Равномерно сходящиеся разностные схемы построены в работе [16] для нелокальной задачи ut = ихх + /(.х, t), 0 < х <1, 0 < T, u (x, 0) = (p (x), 0 < x I.

В работе [17] построены схемы повышенного порядка точности (О (/г4)) для решения нелокальной задачи du~ т — d Lu — — ах q (x)u = -f (x), 0 <х<1, и (0) = 0, k (0)u (0) = к (1)и (1).

Гордезиани Д.Г. в ряде своих работ [9]-[11] для решения нелокальных задач использовал иной подход, который заключается в сведении нелокальных задач к локальным с помощью итерационного метода. При этом дается оценка скорости сходимости итерационного процесса.

В работе Нахушева A.M. [28] впервые указана связь нелокальных задач с нагруженными уравнениями: нелокальные задачи типа Бицадзе-Самарского для уравнений Лапласа и теплопроводности сведены к локальным задачам для нагруженных уравнений. Этот факт используется в ряде работ для численного решения нелокальных задач математической физики (см., например, [49]).

Разностным методам решения нелокальных краевых задач посвящены работы [15], [1−3]. [16]. [18], [51], [2], [52]. Вопросам построения экономичных разностных схем в цилиндрических и сферических координатах посвящены работы [39]-[40], [45].

Настоящая диссертационная работа посвяшена исследованию нелокальных краевых задач для вырождающихся уравнений параболического типа. В работе изучаются вопросы единственности решений рассматриваемых задач, строятся разностные схемы и доказывается сходимость построенных разностных схем.

Работа состоит из введения и трех глав.

1. Абрамов А. А., Андреев В. Б. О применении метода прогонки к нахождению периодических решений дифференциальных и разностных уравнений // ЖВМ и МФ, т. З, № 2, 1963, с. 377−381.

2. Абрегов М. Х. Краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля1с нелокальным условием u (l) f u (x)dx // Сб. научных трудов инстиотута математики НАН Украины «Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики», Киев, 1997, с. 9−11.

3. Андреев В. Б. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих вторую и третью краевые задачи для эллиптических уравнений // ЖВМ и МФ, 1968, т.8, № 6, с. 1218−1231.

4. Андреев В. Б. О сходимости разностных схем с расщепляющимся оператором, аппроксимирующих третью краевую задачу для параболического уравнения // ЖВМ и МФ, 1969, т.9, № 2, с. 337−349.

5. Березовский Н. А., Олисаев Э. Г. Задача со свободной границей в проблеме загрязнения и очищения атмосферы точечным источником // Материалы седьмой международной конференции имени академика М.Кравчука. Киев, 1998. с. 39.

6. Бицадзе А. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // ДАН СССР, 1969. т. 185, № 4, с. 739−740.

7. Воеводин А. Ф., Шугрин С. М. Численные методы расчета одномерных систем. Новосибирск, Наука, СО АН СССР, 1981, — 208 с.

8. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982, 304 с.

9. Гордезиани Д. Г. Об одном методе решения задачи Бицадзе-Самарского. Семинар института прикладной математики, аннотации докладов, Тбилиси, 1970, с. 39−41.

10. Гордезиани Л. Г. О методах решения одного класса нелокальных краевых задач. Препринт института прикладной математики при ТГУ. — Тбилиси, 1981.

11. Житаршу Н. В., Эйдельман С. Д. Об одной нелокальной параболической граничной задаче // Матем. исслед., Кишинев, 1970, с. 85−100.

12. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Нелокальная задача для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках // ДАН СССР, 1986, т.291, № 3, с. 534−539.

13. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Нелокальная задача второго рода для оператора Штурма-Лиувилля // Дифференц. уравнения, 1987, т.23, № 8, с. 1422−1431.

14. Ионкин И. И. Решение одной краевой задачи в теории теплопроводности с нелокальным условием // Дифференц. уравнения, 1977, т. 13, № 2, с. 294−304.

15. Ионкин Н. И. О равномерной сходимости разностной схемы для одной нестационарной нелокальной краевой задачи // Актуальные вопросы прикладной математики, Изд-во МГУ, 1989, 240 с.

16. Ионкин Н. И. Разностные схемы повышенного порядка точности для одной неклассической краевой задачи. Актуальные проблемы прикладной математики. МГУ, 1989, 240 с.

17. Ионкин И. И., Зидов Н. Устойчивость в С разностных схем для одной задачи // Вестник МГУ, вычислит, оддтем. и кибернетика. 1982, 1. с. 8−16.

18. Ионкин Н. И., Моисеев Е. И. О задаче для уравнения теплопроводности с двухточечными краевыми условиями // Дифференц. уравнения, 1979, т.15, Л°7, с. 1284−1295.

19. Камынин Л. И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями // ЖВМ и МФ, 1964. т.4, Х°-6, с. 1006−1023.

20. Керефов А. А. Нелокальные краевые задачи для параболических уравнений // Дифференц. уравнения, 1979, т.15, А" -4. с. 74−78.

21. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973, 407 с.

22. Марчук Г. И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982. — 320 с.

23. Митропольский Ю. А., Шхануков М. X., Березовский А. А. Об одной нелокальной задаче для параболического уравнения // Укр. мат. журнал, 1995, т.47, № 6, с. 790−801.

24. Моделирование и управление водно-солевым режимом почвы // Соколенко Э. А., Делов В. И., Зал и ченко Е.Н. и др. Алма-Ата. Наука, 1976, 180 с.

25. Муравей А. А., Филиновский А. В. Об одной задаче с нелокальным граничным условием для параболического уравнения // Матем. сб., 1991, т. 182, № 10, с. 1479−1512.

26. Нахушев A.M. Нелокальная задача и задача Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги // ДАН СССР, 1978, т.242, № 5, с. 1008−1011.

27. Нахушев A.M. Нагруженные уравнения // Дифференц. уравнения, 1983, т. 19, № 1, с. 86−94.

28. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995, 301 с.

29. Олисаев Э. Г. Априорная оценка решения краевой задачи для вырождающегося уравнения параболического типа с конвективным членом // Вестник СОГУ. серия Естественные науки, 2003, т.2, .Y^l, с. 34−36.

30. Олисаев Э. Г., Лафишева М. М. О сходимости разностной схемы для уравнения параболического типа с нелокальным условием в цилиндрических координатах // Владикавказский математический журнал, 2002, т.4, вып. 2, с. 50−56.

31. Самарский А. А. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках для уравнений параболического типа // ЖВМ и МФ, 1963, т. З, № 2, с. 266−298.

32. Самарский А. А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1980. т. 16. .A^ll. с. 1925;1935.

33. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука. 1983, 616 с.

34. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973, 414 с.

35. Самарский А. А., Мостинская С. Б. Численное решение двумерного уравнения теплопроводности с разностными коэффициентами в полярных координатах // В сб. «Вычислительные методы и программирование» '. Вып. Ill, М., Изд-во МГУ, 1965, с. 147−162.

36. Самарский А. А., Мостинская С. Б. О применении локально-одномерного метода к решению уравнения, теплопроводности в цилиндрических координатах //В сб. «Вычислительные методы и программирование». Вып. VII, М., Изд-во МГУ, 1967, с. 55−63.

37. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978 с. 589.

38. Солдатов А. П., Шхануков М. Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием Самарского А. А. для псевдопараболических уравнений высокого порядка // ДАН СССР, 1987, т.297, № 3, с. 547−552.

39. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. — 736 с.

40. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, 1960, 656 с.

41. Фрязинов И. В., Бакирова М. И. Об экономичных разностных схемах решения уравнения теплопроводности в полярных, цилиндрических и сферических координатах // ЖВМ и МФ, 1972. т. 12. № 2, с. 352−364.

42. Чудновский А. Ф. Некоторые коррективы в постановке и решении задач теплои влагопереноса в почве // Сб. трудов АФИ, 1969, вып.23. с.41−54.

43. Чудновский А. Ф. Теплофизика почвы. М.: Наука, 1976.•352 с.

44. Шополов Н. Н. Некоторые краевые задачи для уравнения теплопроводности // Докл. Болг. АН, 1980, т.33, с. 47−50.

45. Шхануков М. Х. Разностный метод решения одного нагруженного уравнения параболического типа // Лифференп. уравнения. 1977. т.13. № 1. с. 163−167.

46. Шхануков М. Х. Об устойчивости разностных схем, аппроксимирующих нелокальные задачи типа Бицадзе-Самарского // Докл. АМАН, 1994, с. 38−43.

47. Шхануков М. Х., Абрегов М. Х., О сходимости разностных схем для одного класса нелокальных задач и их приложения к автоматизированным системалл. Нальчик, 1989, с. 275−283.

48. Шхануков М. Х., Олисаев Э. Г. Об одной нелокальной задаче для уравнения теплопроводности в сферической и цилиндрической системах координат // Вестник СОГУ. серия Естественные науки, 1999, Т.1, № 1, с. 70−71.Ц