Теоремы равносходимости для операторов со степенными особенностями в краевых условиях

Весьма широко применимой в различных областях современной математики, механики, физики является спектральная теория несамосопряженных операторов. Она включает в себя задачи определения собственных значений, собственных и присоединенных функций, разложения функций в ряд по собственным и присоединенным функциям, в частности, вопросы равносходимости таких разложений с разложениями по известным системам функций и т. д. Интерес к спектральной теории операторов велик, и успехи в ее развитии за последние десятилетия значительны.

Настоящая работа посвящена спектральному анализу операторов, которые объединяет одна общая черта: их краевые условия записываются при помощи интегралов, содержащих степенные особенности. Для таких операторов устанавливается асимптотика собственных значении, доказываются теоремы равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям этих операторов и по тригонометрической системе.

Вопросом о разложении по собственным и присоединенным функциям оператора на отрезке [0 /], порожденного дифференциальным выражением и линейно-независимыми краевыми условиями.

J" ' i" ' Г 1 одним из первых занимался Дж. Биркгоф [к, 17j. В предположении регулярности паевых условий (0.2) (см. з], с. 66−67) он решил вопросы о распределении собственных значений, асимптотике собет.

— 4 венных функций, сходимости разложения по собственным и присоединенным функциям оператора (0.1)—(0.2) функции ограниченной вариации. Основным средством решения этих вопросов была асимптотика системы решений уравнения (/[ijJ'Al^- 0 цри, полученная Биркгофом в [l2] .

В дальнейшем результат Биркгофа был усилен Я. Д. Тамаркиным, который показал в, что при условии регулярности (0.2) и суммируемости функции ее разложение в ряд по собственным и присоединенным функциям оператора (0.1)-(0.2) равносходится внутри отрезка [О, i] с тригонометрическим рядом Фурье этой функции. Аналогичный результат независимо от Тамаркина получил М. Стоун [б]. Теорема Тамаркина (Стоуна) обобщала теоремы равносходимости, доказанные ранее для краевых задач второго порядка Е. Гобсоном [ie], В. А. Стекловым [19] и А. Хааром [20, 2l].

Интерес к спектральной теории значительно возрос в последние годы. Относительно недавно В. А. Ильин [22−24] доказал равномерную равносходимость с тригонометрическим рядом Фурье разложений в би-ортогональный ряд по собственным и присоединенным функциям несамосопряженного дифференциального оператора, порожденного дифференциальным выражением «с краевыми условиями, обеспечивающими некоторое асимптотическое поведение собственных значений. Теоремы В. А. Ильина, сформулированные в терминах условий на коэффициенты 1[у] и функции биортогональной системы, охватывают ранее известные результаты, касающиеся равносходимости, в частности, случай регулярных краевых условий.

А.П.Хромов [l4,I5] распространил теорему о равносходимости Тамаркина на интегральные операторы, ядра которых обобщают свойства функций Грина оператора (0.1)-(0.2) с регулярными краевыми условиями. А. П. Хромов показал, что такие операторы в определенном смысле являются каноническими в классе интегральных операторов, для которых имеет место равносходимость разложений по собственным и присоединенным функциям с тригонометрическим рядом Фурье.

Все перечисленные выше результаты относятся к случаю, когда краевые условия оператора, будучи записаны с помощью интегралов Стилтьеса от производных функции^, включают такие интегралы, где мера имеет скачки на концах рассматриваемого отрезка. Другой случай рассмотрел А. М. Седлецкий [э-Il]. Его результат относится к оператору дифференцирования с краевым условием вида.

•У®??®*'0где — функция ограниченной вариации, имеющая предельные значения на концах отрезка^/-^ Ct/J отличные от нуля. Т. е., если записать с помощью интеграла Стилтьеса, то мера не имеет скачков на концах (frj «но ее производная неогра-ничена вблизи этих концов и имеет при подходе к ним степенной рост. В [э] А. М. Седлецкий доказал теорему равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям таких операторов и интегралов Фурье любых суммируемых функций. В [io], усовершенствовав метод доказательства, А. М. Седлецкий установил также асимптотику собственных значений. В отличие от результатов, упоминавшихся выше, доказанная им теорема утверждает равносходимость не внутри промежутка^/-^ dj «а больше: равносходимость на всем отрезке с весом (Z 'Xj. В работе (г^А.М.Седдецкий показал, что если усилить требования к разлагаемой функции, а именно: предположить, что она из Lsp (р>0 «т0 понадобится вес, имеющий меньший, чем в общем случае, порядок стремления к нулю при подходе к концам отрезка.

— 6.

Краевое условие (0.3) может быть записано с использованием операторов интегро-дифференцирования дробного порядка в смысле Римана-Лиувилля (см. Щ, с. 567−569), иначе говоря, производных дробного порядка. Это наводит на мысль, что рассматривая краевые условия типа (0.3), естественно рассмотреть дифференциальные операторы не только целого, но и дробного порядка. Наиболее известными работами, касающимися спектрального анализа таких операторов, являются работы М. М. Джрбашяна и А. Б. Нерсесяна [13,14]. В последней из них, в частности, показано для интегро-дифференциального оператора определенного вида, что теорема равносходимости с тригонометрическим рядом Фурье внутри отрезка/^ j] имеет место, если производная порядка от разлагаемой функции суммируема и ограничена вблизи концов отрезкаft определенным образом вычисляется по параметрам данной краевой задачи. Для доказательства используется метод Пуанкаре-Коши [l5], т. е. метод контурного интеграла, но он применяется не к резольвенте.

В данной диссертации устанавливаются теоремы равносходимости для дифференциальных операторов целого порядка с краевыми условиями, имеющими степенные особенности, а также оператора интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля порядка /J с краевым условием того же типа.

В первой главе рассматривается дифференциальный оператор на отрезке jj, определенный дифференциальным выражением к).

0.4) и краевыми условиями ^ о, 0<а<

0.5).

— 7.

В ней показывается, что к виду (0.5) приводится весьма широкий класс краевых условий со степенными особенностями и устанавливается для оператора (0.4)-(0.5) асимптотика собственных значений и теорема равносходимости с тригонометрическим рядом Фурье на отрезке j] с весом /-/(/ при определенном условии на (0.5) типа условия регулярности Биркгофа. Здесь же показано, что если разлагаемая функция не только суммируема, но принадлежит Z^ то утверждение теоремы можно усилить, требуя от весовой функции меньший порядок отрешения к нулю на концах отрезка. Использованный метод доказательства отличается от методов, использованных А. М. Седлецким при доказательстве подобных утверждений для случая 71 ~ / в [Э-Il]. Он применим и к дифференциальным выражениям более общего, чем (0.4), вида.

Во второй главе изучается интегродифференциальный оператор порядка сс.

0.6) с краевым условием У.

0.7) где UCWs ЩХ/< ОО, -/<ув 1н+0)1(1−0) ф О,.

-/, /У 6(0+0) +1(0−0.

Для него также устанавливается асимптотика собственных значений и теорема равносходимости, которая оказывается справедливой в предположении абсолютной непрерывности (^ ~ разлагаемая функция). Здесь же приводится контрпример, который подтверждает точность данной теоремы, т. е. невозможность отбросить уело.

— 8 вие абсолютной непрерывности или заменить его более слабым условием такого же типа. Рассмотренный случай — оператор (0.6) -(0.7) — отличается от рассмотренного М. М. Джрбашном и А.Б.Нерсе-сяном в [l4jв результатах можно проследить аналогию. Что касается методов доказательства, они различны. Возможно приложение метода главы Пик более общему случаю (случаю сС>/, а также к возмущениям таких операторов).

Перейдем теперь к более подробному изложению диссертации. Она состоит из двух глав. Нумерация параграфов в диссертации сквознаяпри этом для формул, определений, лемм, теорем и следствий используется единая нумерация, состоящая из двух чисел, заключенных в круглые скобки: первое число — номер параграфа, второе число — номер формулы, леммы и т. д. в этом параграфе.

Первая глава состоит из четырех параграфов — §§ 1−4. В § I показывается, что краевые условия (0.5) таковы, что к ним приводится весьма широкий класс краевых условий, записываемых с помощью интегралов со степенными особенностями. В § 2 доказывается ряд лемм, дающих асимптотические формулы или оценки для некоторых интегралов вида.

Эти леммы широко используются как в первой главе, так и во второй. В § 3 для краевых условий (0.5) определяется понятие регулярности и доказывается теорема (3.2) об асимптотике собственных значений оператора (0.4)-(0.5). Вместе с асимптотикой собственных значений получается оценка снизу характеристического определителя. Эта оценка используется далее в § 4 при доказательстве теоремы равносходимости. § 4 посвящен доказательству основной в первой главе диссертации теоремы (4.13) — теоремы равносходимости дою оператора (0.4)-(0.5): пусть L — оператор (0.4)-(0.5), краевые условия (0.5) регулярны, Щг, Ц>7 t) ' (У (x^yt) — разность мезду частной суммой разложения функции р в рад по собственным и присоединенным функциям оператора Ls, взятую по всем собственным значениям оператора, попадающим в круг //?/<, и частной суммой ((У) тригонометрического ряда Фурье функции р с номером А* таким, что (fyf)*^ /C<{(?+/)ff)n'. Тогда, если t, принимая значения из некоторой подходящей последовательности (см. определение (4.9)), то.

1) при равномерно по.

2) при faLH, J fcfa, = 0 О равномерно по / i]для любого у>jL Вторая глава состоит из шести параграфов — §§ 5−10. В § 5 находится выражение резольвенты оператора (0.6)-(0.7) и конкретный вид функции Д (Л) «нули которой являются собственными значениями оператора (0.6)-(0.7). В § 6 после доказательства леммы (6.1) и следствия из нее, дающих асимптотическую формулу для А (Л) при ро, доказывается теорема (6.9). Она дает асимптотику собственных значений оператора и необходимые в дальнейшем оценки /(А) снизу. В § 7 делаются заготовки для последующего доказательства теоремы равносходимости. В нем находятся асимптотические формулы для составных частей выражения резольвенты ^ оператора (0.6)-(0.7), наиденного в § 5, справедливые в той или иной части комплексной плоскости. Они устанавливаются в предположении абсолютной непрерывности. В § 8 все эти формулы применяются к доказательству основной теоремы данной главы — теоремы (8.28): Пусть jftzL, /) «JfPf абсолютно непрерывна на/-^ 1].

Тогда равномерно по /. В качестве Щ и CV^ могут быть взяты любые положительные числа, но Щ сс^</.

Здесь 5п, •) — соответственно, частные суммы разложения ^ по собственным и присоединенным функциям оператора (0.6)-(0.7) и по тригонометрической системе (точное определение $тъ> см. в начале § 8).

Смысл данной теоремы проясняют два следствия из нее:

1) Пусть Jf^Lfy абсолютно непрерывна на js^ i] .

4 — «. (b')) мравномерно по хе /У1 .

В качестве СО можно взять любое число в интервале /J, то же касается .

2) Пусть L ('-/y абсолютно непрерывна на /7. равномерно по X// (в нуле функция доопределена нулем). В качестве у можно взять любое положительное число.

В § 9 доказывается ряд формул, нужных для построения контрпримера. Здесь изучается поведение составных частей формулы резольвенты^Ар «где % т. е. ^ - та самая функция, которая рассматривается в контрпримере. В § 10 доказывается, что для нее разность между jS^ и (см. выше) не стремится к нулю ни при каком X из отрезка^у^^ ^н]' т, е* теорема равносходимости неверна. Этот пример показывает, что в теореме (8.28) условие абсолютной непрерывности од т собственно.

Тогда.

— II к его нельзя ни отбросить, ни заменить более слабым такого же типа.

Основные результаты диссертации опубликованы в [25−27] и докладывались на семинаре кафедры дифференциальных уравнений и прикладной математики (под руководством цроф. А.П.Хромова) и на объединенном семинаре кафедр дифференциальных уравнений, вычислительной математики, математического анализа и теории функций (под руководством проф. Н.П.Купцова) Саратовского государственного университета, на конференции молодых ученых СГУ в феврале 1984 г., на ХХШ Научно-технической конференции Пермского политехнического института в феврале 1983 г., на 2-й Саратовской зимней школе по теории функций и приближений в январе-феврале 1984 г.

— 12.

1. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. — М.: Наука, 1966. — 672 с.

2. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. — 480 с.

3. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. — 528 с.

4. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. — 744 с.

5. У. Л Яыfiowti Ш<�У (1& det hzAatumиьЬаШб жг&шилЩ Utxfa аёжяаfa ^илге^. —р. ЗУ^-ЗЯ^Ь. 6- Stone, тЛ сопгрмлги??^ of t/kmatш гяб. м, p.

6. Хромов А. П. 0 равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям интегральных операторов. В кн.: Функциональный анализ. Ульяновск, 1980, вып. 14, с. 187−189.

7. Хромов А. П. Теоремы равносходимости для интегро-дифференциаль-ных и интегральных операторов. Матем, сборник, 1981, т. 114 (156), В 3, с. 378−405.

8. Седлецкий A.M. 0 равносходимости и равносуммируемости негармонических разложений Фурье с обычными тригонометрическими рядами. Мат. заметки, 1975, т. 18, № I, с. 9−17. 121.

9. Седлецкий A.M. Биортогоналъные разложения функций в ряды экспонент на интервалах вещественной оси. Успехи мат. наук, 1982, т. 37, вып. 5 (227), с. 51−95.JP.

10. Седлецкий A.M. Базисы из экспонент в пространствах —Апаг.77Ш*? /Ш, t.2,к. Buc&tofyOntAe. aiMfHftfotcc, eAavat1ж- &P Ш. w&Uims ШуЬгщ/ dcWkenttot efua&wii cenitiUtUtg a. ewuwideK— З&щ. irtl. 9, p. 1/9−13/.

11. Джрбашян M.M., Нерсесян А. Б. Разложения по специальным биор-тогональным системам и краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка.!^ Докл. АН СССР, I960, т. 132,4, с. 747−750.

12. Ильин В. А. 0 равномерной равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям несамосопряженного обыкновенного дифференциального оператора и в тригонометрический ряд Фурье. Докл. АН СССР, 1975, т. 223, Ш 3, с. 548−551.

13. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. I. Дифференц. уравнения, 1980, т. 16, № 5, с.771−794.

14. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. П. Дифференц. уравнения, 1980, т. 16, № 6, с. 980.

15. Амвросова О. И. Асимптотика собственных значений и теоремы равносходимости для операторов со степенными особенностями в краевых условиях. В кн.: Функциональный анализ. Ульяновск, 1983, вып. 21, с. 3-II.

16. Амвросова О. И. Теорема равносходимости для дифференциального оператора со степенными особенностями в краевых условиях. -Саратов, 1984, 14 с. Деп. в ВИНИТИ II декабря 1984 г., 7901−84 Деп.