Исследование и расчет эффективных электрофизических характеристик сред с мелкомасштабными включениями
Диссертация
Теоретической основой решения поставленной задачи является уравнение Лапласа с неоднородным краевым условием Дирихле и однородным краевым условием Неймана. Основной метод исследования — математическое моделирование многомасштабным методом конечных элементов. При вычислении локальных матриц жесткости на грубой сетке и вычислении полного тока для определения эффективного электрического… Читать ещё >
Содержание
- Глава 1. ГОМОГЕНИЗАЦИЯ МНОГОМАСШТАБНЫХ СРЕД
- 1. 1. Среды с контрастными мелкомасштабными включениями
- 1. 2. Методы гомогенизации
- 1. 2. 1. Приближение Максвелла
- 1. 2. 2. Приближение Гарнетта, Бруггемана, когерентного потенциала
- 1. 2. 3. Двухсторонние оценки эффективных коэффициентов
- 1. 3. Обзор многомасштабных методов
- 1. 4. Задачи по определению эффективных характеристик
- Глава 2. МНОГОМАСШТАБНЫЙ МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
- 2. 1. Постановка задачи
- 2. 2. Вариационная формулировка задачи на «грубом» масштабе
- 2. 3. Дискретная постановка задачи на «грубом» масштабе
- 2. 4. Вычисление локальных матриц жесткости суперэлемента
- 2. 4. 1. Кубатурные формулы Гаусса
- 2. 4. 2. Кубатурные формулы для тетраэдра
- 2. 4. 3. Выбор кубатурной формулы
- 2. 5. Многомасштабные базисные функции
- 2. 5. 1. Краевое условие для вычисления многомасштабных функций
- 2. 5. 2. Вариационные постановки задач на «мелком» масштабе
- 2. 5. 3. Дискретные постановки задач на «мелком» масштабе
- 2. 5. 4. Физичность решения при правильном вычислении базисных функций
- 3. 1. Моделирование сред с непериодической структурой
- 3. 1. 1. Алгоритм
- 3. 1. 2. Структура
- 3. 1. 3. Параллельная реализация
- 3. 2. Моделирование сред с периодической структурой
- 3. 2. 1. Алгоритм
- 3. 2. 2. Параллельная реализация
- 3. 3. Верификация программных комплексов
- 4. 1. Вычисление полного тока
- 4. 1. 1. Выбор кубатурной формулы
- 4. 2. Сравнение с аналитическими формулами
- 4. 3. Эффективное удельное электрическое сопротивление
- 4. 3. 1. Влияние способа изменения пористости
- 4. 3. 2. Влияние формы включений
- 4. 3. 3. Влияние ориентации включений
- 4. 3. 4. Влияние площади поверхности включений
- 4. 4. Сравнение с физическими экспериментами
- 4. 4. 1. Непроводящие стержни
- 4. 4. 2. Однородный материал
- 4. 4. 3. Стальная дробь
- 4. 4. 4. Медная проволока
Список литературы
- Артемьев M.K. Multiscale3D: Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2 011 618 349, авторы Артемьев М. К., Эпов М. И., Шурина Э.П.- правообладатель: ИНГГ СО РАН- заявка № 2 011 616 308- поступила 22.08.11- зарегистрирована 21.10.11.
- Баландин М.Ю. Методы решения СЛАУ большой размерности Текст. / М. Ю. Баландин, Э. П. Шурина. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000. -70 с.
- Бахвалов Н.С. Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстроосциллирующими коэффициентами Текст. / Н. С. Бахвалов // ДАН СССР. 1975. — Т. 221. — № 3. — С. 516−519.
- Волков Е.А. Численные методы Текст. / Е. А. Волков М.: Наука, 1987.- 248 с.
- Галанин М.П. Локальная гладкость и асимптотика решения метода конечных суперэлементов в угловых точках разбиения: Отчет Текст. / М. П. Галанин, С. А. Лазарева. М.: Институт Прикладной Математики им. М. В. Келдыша РАН, 2008.
- Галанин М.П. О связи метода конечных суперэлементов Федоренко и проекционных методов: Отчет Текст. / М. П. Галанин, Е. Б. Савенков. -М.: Институт Прикладной Математики им. М. В. Келдыша РАН, 2001.
- Жуков В.Т. Метод конечных суперэлементов в задачах конвекции-диффузии Текст. / В. Т. Жуков, Н. Д. Новикова, Л. Г. Страховскаяи др. // Математическое моделирование. 2002. — Т. 14. — № 11. -С. 78−92.
- Копысов С.П. Об одном методе определения эффективных упругих характеристик композитов с помощью вейвлет-преобразования Текст. / С. П. Копысов, Ю. А. Сагдеева // Интеллектуальные системы в производстве. 2007. — Т. 1. — С. 49−61.
- Лацис А.О. Параллельная обработка данных Текст. / А. О. Лацис. -Академия, 2010. 336 с.
- Митчелл Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными Текст. / Э. Митчелл, Р. Уэйт. М.: «Мир», 1981. — 216 с.
- Нестерова Г. В. Математические модели электропроводности двухкомпо-нентных сред и формула Арчи (по материалам публикаций) Текст. / Г. В. Нестерова // Каротажник. 2008. — № 10. — С. 81−101.
- Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний Текст. / Э. Санчес-Паленсия. М.: «Мир», 1984. — 472 с.
- Снарский A.A. Процессы переноса в макроскопически неупорядоченных средах: От теории среднего поля до перколяции. Текст. / A.A. Снарский, И. В. Безсуднов, В. А. Севрюков М.: Издательство ЛКИ, 2007. — 299 с.
- Страховская Л.Г. Об одной специальной разностной схеме Текст. / Л. Г. Страховская, Р. П. Федоренко // Численные методы механики сплошной среды. 1976. — Т. 7. — № 4. — С. 149−163.
- Эпов М.И. Численная гомогенизация многомасштабных гетерогенных сред Текст. / М. И. Эпов, Э. П. Шурина, М. К. Артемьев // Геофизический журнал, Институт геофизики HAH Украины. 2012. — Т. 34. -№ 4. — С. 16−21.
- Эпов М.И. Численная гомогенизация электрических характеристик сред с контрастными мелкомасштабными включениями Текст. / М. И. Эпов, Э. П. Шурина, М. К. Артемьев // Доклады Академии Наук. 2012. -Т. 442. — № 1. — С. 188−120.
- Aarnes J.E. Coarsening of three-dimensional structured and unstructured grids for subsurface flow Text. / J.E. Aarnes, V.L. Hauge, Y. Efendiev // Advances in Water Resources. 2007. — Vol. 30. — no. 11. — P. 2177−2193.
- Abdulle A. The Finite Element Heterogeneous Multiscale Method: a computational strategy for multiscale PDEs Text. / A. Abdulle // Math. Sci. Appl. 2009. — Vol. 31. — P. 133−181.
- Allaire G. A multiscale finite element method for numerical homogenization Text. / G. Allaire, R. Brizzi // SIAM MMS. 2005. — Vol. 4. — P. 790−812.
- Arbogast T. Numerical subgrid upscaling of two-phase flow in porous media Text. / T. Arbogast // Lecture Notes in Physics, Chen, Ewing, and Shi, editors. 1999. — P. 1−15.
- Archie G. The Electrical Resistivity Log as an Aid in Determining Some Reservoir Characteristics Text. / G. Archie // Transactions of the AIMME.- 1942. Vol. 146. — P. 54−62.
- Babuska I. Stable Generalized Finite Element Method (SGFEM): Tech. Rep. Text. / I. Babuska, U. Banerjee ICES, The University of Texas at Austin, 2011.
- Babuska I. Superconvergence in the generalized finite element method Text. / I. Babuska, U. Banerjee, J.E. Osborn // Numer. Math. 2007.- Vol. 107. P. 353−395.
- Babuska I. Special finite element methods for a class of second order elliptic problems with rough coefficients Text. / I. Babuska, G. Caloz, J.E. Osborn // SIAM J. Numer. Anal. 1994. — Vol. 31. — P. 945−981.
- Babuska I. Optimal Local Approximation Spaces for Generalized Finite Element Methods with Application to Multiscale Problems: Tech. Rep.
- Text. / I. Babuska, R. Lipton. ICES, The University of Texas at Austin, 2010.
- Babuska I. The Partition of Unity Method Text. / I. Babuska, M. Melenk // Int. J. Numer. Meths. Eng. 1997. — Vol. 40. — P. 727−758.
- Babuska I. Generalized finite element methods: Their performance and their relation to mixed methods Text. / I. Babuska, J.E. Osborn // SIAM J. Numer. Anal. 1983. — Vol. 20. — P. 510−536.
- Banks H. Homogenization of Periodically Varying Coefficients in Electromagnetic Materials: Tech. Rep. Text. / H. Banks, V. Bokil, D. Cioranescu et al. SAMSI, 2005.
- Bensoussan A. Asymptotic analysis for periodic structures Text. / A. Bensoussan, J. Lions, G. Papanicolaou. North-Holland, 1978. — p. 721.
- Brandt A. Multi-Level Adaptive Solutions to Boundary-Value Problems Text. / A. Brandt // Mathematics of Computation. 1977. — Vol. 31. -no. 138. — P. 333−390.
- Brezzi F. b = J g Text. / F. Brezzi, L. Franca, T. Hughes et al. // Comput. Methods of Appl. Mech. Engrg. 1997. — Vol. 145. — P. 329−339.
- Carstensen C. Computational Electromagnetics Text. / C. Carstensen, S. Funken, R. Hoppe et al. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 2003. — Vol. 28 of Lecture Notes in Computational Science and Engineering. -p. 210.
- Chu C.-C. A New Multiscale Finite Element Method for High-Contrast Elliptic Interface Problems Text. / C.-C. Chu, I. Graham, T. Hou // Math. Comput. 2010. — Vol. 79. — no. 272. — P. 1915−1955.
- E W. The heterogeneous multiscale methods Text. / W. E, B. Engquist // Comm. Math. Sei. 2003. — Vol. 1. — no. 1. — P. 87−132.
- E W. Multiscale Modeling and Computation Text. / W. E, B. Engquist // Notices of the AMS. 2003. — Vol. 50. — no. 9. — P. 1062−1070.
- E W. Analysis of the heterogeneous multiscale method for elliptic homogenization problems Text. / W. E, P. Ming, P. Zhang // Journal of the American Mathematical Society. 2004. — Vol. 18. — no. 1. — P. 121−156.
- Efendiev Y.R. Accurate multiscale finite element methods for two-phase flow simulations Text. / Y.R. Efendiev, V. Ginting, T. Hou et al. //J. Comput. Phys. 2006. — Vol. 220. — P. 155−174.
- Efendiev Y.R. Multiscale finite element methods: Theory and applications Text. / Y.R. Efendiev, T.Y. Hou. Springer, New York, 2009. — p. 234.
- Efendiev Y.R. Convergence of a nonconforming multiscale finite element method Text. / Y.R. Efendiev, T.Y. Hou, X.-H. Wu // SIAM J. Numer. Anal. 2000. — Vol. 37. — no. 3. — R 888−910.
- Galanin M. Fedorenko finite superelement method and its applications Text. / M. Galanin, S. Lazareva, E. Savenkov // Computational methods in applied mathematics. 2007. — Vol. 7. — no. 1. — P. 3−24.
- Gilbert A. A Comparison of Multiresolution and Classical One-dimensional Homogenization Schemes Text. / A. Gilbert // Applied and computational harmonic analysis. 1998. — Vol. 5. — P. 1−35.
- Glover P.W. A modified Archie’s law for two conducting phases Text. / P.W. Glover, M.J. Hole, J. Pous // Earth and Planetary Science Letters. -2000. Vol. 180. — P. 369−383.
- Harter T. Effective conductivity of periodic media with cuboid inclusions Text. / T. Harter, C. Knudby // Advances in Water Resources. 2004. -Vol. 27. — P. 1017−1032.
- Hashin Z. A variational approach to the theory of the effective magnetic permeability of multiphase materials Text. / Z. Hashin, S. Shtrikman // Journal of Applied Physics. 1962. — Vol. 33. — no. 10. — P. 3125−3131.
- Horstemeyer M. Multiscale Modeling: A Review Text. / M. Horstemeyer- Ed. by J. Leszczynski, M. Shukla. Springer Science Business Media B.V., 2009. — P. 87−135.
- Hou T.Y. A Multiscale Finite Element Method for Elliptic Problems in Composite Materials and Porous Media Text. / T.Y. Hou, X.-H. Wu // Journal of Computational Physics. 1997. — Vol. 134. — P. 169−189.
- Hou T.Y. Convergence of a multiscale finite element method for elliptic problems with rapidly oscillating coefficients Text. / T.Y. Hou, X.-H. Wu, Z. Cai // Mathematics of Computation. 1999. — Vol. 68. — no. 227. — P. 913 943.
- Hou T.Y. Removing the cell resonance error in the multiscale finite element method via a Petrov-Galerkin formulation Text. / T.Y. Hou, X.-H. Wu, Y. Zhang // Comm. Math. Sci. 2004. — Vol. 2. — no. 2. — P. 185−205.
- Hughes T.J. Multiscale phenomena: Green’s functions, the Dirichlet-to-Neumann formulation, subgrid scale models, bubbles and the origins of stabilized methods Text. / T.J. Hughes // Comp. Meth. Appl. Mech. Engrg.- 1995. Vol. 127. — P. 387−401.
- Hughes T.J. Stabilized Methods for Compressible Flows Text. / T.J. Hughes, G. Scovazzi, T.E. Tezduyar //J. Sci. Comput. 2010. — Vol. 43. — P. 343−368.
- Jenny P. Multi-scale finite-volume method for elliptic problems in subsurface flow simulation Text. / P. Jenny, S. Lee, H. Tchelepi // Journal of Computational Physics. 2003. — Vol. 187. — P. 47−67.
- Karkkainen K. Analysis of a Three-Dimensional Dielectric Mixture with Finite Difference Method Text. / K. Karkkainen, A. Sihvola, K. Nikoskinen // IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing.- 2001. Vol. 39. — no. 5. — P. 1013−1018.
- Kosturski N. Numerical Homogenization of Bone Microstructure Text. / N. Kosturski, S. Margenov- Ed. by I. Lirkov, S. Margenov, J. Wasniewski.- Springer, 2010. Vol. 5910 of Lecture Notes in Computer Science. -P. 140−147.
- Kristensson G. Homogenization of spherical inclusions Text. / G. Kristensson // Progress In Electromagnetics Research. 2003. -Vol. 42, — P. 1−25.
- Lee S. Finite difference simulation of geologically complex reservoirs with tensor permeabilities Text. / S. Lee, L. Durlofsky, M. Lough et al. // SPERE k E. 1998. — P. 567−574.
- Lee S. Implementation of a flux continuous finite-difference method for stratigraphic, hexahedron grids Text. / S. Lee, H. Tchelepi, P. Jenny et al. // SPE J. 2002. — P. 269−277.
- Matache A.-M. Two-Scale FEM for Homogenization Problems: Tech. Rep. Text. / A.-M. Matache, C. Schwab. Seminar for Applied Mathematics, ETH-Zentrum, 2001.
- Ming P. Numerical methods for multiscale elliptic problems Text. / P. Ming, X. Yue // Journal of Computational Physics. 2006. — Vol. 214. — P. 421−445.
- Oden J.T. Estimation of Local Modeling Error and Goal-Oriented Adaptive Modeling of Heterogeneous Materials- Part I: Error Estimates and Adaptive Algorithms Text. / J.T. Oden, K. Vemaganti // J. Comp. Physics. 2000.- Vol. 164. P. 22−47.
- Pavliotis G.A. Multiscale methods: Averaging and Homogenization Text. / G.A. Pavliotis, A.M. Stuart. Springer, 2007. — p. 307.
- Picasso M. Multiscale algorithm with pathces of finite elements Text. / M. Picasso, J. Rappaz, V. Rezzonico // Commun. Numer. Meth. Engng.- 2008. Vol. 24. — P. 477−491.
- Runborg O. Wavelets and Wavelet Based Numerical Homogenization Text. / O. Runborg- Ed. by B. Engquist, P. Lotstedt, O. Runborg. Springer, 2009.- Vol. 66 of Lecture Notes in Computational Science and Engineering. -P. 195−235.
- Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems Text. / Y. Saad. -Philadelphia: SIAM, 2003. p. 447.
- Sangalli G. Capturing small scales in elliptic problems using a residual-free bubbles finite element method Text. / G. Sangalli // Multiscale Model. Simul. 2003. — Vol. 1. — P. 485−503.
- Sihvola A. Electromagnetic Mixing Formulas and Applications Text. / A. Sihvola. London: Institution of Electrical Engineers, 1999.
- Zhang H. A new multiscale computational method for elasto-plastic analysis of heterogeneous materials Text. / H. Zhang, J. Wu, J. Lv // Comput. Mech.- 2011. Vol. 49. — no. 2. — P. 149−169.