Освещенность поверхности изотропным излучением

Найдем зависимость между плотностью энергии w изотропного излучения и освещенностью Е какой-либо поверхности таким излучением.

Рис. 16.2. К выводу формулы I — cw.

Рассмотрим сначала плоскую электромагнитную волну, плотность энергии которой равна w, а интенсивность — /. Построим воображаемый прямой цилиндр, образующая которого совпадает с направлением распространения волны (рис. 16.2). Пусть S — площадь основания этого цилиндра, а его длина равна cdt, т. е. расстоянию, которое преодолевает электромагнитная волна за время dt. Но определению интенсивность равна среднему по времени значению энергии, которую переносит волна за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны. В соответствии с этим определением, энергия излучения, выходящего из цилиндра за время dt, равна IS dt С другой стороны, эта энергия принадлежит излучению, которое заполняло объем цилиндра, и, переместившись на расстояние cdt, вышло из него в течение времени dt. Энергия излучения, заполняющего некоторую область пространства, равна произведению плотности энергии w на объем этой области. В рассматриваемом случае энергия излучения внутри цилиндра будет wScdt. Приравняем эти два выражения для энергии. Получим формулу.

связывающую плотность энергии и интенсивность плоской электромагнитной волны.

Рис. 16.3. Волны изотропного излучения, которые распространяются вдоль лучей, лежащих внутри «узкого» конуса, образуют почти плоскую волну.

Рассмотрим теперь изотропное электромагнитное излучение, заполняющее небольшой объем пространства V. Это излучение можно рассматривать как совокупность плоских электромагнитных волн, распространяющихся во всевозможных направлениях. Выделим при помощи ''узкого" конуса часть волн, направления распространения которых лежат внутри этого конуса (рис. 16.3). Если телесный угол dCl конуса достаточно мал, то выделенные волны образуют почти плоскую волну, интенсивность dl которой согласно формуле (16.20) пропорциональна плотности энергии dw:

Плотность энергии w изотропного излучения в рассматриваемом объеме принадлежит волнам всех направлений, т. е. соответствует полному телесному углу 4л-. Для изотропного излучения его энергия распределена равномерно, но всем направлениям. Поэтому.

При этом интенсивность излучения, направления распространения которого лежат внутри конуса с телесным углом dQ. будет.

Пусть на плоскую поверхность площадью dS падает изотропное излучение. Достаточно ''узкий" конус выделяет в этом излучении часть волн, направления распространения которых почти совпадают (рис. 16.4). Эти волны образуют почти плоскую волну. Вследствие этого, энергия, которую они сообщают поверхности за время dt, будет равна произведению их интенсивности dl на площадь dS cos в поперечного сечения пучка рассматриваемых лучей и на время dt:

где в — угол падения волн на поверхность, т. е. угол между направлением распространения волн и нормалью к поверхности.

Рис. 16.4- К вычислению энергии излучения, падающего на поверхность.

Направление луча, падающего на поверхность, удобно задать при помощи сферических уголов <�р и в. При этом телесный угол dQ можно выразить через угол в и приращения углов dtp и d$. Для этого построим сферу произвольного радиуса R (рис. 16.5).

Рис. 16.5. К вычислению телесного угла dQ.

" Вырежем" из поверхности сферы небольшую часть площадью dS_C9. Телесный угол dQ, под которым видна эта часть поверхности сферы из ее центра, по определению равен отношению ее площади к квадрату радиуса сферы:

Два конуса с углами раствора в и Q+dO вырезают из сферы часть, называемую шаровым поясом. Площадь пояса равна произведению его ширины R dO на длину 2 тг R sin 0:

Две плоскости, проходящие через ось z и образующие с осью х углы (р и p + d

вырезают из шарового пояса небольшую часть, площадь которой.

Таким образом, формула (16.23) приводит к выражению.

Используя формулы (16.21) и (16.24), получим следующее выражение для энергии (16.22) той части изотропного излучения, которая падает на площадь dS за время dt в пределах телесного угла dQ:

Так как для падающих на поверхность dS лучей угол 0 изменяется в пределах от 0 до тг/2, а угол - от 0 до 2 7 Г, энергия излучения, упавшего на эту поверхность из полупространства (т.е. из телесного угла 2 л-) за время dt, будет.

Из этого равенства с учетом определения освещенности.

следует, что освещенность поверхности изотропным излучением связана с плотностью энергии этого излучения соотношением.

Аналогичное соотношение справедливо для спектральных величин.