Метод узловых напряжений (потенциалов)

Метод узловых напряжений базируется на первом законе Кирхгофа. В цепи выделяются потенциальных узлов, последнийй узел объявляется базисным (ему присваивается нулевой потенциал, он отмечается символом «земля»), а для остальных задаются узловые напряжения (потенциалы) с положительным направлением в базисный узел.

Через узловые напряжения с помощью закона Ома и второго закона Кирхгофа выражаются токи всех ветвей цепи, которые подставляются в уравнений первого закона Кирхгофа, в результате получается система уравнений метода узловых напряжений.

Рассмотрим цепь, схема которой показана на рис. 2.2 при указанных для нее исходных данных. Схема цепи с обозначенными узловыми напряжениями и для потенциальных узлов, обозначенных цифрами 1 и 2 в кружках, приведена на рис. 2.9, нижний узел обозначен как базисный (с номером 0) и отмечен символом «земля».

Рис. 2.9.

Выразим комплексные амплитуды токов ветвей через узловые напряжения. Для контура по второму закону Кирхгофа, тогда по закону Ома.

.

Для тока получим.

.

а для контура по второму закону Кирхгофа и закону Ома получим.

.

Для ветвей и из закона Ома следует.

и .

Уравнения первого закона Кирхгофа для цепи на рис. 2.9 имеют вид.

Подставляя в них найденные токи ветвей, получим систему уравнений метода узловых напряжений

Из второго уравнения выразим :

.

и подставим результат в первое уравнение.

.

из которого определим узловое напряжение в виде.

.

Проведя алгебраические преобразования и перегруппировку слагаемых, окончательно получим.

.

Если обратиться к проведенному ранее расчету цепи методом контурных токов, нетрудно убедиться, что. Тот же результат следует и из расчета общим методом на основе уравнений Кирхгофа (формулы (2.1) и (2.9)).

Подставляя в выражение для, получим.

.

Численное решение системы уравнений по методу узловых напряжений можно провести в пакете программ MathCAD2001, как показано на рис. 2.10. Как видно, полученные узловые напряжения В и В совпадают с напряжениями на элементах и, полученными ранее общим методом расчета.

Рис. 2.10.