Несимметричные колебания. 
Теория автоматического управления. 
Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы

Колебания на входе нелинейного звена (НЗ) будут несимметричными, если установившаяся ошибка отлична от нуля или характеристика НЗ является несимметричной относительно начала координат. Здесь мы ограничимся случаем, когда характеристики НЗ являются симметричными относительно начала координат и несимметричность колебаний обуславливается только наличием ненулевой установившейся ошибки. При этом принимается, что установившаяся ошибка является постоянной.

В этом случае на входе НЗ (см. рис. 3.1) имеем е = е° 4- Asmcut. Отсюда находим

На выходе НЗ после гармонической линеаризации имеем.

Положив <�т° = ао/2 и подставив сюда выражения для синуса и косинуса, получим где

Сделав замену переменных ф = ut в формулах для коэффициентов Фурье и подставив их в последние выражения, найдем.

Вычисление коэффициентов гармонической линеаризации.

В этом случае коэффициенты гармонической линеаризации вычисляются так же, как и при симметричных колебаниях.

Кусочно линейная характеристика с насыщением — выходной сигнал НЗ на интервалах [0,^1], [Ф2уФз] и [^4>2тг] описывается функцией к (е° + Л sin ф), а на интервалах [ф 1,^2] и [^з"^] принимает постоянные значения си —с соответственно (рис. 3.10). Поэтому.

формулы (3.15) для коэффициентов гармонической линеаризации принимают вид.

Из рис. 3.10, а имеем.

Рис. 3.10. Несимметричные колебания на входе и выходе НЗ с кусочно линейной характеристикой с насыщением.

Отсюда получаем.

Проинтегрировав полученные выше выражения для коэффициентов гармонической линеаризации, с учетом последних выражений получим.

Релейная характеристика с зоной нечувствительности и гистерезисом — на рис. 3.11 представлены кривые входного и выходного сигналов НЗ. Из рис. 3.11,6 следует, что выходной сигнал НЗ на интервалах [0, *0i], [^2"^з] и [|/>4,27г] равен нулю, а на интервалах [ipufa] и [^з> Ф4] при;

Рис. 3.11. Несимметричные колебания на входе и выходе НЗ с релейной характеристикой с зоной нечувствительности и гистерезисом нимает постоянные значения с ис соответственно. Поэтому формулы для коэффициентов гармонической линеаризации принимают вид.

Для пределов интегрирования (см. рис. 3.11, а) имеем.

Проинтегрировав полученные выше выражения для коэффициентов гармонической линеаризации, с учетом последних выражений получим.

Л. п п. п

Релейную характеристику с гистерезисом (см. рис. 2.1, в) можно рассматривать как релейную характеристику с зоной нечувствительности и гистерезисом при, а = -6. Поэтому, сделав подстановку, а = -Ь в формулы (3.16), получим.

Релейная характеристика с зоной нечувствительности (см. рис. 2.1,6) является частным случаем релейной характеристики с зоной нечувствительности и гисЛюфт. Характеристика и кривые входных и выходных сигналов НЗ представлены на рис. 3.12. Из рис. 3.12, б следует, что выход.

ной сигнал НЗ на интервалах [0, 7г/2] и [ip2, 27г] описывается функцией /с (е° + Л sin^> - а), на интервале {ф_у Зл-/2] — функцией k (e° + Asinrp + а), на интервалах [7г/2, ^l] и [37г/2, ^г].

Рис. 3.12. Несимметричные колебания на входе и выходе НЗ с люфтом.

терезисом при b = а. Поэтому, сделав подстановку 6 = а в формулы (3.16а)-(3.16в), получим.

Идеальная релейная характеристика (см. рис. 2.1, а) является частным случае релейной характеристики с зоной нечувствительности при, а = 0. Поэтому, сделав подстановку, а = 0 в предыдущие формулы, получим.

принимает постоянные значения к (е° + А — а) и к (е° — А + а) соответственно. Поэтому формулы (3.15) для коэффициентов гармонической линеаризации принимают вид.

Справедливы следующие равенства (см. рис. 3.12, а): Отсюда получаем.

Проинтегрировав полученные выше выражения для коэффициентов гармонической линеаризации, с учетом этих выражений получим.

Полученные выше коэффициенты гармонической линеаризации при несимметричных колебаниях для нелинейных звеньев с однозначной характеристикой сведены в табл. 3.3, а с неоднозначной характеристикой — в табл. 3.4.