Основные сведения из теории вероятностей и математической статистики

Основные сведения из теории вероятностей и математической статистики

Большинство экономических показателей, с которыми приходится работать, можно рассматривать как случайные величины, принимающие в итоге опыта случайные значения.

Для того чтобы прогнозировать поведение случайной величины, нам нужно знать ее закон распределения: ряд распределения, функцию распределения F (x) или плотность распределения f (x). В некоторых случаях вид закона распределения предсказывает. Другой путь получения закона распределения — проведение и обработка эксперимента над случайной величиной X.

Проводится n экспериментов (наблюдений) над случайной величиной X. В каждом из них случайная величина принимает какое-то из своих возможных значений. В результате получаем n чисел.

{x ₁, x ₂, x ₃,…, x _n}.

Каждое число называется «варианта»,.

все они вместе образуют «выборку»,.

n — «объем выборки».

Закон распределения — это соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями того, что она примет эти значения. Но вероятность этих возможных значений мы можем найти экспериментально как относительную частоту.

W (A)=m/n,.

n — число опытов,.

m — число появлений интересующего нас события).

Рассмотрим дискретную случайную величину X. В опытах ее значения могут повторяться. Для каждого опытного значения x _i найдем его частоту n _i и относительную частоту w _i = n _i / n. Если записать в таблицу варианты x _i и их частоты w _i, то получим представление о ряде распределения:

Для любой случайной величины универсальным способом задания закона распределения является функция распределения F (x). По определению, функция распределения — это вероятность попадания случайной величины в область, лежащую слева от аргумента x: F (x) = P (X.

Из эксперимента мы можем найти относительную частоту попадания в область, лежащую слева от аргумента, и это будет эмпирическая или статистическая функция распределения:

F*(x) = W (X.

Если построить график статистической функции распределения F*(x), то это будет изображенная справа ступенчатая фигура, которая позволяет получить представление о характере теоретической функции распределения F (x).

Для непрерывной случайной величины закон распределения задается в виде плотности распределения f (x). Вероятность попадания случайной величины в любой интервал (a, b) — это площадь под графиком плотности, опирающаяся на интервал (a, b).

Если в эксперименте подсчитать относительную частоту w _i попадания в разные интервалы и построить прямоугольники соответствующей площади, то полученная фигура (гистограмма) покажет нам, какой должна быть плотность распределения.

Общее замечание: В опытах мы получаем только часть информации о случайной величине. В выборку попадает только часть возможных значений случайной величины, и относительная частота дает только приблизительное значение вероятности. Значит и закон распределения мы получаем из опыта не точно, а приблизительно.

У любой случайной величины есть числовые характеристики:

математическое ожидание, мода, медиана;

дисперсия, среднеквадратическое отклонение и т. д.

Их мы тоже можем определить по опытным данным и тоже только приблизительно. Числа, которые мы подсчитаем по опытным данным и возьмем вместо математического ожидания, дисперсии и т. д., называют точечными оценками параметров распределения.

Числовые характеристики выборки:

Выборочная средняя .

Статистическая мода m _o — варианта с наибольшей частотой Статистическая медиана m _e — варианта стоящая посередине вариационного ряда.

Статистические дисперсия D_в и среднеквадратическое отклонение _в (характеризуют разброс данных в выборке):

Удобнее пользоваться вспомогательной формулой:

Точечные оценки параметров распределения:

Найденные числовые характеристики выборки используют для оценки параметров распределения.

Статистической оценкой для математического ожидания служит выборочная средняя:

Статистической оценкой для дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия:

Статистической оценкой для среднеквадратического отклонения служит исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение:

статистический распределение интервальный функция Интервальная оценка параметров распределения Точное значение математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения мы найти по опытным данным в принципе не можем, так как в опытах мы получаем только часть информации о случайной величине.

При отыскании интервальных оценок определяется граница интервалов, между которыми с определенной долей вероятности можно предполагать, что там находится истинное значение изучаемого параметра.

Когда вместо математического ожидания мы берем из опыта выборочную среднюю, мы допускаем погрешность. Оценить ее можно с помощью доверительного интервала. Выбирается интервал и находится доверительная вероятность — вероятность того, что истинное значение математического ожидания лежит в этом интервале. Имеются формулы, по которым для заданного находят величину и положение доверительного интервала:

s (1-q) _x s (1+q).