Задачи линейной алгебры

Вычисление определителя матрицы nЧn

Для введения матрицы в документ можно вывести панель векторов и матриц (vector and matrix toolbar), а затем выбрать шаблон матрицы (matrix or vector). Также можно воспользоваться командой Matrix меню Insert (вставка).

Матрица — математический объект в виде таблицы, который характеризуется числом строк (rows) и столбцов (columns). В Mathcad элементами матрицы могут быть числа, константы, переменные и даже математические выражения. При введении шаблона матрицы в документ появляется диалоговое окно, в котором необходимо ввести размерность матрицы, то есть число ее строк и столбцов.

Шаблон, введённый в документ, содержит места ввода элементов матрицы. Место ввода можно сделать активным, щёлкнув на нём мышью. С помощью клавиш перемещения курсора можно ввести все элементы матрицы.

Обращение к элементам матрицы производится с помощью имени матрицы и индексов элемента. Индексы вводятся с помощью клавиши «]» и разделяются запятой. Первый индекс соответствует номеру строки, а второй — номеру столбца матрицы, содержащей элемент.

Нижняя граница индексов по умолчанию начинается с нуля. Она определяется встроенной переменной ORIGIN, которую можно поменять с помощью команды Options меню Math.

Для работы с векторами и матрицами система Mathcad поддерживает ряд операторов и функций. Здесь мы рассмотрим основные из них.

Сначала напомним, что называется определителем.

Понятие определителя вводится только для квадратных матриц, то есть матриц с равным числом строк и столбцов. Число строк (столбцов) определяет порядок квадратной матрицы, и этот же порядок присваивается соответствующему матрице определителю.

Определителем первого порядка называется число |a₁₁| = a₁₁.

Определителем второго порядка называется число.

Гдеэлементы матрицы, определитель которой нужно вы-числить.

Определитель третьего порядка — это число.

Вычисление определителей четвертого и последующих порядков сводится к вычислению определителей второго и третьего порядков.

Порядок определителя? это число его строк и столбцов.

Определителем nго порядка называется число, вычисленное по определенным правилам на основе чисел, заданных квадратной таблицей из n строк и n столбцов.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

Матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной. Ее определитель равен единице.

Матрица называется вырожденной, если её определитель равен нулю.

Примерами вырожденных матриц являются матрицы, содержащие строки или столбцы из одних нулевых элементов, матрицы, имеющие два одинаковых столбца или две одинаковых строки.

Матрицы, все элементы которой выше главной диагонали или ниже главной диагонали равны нулю, называется треугольной.

Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на ее главной диагонали.

В Mathcad имеется возможность вычислять определитель любой матрицы и с любой заданной точностью вычислений.

Определитель матрицы вычисляется с помощью оператора «|A|», где.

А — заданная в задаче матрица.

Например, операция вычисления определителя в Mathcad запишется в виде двух операций, а именно, задания матрицы А и вывода ее определителя (сами действия по вычислению определителя при этом не отображаются на экране):