В обычных семантических сетях термины считаются понятиями и интерпретируются как множества — экстенсионалы этих понятий. Если L — язык семантических сетей, термины которого интерпретируются как произвольные множества, то произвольная интерпретация I языка L (V) включает:
- * универсум U I — непустое множество, подмножества которого служат значениями терминов в этой интерпретации (таким образом, D I = { X | XU I});
- * назначение каждому термину АV некоторого подмножества A IU I (таким образом, A ID I, и мы имеем отображение из V в D I);
- * назначение каждому отношению бR некоторого подмножества б ID ID I, причем выбор этого подмножества зависит только от выбора универсума U I, но не зависит от выбора значений, А I для терминов AV.
Таким образом, можно сказать, что имя бR интерпретируется как функтор Fб, который каждому множеству U сопоставляет бинарное отношение Fб(U), заданное на подмножествах множества U: Fб(U) 2U = {X | XU}.
Естественно считать, что интерпретация предложений языка семантических сетей не должна зависеть от того, какие имена выбраны для элементов универсума интерпретации. Формально это можно выразить в виде следующего свойства инвариантности:
* Пусть существует биекция U на V, сопоставляющая каждому элементу xU элемент x’V и, значит, также сопоставляющая каждому подмножеству ZU подмножество Z’V. Тогда для любых X, YU должна выполняться эквивалентность (X, Y) Fб(U) (X', Y')Fб(V).
Функтор Fб действует из категории множеств Set в Set.
Замечание. Определяя функтор Fб, следует также определить значения Fб(g) этого функтора на морфизмах g категории Set (т.е. на отображениях множеств) и показать, что Fб сохраняет композицию: Fб(f?g) = Fб(f)?Fб(g). Естественно определить отображение Fб(g) как такое, которое индуцируется на парах множеств отображением g, т. е. Fб(g)(X, Y)= (gX, gY), где gZ= {g (z) | zZ}.
Свойство инвариантности функтора Fб означает, очевидно, что Fб(U) = Fб(V), если существует изоморфизм (т.е. биекция) g: U>V.
Данное выше определение функтора Fб, ассоциированного с именем бинарного отношения, совпадает, в сущности, с определением обобщенного квантора типа по П. Линдстрёму [Lindstrцm] (см. также [Westerstahl]).
Свойство инвариантности функтора Fб означает, очевидно, что Fб(U) = Fб(V), если существует изоморфизм (т.е. биекция) g: U>V. Поэтому обобщенные кванторы фактически определяются через мощности множеств.
В дальнейшем вместо (X, Y) Fб(U) будем писать короче X б Y (предполагая, что универсум U известен из контекста).
Примеры обобщенных кванторов: (1) Бинарные отношения a, i, e, o в логике Аристотеля являются обобщенными кванторами. Например, для отношения, а имеем: X a Y df XY X Y= |X Y| = 0; (2) X more Y df |X| > |Y|; (3) X 3 Y df |XY| = 3.
