Модель Брауна (модель экспоненциального сглаживания)

Модель Брауна может отображать развитие не только в виде линейной тенденции, но также в виде случайного процесса, не имеющего тенденции, а также в виде изменяющейся параболической тенденции. Соответственно различают модели Брауна:

* нулевого порядка, которая описывает процессы, не имеющие тенденции развития. Она имеет лишь один параметр а0 (оценка текущего уровня). Прогноз развития на? шагов вперед осуществляется согласно формуле . Такая модель еще называется «наивной» («будет, как было»). Доверительный интервал прогноза получают по формуле^[1] ;

• первого порядка .Коэффициент значение, близкое к последнему уровню, и представляет как бы закономерную составляющую этого уровня. Коэффициент определяет прирост, сформировавшийся в основном к концу периода наблюдений, но отражающий также (правда, в меньшей степени) скорость роста на более ранних этапах. Прогноз осуществляется по формуле . Доверительный интервал прогноза получают по формуле.

• второго порядка, отражающую развитие в виде параболической тенденции с изменяющимися «скоростью» и «ускорением». Она имеет три параметра ( — оценка текущего прироста или «ускорение»). Прогноз осуществляется по формуле

Рассмотрим этапы построения линейной адаптивной модели Брауна.

Этап 1. По первым пяти точкам временного ряда оцениваются значения и параметров модели с помощью метода наименьших квадратов для линейной аппроксимации по формуле.

Этап 2. С использованием параметров и , которые соответствуют нулевому моменту времени, по модели Брауна находим прогноз на первый шаг (? =1):

Этап 3. Расчетное значение экономического показателя сравнивают с фактическим значением и находят величину отклонения :

Для всех остальных членов ряда отклонение (остаточная компонента) находится по формуле , которое используют для корректировки параметров модели в соответствии с принятой схемой.

Этап 4. Корректируют параметры модели и по следующим формулам:

(5.23).

где? — коэффициент дисконтирования данных, отражающий большую степень доверия более поздним наблюдениям; а — параметр сглаживания (). Оптимальное значение? находится итеративным путем, т. е. многократным построением модели при разных значениях? и выбором наилучшей. Параметры вычисляются последовательно, от уровня к уровню, и их значения для последнего уровня определяют окончательный внд модели.

Этап 5. По модели со скорректированными параметрами находят прогноз на следующий момент времени ():

Этап 6. Возврат на пункт 3, если t = n.

Если t = п, то построенную модель можно использовать для прогнозирования на будущее. Точечный прогноз рассчитывается по формуле.

Пример 5.3. Построим прогноз по линейной модели Брауна.

По имеющейся информации (у в табл. 5.6) об объемах продаж нового товара (тыс. руб.) в течение 35 недель построить адаптивную модель Брауна с линейной тенденцией. Построить прогноз на три шага вперед, используя значение параметра сглаживания 0,3. Результаты моделирования и прогнозирования привести на графике.

Таблица 5.6

1) По первым пяти точкам временного ряда оцениваются значения и параметров модели с помощью метода наименьших квадратов для линейной аппроксимации:

Получаем начальные значения параметров модели и , которые соответствуют моменту времени t = 0.

• 2) С использованием параметров и по модели Брауна находим прогноз на первый шаг () :
• 3) Находим величину отклонения:

Все расчеты в табл. 5.7 показаны для

4) Корректируем параметры модели и по следующим формулам:

Таблица 5.7

Оценка параметров модели Брауна

t	yt	a0	a1
		16,68.	10,48.
	27,3.	27,231.	10,493.	27,160.	0,140.	0,513.
	41.8.	39,803.	10,859.	37,724.	4,076.	9,751.
	42,8.	46,652.	10,152.	50.662.	— 7,862.	18,370.
	56,2.	56,496.	10,097.	56,804.	— 0,604.	1,075.
	72,5.	69,606.	10,629.	66,594.	5,906.	8,147.
…	…	…	…	…	…	…
	418,1.	419,625.	6,628.	421,213.	— 3,113.	0,744.
	424,6.	425,410.	6,479.	426,254.	— 1,654.	0,389.
	435,1.	433,527.	6,768.	431,890.	3,210.	0,738.
	439,8.	440,043.	6,724.	440,295.	— 0,495.	0,113.

5) По модели со скорректированными параметрами находим прогноз на следующий момент времени

Возврат к пункту 3.

Вычисления повторяем до конца наблюдений.

6) Параметры модели, полученные в последний момент времени (t = 35), используем для построения прогноза на три недели вперед ();

Результаты прогнозирования по модели Брауна представлены графически на рис. 5.1.

Рис. 5.1. Исходные данные, результаты моделирования (альфа = 0,3) и точечный прогноз.

В моделях Брауна и Хольта параметры сглаживания характеризуют степень адаптации модели к изменению ряда наблюдений. Они определяют скорость реакции модели на изменения, происходящие в развитии. Чем они больше, тем быстрее реагирует модель на изменения. Обычно для устойчивых рядов их величина большая, а для неустойчивых — маленькая. В различных методах прогнозирования используется различный подход к их определению. Их можно взять фиксированными, а наилучшее значение определить методом подбора, чтобы ошибка прогноза на один шаг вперед была наименьшей. При использовании компьютера это не представляет труда. Альтернативу этому подходу составляет динамическое изменение параметров сглаживания. В методах эволюции и симплекс-планирования параметры адаптации постоянно меняются на каждом шаге. Для каждого параметра сглаживания формируется несколько значений.

• [1] Колемаев В. А. Эконометрика: учебник / В. А. Колемаев. М.: ИНФРА-М, 2004. 160 с.