Правила дифференцирования. 
Приложение производной в экономической теории

(C)'= 0 С=const.
(cos x)'=-sin x.
(sin x)'=cos x.
(tg x)'=.	(ах)'=аx ln a.
(ctg x)'=;	(ех)'=ex.

Производная степенно-показательной функции.

где .

.

производная дифференцирование задача экономический Логарифмическое дифференцирование. Пусть дана функция. При этом предполагается, что функция не обращается в нуль в точке. Покажем один из способов нахождения производной функции, если очень сложная функция и по обычным правилам дифференцирования найти производную затруднительно.

Так как по первоначальному предположению не равна нулю в точке, где ищется ее производная, то найдем новую функцию и вычислим ее производную.

Отношение называется логарифмической производной функции. Из формулы (1) получаем.

. Или.

Формула (2) дает простой способ нахождения производной функции .

Производные высших порядков

Ясно, что производнаяфункции y =f (x) есть также функция от x:

Если функция f ' (x) дифференцируема, то её производная обозначается символом y'' =f '' (x) и называется второй производной функции f (x) или производной функции f (x) второго порядка. Пользуясь обозначением можем написать.

Очень удобно пользоваться также обозначением, указывающим, что функция y=f (x) была продифференцирована по x два раза.

Производная второй производной, т. е. функции y''=f '' (x), называется третьей производной функции y=f (x) или производной функции f (x) третьего порядка и обозначается символами .

Вообще n-я производная или производная n-го порядка функции y=f (x) обозначается символами.

Дифференцируя производную первого порядка, можно получить производную второго порядка, а, дифференцируя полученную функцию, получаем производную третьего порядка и т. д. Тогда возникает вопрос: сколько производных высших порядков можно получить в случае произвольной функции.

Например:

1); ;; …;

; .

Разные функции ведут себя по-разному при многократном дифференцировании. Одни имеют конечное количество производных высших порядков, другие — переходят сами в себя, а третьи, хотя и дифференцируемы бесконечное количество раз, но порождают новые функции, отличные от исходной.

Однако все сформулированные теоремы о производных первых порядков выполняются для производных высших порядков.