Другие способы получения характеристического многочлена

В настоящее время известно большое число других способов получения характеристического многочлена. Ограничимся лишь кратким обзором некоторых методов.

Метод Леверрье — Фаддеева

Обозначим корни характеристического многочлена через 1, 2, …, k. Тогда если.

|A — J| = (-1)n [n + p1 n-1 + …+ pn-1 + pn] (1).

то pk = (-1)k. (2).

Выражения, стоящие в правой части равенства (2) являются симметрическими функциями корней характеристического уравнения. Рассмотрим еще следующие симметрические функции корней :

Sk = 1k + 2k +…+ nk (3).

Известно, что Sk и pk связаны следующими соотношениями (формулы Ньютона):

Sk + Sk-1 p1 + Sk-2p2 + … + S1pk-1 + kpk =0 (kn) (4).

Отсюда получим (5).

и мы можем найти все pk, если будут известны Sk. но Sk равняется следу матрицы Аk. Поэтому, вычислив Аk (k = 1,2,…, n) и найдя их следы, мы можем найти характеристический многочлен. Процесс довольно трудоемкий, так как приходится производить большое количество умножений матриц. Д. К. Фадеев предложил усовершенствование метода Леверье. Оно состоит в следующем.

Рассмотрим матрицу С (), присоединенную для матрицы А-J.

При этом C () (A — J) = D () J, (6).

где D () — характеристический многочлен матрицы А. Матрицу С () можно записать в виде С () = С0n-1 + С1n-2 + …+ Сn-2 +Cn-1 (7).

где Ci — квадратные матрицы порядка n, не зависящие от. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степеня в правой и левой частях (6) и учитывая (7), получим :

(8).

Отсюда получим:

С0 = (-1)пJ, (9) C1 = C0A + (-1)n-1 p1J = (-1)n-1 [A + p1J]. (10).

Так как p1 определяется следом матрицы, А и, следовательно, известно, то мы сможем найти С1. Умножая равенство (10) на, А и беря след от обеих частей равенства (мы будем обозначать след матрицы В через Sp (B)), найдем в силу второго и равенств (5) :

Sp (C1A) = (-1)n-1 [Sp (A2) + p1Sp (A)] = (-1)n-1 [S2 + p1S1] = (-1)n 2p2.

Это нам позволит найти р2. Затем мы находим С2 при помощи третьего из равенств (8) и умножая С2 на А, найдем :

Sp (C2A) = Sp (C1A2) + (-1)n-1p2Sp (A) = (-1)n-1 [Sp (A3) + p1Sp (A2) + p2Sp (A)] = (-1)n-1 {S3 + p1S2 + p2S1] = (-1)n 3p3. (12).

Продолжая эти рассуждения, мы придем, в конце концов, к равенству.

Sp (Cn-1A) = (-1)n npn. (13).

Последнее из уравнений (8) будет служить для контроля правильности вычислений.

В процессе вычислений мы найдем определитель матрицы А, равный (-1)n pn, присоединенную к, А матрицу, равную (-1)n Сn-1, а следовательно и обратную матрицу А-1. Если i — корень характеристического многочлена, А и С (i) 0, то столбцы С (i) являются собственными векторами А, так как.

(A — iJ) C (i) = D (i) J = 0. (14).

Это наверняка произойдет, если i простой корень D (). В случае, если i — кратный корень D (), для получения собственных векторов может потребоваться переход от С () к производным ее по .

Метод Фадеева также требует большего числа операций, но зато он дает возможность кроме характеристического многочлена находить еще ряд величин.