Параметрические колебания. 
Теоретические основы электротехники. 
Том 1. Электрические цепи

Возникающие в электрических цепях без источников ЭДС и источников тока незатухающие колебания, обусловленные периодическим изменением индуктивности или емкости системы, называют параметрическими. Колебания поддерживаются за счет работы механической силы при периодическом изменении параметра либо за счет энергии, вносимой в цепь при периодическом изменении параметра электрическим путем. Частота первой гармоники параметрических колебаний оказывается в два раза меньше частоты изменения параметра.

На рис. 18.5, а изображена простейшая цепь, в которой при определенных условиях возникают колебания рассматриваемого типа. Цепь состоит из катушки индуктивностью L, нелинейного резистора, ограничивающего амплитуду колебаний, R (i) = R₀ + ki², и конденсатора, емкость которого изменяется во времени: С = С₀ — ACcos2cot, АС/С₀ «: 1 (предположение, что АС/С₀ 1, принято только для облегчения решения).

Рис. 18.5.

Сначала рассмотрим случай, когда емкость конденсатора изменяется механическим путем.

Внешняя сила, совершающая работу при изменении емкости конденсатора, доставляет в цепь энергию. Эта энергия равна потерям в активном сопротивлении. По второму закону Кирхгофа.

В соответствии с формулой (18.3) последнее слагаемое представим так:

Подставим в это уравнение i = asincot — bcoscot, разобьем его на синусные и косинусные составляющие частоты со (высшими гармониками пренебрежем) и решим относительно квадрата амплитуды тока а² +Ь² =А²:

При А²> 0 колебания существуют; А²> 0 при Wj < со < со₂ (рис. 18.5, б);

(Oj ₂ определяют как корни уравнения А² = 0. При со² =;

LC о.

Условием возникновения колебаний в этом случае является.

Качественно поясним сущность процесса поступления энергии в цепь при изменении емкости конденсатора во времени. Энергия, запасенная в электрическом поле конденсатора емкостью С с зарядом ±q на пластинах, W₃= q²/(2C). Если при неизменном q емкость изменить на АС (АС/С «с 1), то энергия станет равной.

Приращение энергии.

Верхняя кривая на рис. 18.5, в изображает изменяющийся по синусоидальному закону во времени заряд q. Средняя кривая иллюстрирует характер изменения емкости во времени (для простоты рассуждений он принят не синусоидальным, а прямоугольным). Когда заряд q проходит через максимум, то емкость почти скачком уменьшается (АС 0).

Уменьшение емкости соответствует раздвиганию пластин конденсатора, а увеличение — их сближению. Поэтому, чтобы при q = q_m емкость почти скачком уменьшить, нужно быстро раздвинуть пластины. Но пластины заряженного конденсатора притягиваются друг к другу. Следовательно, для того чтобы раздвинуть пластины, внешний источник энергии должен затратить работу на преодоление сил их притяжения. Эта работа переходит в энергию электрического поля конденсатора. За период изменения q энергия конденсатора дважды возрастает на величину.

Сближение пластин (увеличение С) происходит при q = 0, когда силы, действующие на пластины (силы поля), равны нулю. Поэтому при сближении пластин внешняя сила не совершает работы.

Поступление энергии в параметрическую цепь при изменении параметра цепи называют накачкой энергии. Рис. 18.5, в качественно поясняет также, почему частота колебаний в схеме на рис. 18.5, а в два раза меньше частоты изменения параметра (емкости). Если емкость стала бы изменяться во времени в соответствии с пунктирной кривой на рис. 18.5, в, то энергия в этом случае в цепь не доставлялась бы (не накачивалась), ибо сколько энергии доставит в цепь внешний источник при уменьшении емкости, столько же цепь отдаст ему обратно при ее увеличении. Накачка энергии в цепь может происходить не только при изменении емкости, но и при изменении индуктивности во времени.