Исследование ошибок определения площади по плану и влияние деформации бумаги

Ошибки определения площадей графическим способом

Графический способ вычисления площадей состоит в том, что участок, изображенный на плане, разбивают на простейшие геометрические фигуры (треугольники, прямоугольники, трапеции). В каждой фигуре на плане измеряют высоту и основание, по которым вычисляют площадь, и сумма площадей фигур дает площадь участка.

Если участок разбит на треугольники, то площадь каждого треугольника равна:

P = 0,5lh (4).

Для получения зависимости между относительными средними квадратическими ошибками площади и измерений основания и высоты необходимо прологарифмировать выражение (4):

lnP = lnl + lnh — ln2.

Дифференцируя по переменам l и h, получаем:

dP/P = dl/l + dh/h.

Относительная средняя квадратическая ошибка площади треугольника равна:

(mp/P)2= (ml/l)2= (mh/h)2.

Такую же зависимость можно получить для прямоугольника, параллелограмма, ромба и трапеции, если их площадь вычисляется по основанию и высоте (площадь трапеции по средней линии и высоте).

Ошибки измерения по плану можно считать одинаковыми независимо от длин линий:

(ml/P) = (mh/l) = m.

Основание определяется несколько точнее высоты, потому что на определение высоты, помимо ошибки определения на плане, влияет также ошибка проведения основания между вершинами углов, до которого измеряется высота. Однако влияние этой ошибки на ошибку определения высоты невелико, если треугольник равнобедренный. Если же треугольник близок к прямоугольному, то ошибка высоты в 1,2 раза больше ошибки основания. Тогда получаем:

Так как для треугольника lh = 2P, а для остальных фигур lh = P, то получим:

Для треугольника.

mp.

Для прямоугольника, параллелограмма и трапеции:

mp.

Если участок разбивается на треугольники, у которых высоты примерно равны основаниями, то ошибка площади участка вычисляется по формуле:

mp.

где m — ошибка определения расстояния по плану.

А для прямоугольника (по форме близкого к квадрату), параллелограмма и трапеции:

mp.

Таким образом, площадь треугольника графическим способом вычисляется точнее площадей других фигур, следовательно, разбивкой участка на треугольники вычисляется площадь точнее, чем разбивкой на прямоугольники, трапеции и другие фигуры.