Простейшая схема взаимодействия клетки с субстратом

Представим себе простейшую кинетическую схему автокаталитической реакции с разложением каталитических центров.

S + N 2N +P, (4).

где N — число центров, претерпевших удвоение при взаимодействии с субстратом; P — продукт.

Число центров, с которыми взаимодействует субстрат, и число клеток микроорганизмов связаны между собой прямо пропорциональной связью, поскольку предполагается, что клетки в среднем содержат одинаковое число центров, на которых осуществляется трансформация субстрата. В рамках кинетического приближения частоту актов деления клеток можно обозначить константой k. Субстрат S в результате взаимодействия с компонентами клетки трансформируются с образованием продукта P.

Динамику изменения в системе концентрации компонентов будут описывать уравнения.

(5).

(6).

где — коэффициент пропорциональности, связывающий количество образовавшейся биомассы и продукта ферментационного превращения:

(7).

Если концентрация вещества S в системе достаточно велика и за время процесса меняется несущественно, то можно её считать величиной постоянной (). В этом случае уравнение (5) может быть проинтегрировано относительно числа клеток N. Если использовать начальное условие (), интегрирование уравнения (5) дает экспоненциальную функцию.

. (8).

Подстановка уравнения (8) в дифференциальное уравнение (6) и последующее его интегрирование (при допущении, что) приводит к следующей зависимости от времени концентрации продукта:

При временах реакции, близких к нулю концентрация продукта близка к нулю, при больших временах реакции должен наблюдаться экспоненциальный рост концентрации продукта:

(10).

Уравнение (1.8), (1.10) и соответственно кинетическая схема (1.4) описывают важную особенность кинетики роста микробной популяции — количество клеток в системе экспоненциально растет во времени. Удельная скорость роста м (S), представляющая собой показатель экспоненты в уравнениях (8) и (10), является линейной функцией концентрации субстрата:

. (11).

Уравнение (1.11) в отличие от уравнения Моно дает линейное неограниченное увеличение удельной скорости роста микроорганизмов с увеличением концентрации субстрата. Это противоречит экспериментальным данным и требует дополнительного усложнения простейшей кинетической схемы (1.4).