Характер свободного процесса при одном корне

Когда характеристическое уравнение имеет один корень, свободный ток.

где р = -а зависит только от параметров цепи, А — от параметров цепи, величины ЭДС. Характер изменения i_CB при Л > 0 показан на рис. 8.10.

Рис. 8.10.

За интервал времени t = т = 1/а функция АеР¹ уменьшится в е = 2,72 раза. Действительно, при t = т = 1/а at = ат = а/а = 1; eP^l= er^at = ег¹ = 1/е = ½, 72.

Величину т = 1/а = 1/1р | называют постоянной времени цепи; т зависит от вида и параметров схемы. Для цепи на рис. 8.2 т = L/R, для цепи на рис. 8.3 т = RC, для цепи на рис. 8.18 т = (R₁R₃C')/(R₁ + R₃) и т. д.

Название «постоянная времени» отражает постоянство подкасательной к экспоненте: подкасательная к экспоненте е^_1/т численно равна т (см. рис. 8.10).

Характер свободного процесса при двух действительных неравных корнях

Пусть р₂ = -а, р₂ = -Ъ (для определенности положим b > а). Тогда.

Характер изменения свободного тока при различных по значению и знаку постоянных интегрирования А-, и А₂ качественно иллюстрируется кривыми на рис. 8.11, а — г; кривая 1 представляет собой функцию А-ув^, кривая 2 — функцию A₂e~^bt; результирующая («жирная») кривая получена путем суммирования ординат кривых 1 и 2.

Рис. 8.11.

Для рис. 8.11, а: А_х > О, А₂> 0; для рис. 8.11, б: А_г > 0, А₂< 0, А₂ >А₁; для рис. 8.11, в: А_г >0, А₂ < 0, А₂ < Ар, для рис. 8.11, г: А₁ > 0, А₂ < 0,.

a₂=a_v

Характер свободного процесса при двух равных корнях

Известно, что если среди корней характеристического уравнения есть два равных корня р_х = р₂ = -а, то соответствующие слагаемые решения должны быть взяты в виде.

На рис. 8.12 построены пять кривых. Они показывают возможный характер изменения функции + A₂)e-^at при различных значениях постоянных интегрирования Л₃ иА₂, а также при равенстве нулю одной из постоянных.

Рис. 8.12.

Кривая 1 построена при Aj > 0 и А₂ > 0; кривая 2 — при А₁ < 0 и А₂ > 0; кривая 3 — при А_г > 0 и А₂ < 0; кривая 4 — при А_: = 0 и А₂ > 0; кривая 5 — при А₁ > 0 и А₂ = 0.

Характер свободного процесса при двух комплексно-сопряженных корнях

Комплексные корни всегда встречаются попарно-сопряженными. Так, если р_г = -8 +;м₀, то р₂ = -8 — со₀. Соответствующее им слагаемое решения должно быть взято в виде.

Формула (8.16) описывает затухающее синусоидальное колебание (рис. 8.13) при угловой частоте со₀ и начальной фазе v. Огибающая колебания описывается кривой Ae~^8t. Чем больше 8, тем быстрее затухает колебательный процесс; А и v определяются значениями параметров схемы, начальными условиями и ЭДС источника; оо₀ и 8 зависят только от параметров цепи после коммутации; (в₀ называют угловой частотой свободных колебаний; 8 — коэффициентом затухания.

Рис. 8.13.