Расчет электрических цепей в установившемся режиме

Если переменный параметр изменяется во времени периодически, претерпевая резкие скачкообразные изменения (см. рис. 18.2, а), то расчет цепей целесообразно проводить с помощью классического метода расчета переходных процессов. В этом случае постоянные интегрирования определяют исходя из законов коммутации и периодичности процесса.

Если же переменный параметр изменяется так, что его можно представить в виде постоянной составляющей и одной или нескольких синусоидальных составляющих, то расчет производят, применяя метод гармонического баланса.

Метод гармонического баланса применительно к нелинейным цепям был рассмотрен в параграфе 15.46. Основные его положения и здесь те же. Последовательность расчета такая: искомый ток (любая другая величина) изображают в виде ряда Фурье.

Полученное выражение для тока подставляют в дифференциальное уравнение цепи и выделяют из него уравнение, выражающее собой равенство постоянных составляющих левой и правой его частей, уравнение, выражающее собой равенство синусных составляющих левой и правой частей, и т. д. Каждое из этих уравнений в общем случае содержит несколько неизвестных (/₀,1_и, 1₁₂, 1₂, hi)> ^н0 является линейным уравнением относительно этих неизвестных (в этом отличие от нелинейных цепей). Далее решают систему линейных уравнений относительно /₀,1ц, 1ц, hi> ^22;

Метод гармонического баланса можно применять к расчету цепей, содержащих несколько переменных во времени параметров (например, изменяющееся во времени резистивное сопротивление и изменяющуюся во времени индуктивность), причем характер изменения во времени ЭДС (тока) может быть по любому периодическому закону.

Пример 167

В схеме на рис. 18.4, а ЭДС Е источника ЭДС и индуктивность I катушки постоянны, а сопротивление резистора R (t) меняется в соответствии с рис. 18.4, в. Определить закон изменения тока в установившемся режиме.

Рис. 18.4.

Решение. Так как сопротивление изменяется периодически, то и ток изменяется периодически. Обозначим значение тока в момент t = 0 через 1₂? В этот момент сопротивление цепи скачком возрастает от R₂ до R_x и ток в цепи начинает уменьшаться. В момент t-т ток принимает значение 1_Х и сопротивление скачком уменьшается с R_x до R₂. Последнее приводит к тому, что ток начинает увеличиваться.

В первом интервале времени от t — 0 до t — т ток можно представить в виде суммы принужденного E/R_x и свободного С_хеР^ токов, причем р_х = -R_x/L — корень характеристического уравнения цепи pL + R_x = 0; С_х — постоянная интегрирования.

Во втором интервале времени от t = т до t — 2 т

Задача сводится к определению двух постоянных: С_г и С₂. При t = 0 i — 1₂, следовательно,.

При t = xi = I₂, поэтому.

Начальное значение тока для второго интервала времени 1_Ь можно найти и иначе:

К концу второго интервала времени, когда t-2x, i-1₂,

Приравнивая правые части уравнений (18.5) и (18.8), получим Аналогично из уравнений (18.6) и (18.7) следует, что Совместное решение двух последних уравнений дает.

Е Е.

В первом интервале времени i = — + C₁ePi^t, во втором i = — + C₂eP^~^z Кри;

#i R₂

вая i — f (t) показана на рис. 18.4,6.

Пример 168.

В схеме на рис. 18.4, г ЭДС е = Е + ?_msin (cot + ф), L = L₀(1 + fcsincot) (к < 1), сопротивление R не является функцией времени. Определить постоянную составляющую, а также первую и вторую гармоники тока.

Решение. В дифференциальное уравнение.

подставляем ток:

Выделив постоянную составляющую, получим уравнение.

Равенство коэффициентов при sin cot в обеих частях (18.11) после подстановки в него (18.12) и деления на R дает.

Приравняв коэффициенты при cosoot (после деления на R), получим.

при sin2cot при cos 2cot.

Из (18.13) следует, что в схеме на рис. 18.4, г постоянная составляющая тока 1₀ не зависит от переменных составляющих индуктивности и ЭДС. Однако постоянная составляющая потокосцепления, равная Lq/₀ + 0,5кЬ^_п, зависит от амплитуды первой гармоники переменного тока.

Это свойство в известном смысле напоминает первое из свойств нелинейных элементов с симметричными характеристиками, описанное в параграфе 15.17.

Запишем решение уравнений (18.14)—(18.17):

Изменяя постоянную ЭДС Е в схеме на рис. 18.4, г, можно управлять переменным током.