Решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка
Yас, Yтр — соответственно абсолютная погрешность решения уравнения (2.1). Аналитическое решение уравнения (2.1) при воздействии (2.2) имеет вид (2.3). Значение относительной погрешности определялось по формуле (2.6). Воздействие описывается синусоидой со сдвигом по фазе (2.2). Ya, Yас, Yтр — соответственно решения уравнения (2.1): Рисунок 2.4 Относительные погрешности решения. Рисунок 2.3… Читать ещё >
Решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Постановка задачи
Решению подлежит обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка (ОДУ1) (2.1).
(2.1).
где — время,.
X — безразмерное значение воздействия,.
Y — безразмерное значение реакции объекта, А. К — коэффициенты отражающие свойства объекта.
Воздействие описывается синусоидой со сдвигом по фазе (2.2).
(2.2).
Аналитическое решение уравнения (2.1) при воздействии (2.2) имеет вид (2.3).
C1=. | |
C2=. | 0,42 842. |
C3=. | 0,89 502. |
(2.3).
где:
Решение ОДУ1 разностным методом (первая разностная схема)
(2.4).
D1=. | 0,3679. |
D2=. | 0,3161. |
Абсолютное условие устойчивости 0.
Решение ОДУ1 разностным методом (вторая разностная схема)
(2.5).
  D3=. | 0,33 333. |
D4=. | 0,33 333. |
Абсолютное условие устойчивости 0< D<1.
Реализация численных решений в среде Excel
Результаты решения уравнения (2.1) при воздействии (2.2) представлено в таблице 2.2. и на рис. 2.1.
Для тестирования правильности выполнения вычислений приняты следующие значения исходных данных (Таблица 2.1).
Таблица 2.1 Исходные данные.
A=. | 0,5. | a0=. | |
K=. | a1=. | ||
Y0=. | a2=. | — 0,25. | |
Dt=. | 0,5. | a3=. |
Таблица 2.2 Результаты решения.
i. | t. | X. | Ya. | Yтр | Yac. | DYac. | DYтр | dYac, %. | dYтр, %. |
1,8415. | |||||||||
0,5. | 1,7675. | 1,137. | 1,203. | 1,141. | 0,003. | 0,066. | 0,201. | 4,143. | |
1,6816. | 1,505. | 1,551. | 1,510. | 0,005. | 0,046. | 0,318. | 2,908. | ||
1,5. | 1,5851. | 1,582. | 1,606. | 1,588. | 0,006. | 0,024. | 0,401. | 1,534. | |
1,4794. | 1,545. | 1,557. | 1,553. | 0,007. | 0,011. | 0,467. | 0,723. | ||
2,5. | 1,3663. | 1,462. | 1,467. | 1,471. | 0,008. | 0,005. | 0,521. | 0,322. | |
1,2474. | 1,358. | 1,360. | 1,367. | 0,009. | 0,002. | 0,565. | 0,142. | ||
3,5. | 1,1247. | 1,243. | 1,244. | 1,253. | 0,010. | 0,001. | 0,601. | 0,064. | |
1,0000. | 1,122. | 1,123. | 1,132. | 0,010. | 0,001. | 0,626. | 0,032. | ||
4,5. | 0,8753. | 0,999. | 0,999. | 1,009. | 0,010. | 0,00. | 0,642. | 0,019. | |
0,7526. | 0,876. | 0,876. | 0,886. | 0,010. | 0,00. | 0,648. | 0,014. | ||
5,5. | 0,6337. | 0,754. | 0,754. | 0,764. | 0,010. | 0,00. | 0,644. | 0,011. | |
0,5206. | 0,636. | 0,636. | 0,646. | 0,010. | 0,00. | 0,629. | 0,010. | ||
6,5. | 0,4149. | 0,524. | 0,524. | 0,533. | 0,010. | 0,00. | 0,605. | 0,010. | |
0,3184. | 0,419. | 0,419. | 0,428. | 0,009. | 0,00. | 0,571. | 0,009. | ||
7,5. | 0,2325. | 0,323. | 0,323. | 0,332. | 0,008. | 0,00. | 0,529. | 0,008. | |
0,1585. | 0,238. | 0,238. | 0,246. | 0,008. | 0,00. | 0,478. | 0,007. | ||
8,5. | 0,0977. | 0,165. | 0,165. | 0,171. | 0,007. | 0,00. | 0,420. | 0,007. | |
0,0510. | 0,104. | 0,105. | 0,110. | 0,006. | 0,00. | 0,355. | 0,005. | ||
9,5. | 0,0191. | 0,058. | 0,058. | 0,063. | 0,005. | 0,00. | 0,285. | 0,004. |
Условные обозначения:
Ya, Yас, Yтр — соответственно решения уравнения (2.1):
Yас, Yтр — соответственно абсолютная погрешность решения уравнения (2.1).
Yас, Yтрсоответственно относительная погрешность решения уравнения (2.1).
Значение относительной погрешности определялось по формуле (2.6).
. (2.6).
2.5 Блок-схема программы решения уравнения.
2.6 Графики в среде Delphi.
Рисунок 2.3 Аналитическое и численные решения.
Рисунок 2.4 Относительные погрешности решения.
2.7 Листинг файла OutPut.txt.
A= 0.5000.
K= 1.0000.
Y0= 0.0000.
Im= 20.
DT= 0.50.
a0= 1.0000.
a1= 1.0000.
a2=-0.2500.
a3= 1.0000.