Электрическое поле в однородной изотропной среде

Пусть в однородном изотропном пространстве, заполненном средой удельного сопротивления р, находиться точечный источник тока, А силой I. Второй полюс В источника тока расположен в бесконечности и влиянием его на электрическое поле среды вблизи электрода, А можно пренебречь.

Необходимо определить потенциал электрического поля в любой точке изучаемой среды на расстоянии r от источника тока, исключая точку А. Совместим начало координат с точкой, где находиться источник тока А, и опишем вокруг него сферу произвольного радиуса r (рис.3).

Так как среда однородна и изотропна, то ток будет равномерно распределен по поверхности сферы и, следовательно, его плотность.

(1.7).

где — S = 4рr² -площадь поверхности сферы.

Из уравнения (1.6) следует:

(1.8).

Подставив (1.7) в (1.8) получим:

или.

(1.9).

В соответствии с формулой (1.9) потенциал в точках изучаемой среды.

Постоянная интегрирования С находиться из граничного условия равенства потенциала нулю на бесконечном расстоянии от источника тока, т. е. I=0 при r>?, поэтому необходимо принять С=0. Итак, выражение для потенциала в однородной изотропной среде, созданного точечным электродом А, излучающим ток силой I, в любых точках изучаемой среды на расстоянии r от источника, А имеет следующий вид:

Принимая во внимание, что Е = -gradU и формулу (1.10) напряженность электрического поля в однородном пространстве Если потенциалы электрического поля определяются в точках М и N, расположенных соответственно на расстояниях r₁=AM и r₂=AN от электрода, А и на одной с ним прямой, то разность потенциалов между любыми точками М и N изучаемого пространства на основании (1.12) и (1.13) определяется выражением При бесконечно сближенных электродах М и N (MN>0) в соответствии с (1.11) напряженность поля Е=рI/4рr (АО)² (1.15).

где АО — расстояние между электродами, А и серединой О бесконечно близко расположенных электродов М и N.

Формулы (1.12), (1.14) и (1.15) позволяют по результатам измерений потенциала U, разности потенциалов ДU и напряженности электрического поля Е при постоянном значении I и заданных расстояниях AM, AN и АО между электродами зонда определить удельное сопротивление однородной среды:

где K_U=4рАМ;; КЕ =4р (АО)² — коэффициенты зондов, численные значения которых зависят только от расстояний между зондами.

Поскольку при измерениях величин электрического поля обычно регистрируется разность потенциалов между измерительными электродами М и N, наиболее часто используется формула (1.17). В ней разность потенциалов выражается в милливольтах, сила тока — в миллиамперах, коэффициент зонда — в метрах, величина удельного сопротивления — в омметрах.

В случае однородной изотропной среды удельное электрическое сопротивление, рассчитанное по формуле (1.17), соответствует его истинному значению. Однако фактически среда, окружающая зонд в скважине, не является однородной и изотропной. Удельное сопротивление среды изменяется как в вертикальном, так и в горизонтальном направлениях. Удельное электрическое сопротивление неоднородной среды, рассчитанное по формуле (1.17), представляет собой кажущееся удельное электрическое сопротивление Из формул (1.17) и (1.19) следует, что кажущееся удельное электрическое сопротивление среды можно рассматривать как истинное удельное электрическое сопротивление фиктивной однородной изотропной среды, в которой при постоянных расстояниях между электродами зонда и силе тока создается такая же разность потенциалов, как в изучаемой неоднородной среде. Поскольку регистрируемая величина ДU пропорциональна р_к, кривая, записанная при постоянной силе тока, представляет собой кривую кажущегося сопротивления в масштабе К/I, поэтому диаграмма КС — это кривая изменения кажущихся сопротивлений пород по разрезу скважины. [1].