Организация геодезических измерений

Классификация погрешностей геодезических измерений. Средняя квадратическая погрешность. Формы Гаусса и Бесселя для её вычисления.

Геодезические измерения, выполняемые даже в очень хороших условиях, сопровождаются погрешностями, т. е отклонение результата измерений (L) от истинного значения (Х) нумеруемой величины [8]:

(?) = L — Х Истинное — такое значение измеряемой величины, которое идеальным образом отражало бы количественные свойства объекта. Недостижимое условие — истинное значение — понятие гипотетическое. Это величина, к которой можно приближаться бесконечно близко, оно не достижимо.

Точность измерений — степень приближения его результата к истинному значению. Чем ниже погрешность, тем выше точность.

Абсолютная погрешность выражается разностью значения, полученного в результате измерения и истинного измерения величины [20].

Что бы получить значение достаточно произвести одно измерение. Его называют необходимым, но чаще одним измерением не ограничиваются, а повторяют не менее двух раз.

Измерения, которые делают сверх необходимого, называют избыточным (добавочным), они являются весьма важным средством контроля результата измерения.

Абсолютная погрешность не дает представления о точности полученного результата.

Относительная погрешность — отношение абсолютной погрешности к истинному или измеренному значению. Выражают дробью.

Погрешности, происходящие от отдельных факторов, называются элементарными. Погрешность обобщенная — это сумма элементарных.

Возникают:

• · грубые (Q);
• · систематические (O);
• · случайные (?).

Грубые погрешности измерений возникают в результате грубых промахов, просчетов исполнителя, его невнимательности, незамеченных неисправностей технических средств. Грубые погрешности совершенно недопустимы и должны быть полностью исключены из результатов измерений путем проведения повторных, дополнительных измерений.

Систематические погрешности измерений — постоянная составляющая, связанная с дефектами: зрение, неисправность технических средств, температура. Систематические погрешности могут быть как одностороннего действия, так и переменного (периодические погрешности). Их стремятся по возможности учесть или исключить из результатов измерений при организации и проведении работ.

Случайные погрешности измерений неизбежно сопутствуют всем измерениям. Погрешности случайные исключить нельзя, но можно ослабить их влияние на искомый результат за счет проведения дополнительных измерений. Это самые коварные погрешности, сопутствующие всем измерениям. Могут быть разные как по величине, так и по знаку.

Е = Q + О + ?

Если грубые и систематические погрешности могут быть изучены и исключены из результата измерений, то случайные могут быть учтены на основе глубокого измерения. Изучение на основе теории вероятностей.

На практике сложность заключается в том, что измерения проводятся определенное количество раз и поэтому для оценки точности измерений используют приближенную оценку среднего квадратического отклонения, которую называют среднеквадратической погрешностью (СКП) [19].

Гауссом была предложена формула среднеквадратической погрешности:

• ?²_ср = (?²₁ + ?²₂ + … + ?²_n) / n
• ?² = m² = (?²₁ + ?²₂ + … + ?²_n) / n
• ?_ср = m = v (??²_i / n)

Формула применяется, когда погрешности вычислены по истинным значениям.

Формула Бесселя:

m = v (??²_i / (n-1)).

Среднеквадратическая погрешность арифметической середины в Цn раз меньше средней квадратической погрешности отдельного измерения.

М = m/Цn.

При оценке в качестве единицы меры точности используют среднеквадратическую погрешность с весом равным единицы. Ее называют среднеквадратической погрешностью единицы веса.

µ² = Р Ч m² — µ = mvP.

m = µ /vP.

То есть средняя квадратическая погрешность любого результата измерения равна погрешности измерения с весом 1 (µ) и делённая на корень квадратный из веса этого результата (P).

При достаточно большом числе измерений можно записать:

?m²P=??²P (так как? = m).

µ = v (?(?²ЧP)/n).

То есть средняя квадратическая погрешность измерения с весом, равным 1 равна корню квадратному из дроби в числителе которого сумма произведений квадратов абсолютных погрешностей неравноточных измерений на их веса, а в знаменателе — число неравноточных измерений.

Средняя квадратическая погрешность общей арифметической середины по формуле:

M₀ = µ / v? P.

Подставив вместо µ её значение получим :

M₀ = v (??²ЧP/n) / (v?P) = v[(??²ЧP) / nЧ (?P)].

M₀ = v[ (?₁²P₁ + ?₂²P₂ +… + ?_n²P_n) / nЧ (P₁ + P₂ + … + P_n) ] ;

это формула Гаусса, средняя квадратическая погрешность общей арифметической середины равна корню квадратному из дроби, в числителе которой сумма произведений квадратов погрешностей неравноточных измерений на их веса, а знаменатель — произведение количества измерений на сумму их весов.

µ = v [?(V²ЧP) / (n-1)] ;

это формула Бесселя для вычисления средней арифметической погрешности с измерением веса, равным 1 для ряда неравноточных измерений по их вероятнейшим погрешностям.

Причина возникновения систематической погрешности может заключаться и в самой методике измерений. Так, например, определяя плотность твердого тела по измерениям его массы и объема, можно допустить ошибку, если внутри исследуемого тела имеются пустоты в виде пузырьков воздуха. В этом случае устранить ошибку можно только изменив метод измерений.

Появление случайных погрешностей может быть связано со спецификой измеряемой величины. Если, например, измерять штангенциркулем размеры неточно изготовленной детали, то полученные результаты будут случайным образом зависеть от положения измерительного прибора. Еще один пример — неточность отсчета по шкале стрелочного прибора, связанная со случайным Мнением положения глаз экспериментатора относительно прибора.

Основным способом уменьшения случайных погрешностей является многократное измерение одной и той же физической величины. Заметим, однако, что максимально возможная точность измерения определяется теми приборами, которые используются в эксперименте. Поэтому уменьшение случайной погрешности путем увеличения числа опытов имеет смысл до тех пор, пока ее величина не станет явно меньше величины погрешности прибора. Погрешности приборов связаны с несовершенством любого измерительного инструмента.

Если значение измеряемой величины определяется по шкале инструмента, абсолютная погрешность прибора считается, как правило, равной половине цены деления шкалы (например, линейки) или цене деления шкалы, если стрелка прибора перемещается скачком (секундомер) приборов, снабженных нониусом, погрешность можно считать равной точности нониуса.

Погрешности электроизмерительных приборов определяют по их классу точности, который указывается на шкале.