Упругие характеристики среды
Как отмечалось ранее, в твердых телах акустическое поле имеет гораздо более сложный вид, чем в жидкостях и газах, т. к. твердым телам присуща не только упругость объема, но и упругость формы (сдвиговая упругость). Вместо давления для твердых тел вводят понятие «напряжение» — силу, отнесенную к единице поверхности. Таким образом, скорости продольных и поперечных волн пропорциональны квадратному… Читать ещё >
Упругие характеристики среды (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Как отмечалось ранее, в твердых телах акустическое поле имеет гораздо более сложный вид, чем в жидкостях и газах, т. к. твердым телам присуща не только упругость объема, но и упругость формы (сдвиговая упругость). Вместо давления для твердых тел вводят понятие «напряжение» — силу, отнесенную к единице поверхности.
Различают нормальные (растягивающие или сжимающие) напряжения охх, оуу, а" и тангенциальные (сдвиговые) напряжения оху, oyz. Напряженное состояние твердого тела, таким образом, характеризуют тензором третьего ранга о,7. Индексы / и / принимают значения осей координат*, у, z? Первый индекс указывает координату, в направлении которой действует сила, а второй — площадку (грань элементарного куба), перпендикулярную к направлению указанной в нем координаты, к которой эта сила приложена (рис. 2.8). Тензор напряжения симметричный (ан = ад), таким образом, содержит шесть независимых величин. В жидкостях и газах, где не существует упругости формы, тангенциальные компоненты тензора напряжения отсутствуют, а нормальные компоненты равны друг другу.
Рис. 2.8. Компоненты тензора напряжений.
Наиболее часто колебания характеризуются деформацией — изменением взаимного расположения du точек тела. Это изменение относят к первоначальному расстоянию между точками, в результате чего деформация становится безразмерной величиной. Если точки сдвинулись вдоль отрезка, их соединяющего (рис. 2.9, а), то это деформация растяжения-сжатия. Если точки сдвинулись перпендикулярно этому отрезку, то это деформация сдвига (рис. 2.9, б, в).
Рис. 2.9. Компоненты тензора деформации: а — растяжения-сжатия; б — сдвига вдоль оси 0Х; в — сдвига вдоль осей 0, и О,.
Деформацию записывают в виде тензора ?, аналогичного тензору напряжений. В тензоре деформации компоненты втаи куу — деформации растяжения-сжатия вдоль осей х, s = —, 0,. и 0,. Чтобы сде;
" дх У
лать тензор деформаций симметричным, компонент ^.(рис. 2.9, в) записывают в виде.
Величина е = exv+ суу+ означает изменение объема dxdydz элементарного куба. Для жидкостей и газов деформации сдвига отсутствуют, а деформации сжатия-растяжения одинаковы по всем направлениям.
Пропорциональную зависимость между напряжениями и деформациями называют законом Гука:
где Е — модуль упругости (модуль Юнга).
Волновое уравнение для твердого тела выводят путем применения второго закона Ньютона к элементарному объему dxdydz? Разность сил, приложенных к его противоположным граням, приравнивают к произведению массы на ускорение. В результате получают для оси х
Аналогично можно записать уравнения для осей у и z- Подставляя вместо напряжений деформации согласно закону Гука, а также учи;
5е тывая, что —, получим.
дх
где V2 — оператор Лапласа.
Учитывая, что скорость распространения акустических волн опре;
щ
деляется как с = —, волновое уравнение окончательно примет вид.
V Р
Волновое уравнение для одномерного случая приобретает более простой вид.
Как уже было отмечено ранее, в твердых, жидких и газообразных средах существует упругость объема. Таким образом, во всех средах могут существовать колебания растяжения-сжатия. Волны с такими колебаниями носят название продольных. Продольная волна — волна, направление распространения которой совпадаете направлением движения частиц. При распространении продольной волны в среде образуются области растяжения и сжатия (рис. 2.10).
Рис. 2.10. Продольная и поперечная волны.
В твердом теле существуют также волны сдвига (поперечные волны). Поперечная волна — волна, направление колебания частиц в которой перпендикулярно направлению распространения (рис. 2.10). В жидкостях и газах поперечных волн не существует, т. к. в этих средах отсутствует упругость формы.
Уравнения малых упругих колебаний в неограниченной изотропной среде для плоской продольной и плоской поперечной волн имеют вид.
где с, — скорость продольной волны; с, — скорость поперечной волны.
Скорость продольной волны можно рассчитать, если известны плотность материала р, модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона v:
Коэффициент Пуассона — отношение изменения ширины стержня к изменению его длины, если растяжение производится подлине. Для металлов в нормальных условиях v = 0,3. Скорость продольной волны в металлах
Скорость поперечной волны определяется по модулю сдвига G и плотности материала р
Отношение скоростей продольных и поперечных волн зависит от величины коэффициента Пуассона.
Для всех металлов при комнатной температуре значение коэффициента Пуассона близко к 0,3. В этом случае отношение скоростей составит
Таким образом, скорости продольных и поперечных волн пропорциональны квадратному корню из отношения модуля упругости к плотности, т. е. они возрастают с увеличением упругости среды (которая показывает величину деформации при заданной нагрузке) и уменьшаются с увеличением плотности.
Уравнение, описывающее распространение волны в жидкой или газообразной среде, имеет вид.
При этом квадрат скорости распространения волны равен адиабатической производной.
где р — давление; р — плотность.
Используя уравнение (2.1) и уравнение состояния идеального газа, получим выражение для скорости распространения волны.
где у — показатель адиабаты;
R — универсальная газовая постоянная;
Т — абсолютная температура;
М — молярная масса.
Показатель адиабаты является константой газовой среды, определяемой через удельные теплоемкости газа при постоянном давлении С/и постоянном объеме Су,
Продольную волну обычно возбуждают с помощью преобразователя, вызывающего деформацию растяжения-сжатия на части поверхности ОК, а поперечную волну — преобразователя, вызывающего деформацию сдвига. Однако гораздо чаще поперечную волну возбуждают с помощью продольной волны, наклонно падающей на поверхность ОК из внешней среды. Как будет показано в следующих параграфах, при этом происходит трансформация падающей продольной волны в поперечную.
Продольные и поперечные волны (их обобщенное название — «объемные волны») наиболее широко используют для контроля материалов. Важно отметить, что скорости продольных и поперечных волн определяются физическими свойствами среды.
В табл. 2.2 приведены значения скоростей продольных и поперечных волн в некоторых средах.
Таблица 2.2
Значения скоростей продольных и поперечных волн в некоторых средах.
Скорость, м/с. | Медь. | Сталь. | Оргстекло. | Вода. | Масло. |
с,. | |||||
с,. | ; | —. |