Магнитный поверхностный эффект в проводнике прямоугольного сечения с нелинейными свойствами

На рис. 3.7 изображен проводник прямоугольного сечения. Проводник изготовлен из ферромагнитного материала, удельная электрическая проводимость которого постоянна и равна у, а ферромагнитные свойства описываются кривой намагничивания по первым гармоникам.

Сторонним источником электромагнитного поля создается синусоидальный магнитный поток Ф круговой частотой со, направленный вдоль оси ох.

Рис. 3.7.

Очевидно, что при условии Ь>>2а вектор электрической напряженности Е имеет только однуу-составляющую Ё_у, а вектор магнитной напряженности Я — одну х-составляющую Н_х (далее индексы х и у для упрощения записи опущены). Электрическая и магнитная напряженности являются функциями координаты z. Поле E (z) обладает нечетной, а поле H (z) — четной симметрией относительно оси симметрии проводника.

Поставим задачу получить аналитические выражения для электрической и магнитной напряженностей и на их основе сформировать каскадную схему замещения для расчета электромагнитного поля в ферромагнитном проводнике. Будем использовать те же приемы, что и при решении предыдущей задачи.

Вектор электрической напряженности в ферромагнитном проводнике удовлетворяет уравнению Гельмгольца (3.1). Сформируем решение этого уравнения для элементарной полосы шириной h-z₂-z₁ (рис. 3.8) в виде двух слагаемых таким образом, чтобы при z = z_a обращалось в нуль одно слагаемое, а при z = z₂ — другое. Полагаем, что нам известны значения электрической напряженности на границах полосы Ё₁ и Ё₂.

Рис. 3.8.

Решение уравнения Гельмгольца для вектора электрической напряженности в элементарной полосе имеет вид:

Магнитная напряженность в элементарной полосе:

При z = z_a и при z = z₂ выражение (3.27) принимает вид.

После преобразований (3.28) и (3.29) получим систему уравнений.

Этой системе уравнений может быть поставлена в соответствие система уравнений пассивного четырехполюсника (рис. 3.9).

Рис. 3.9.

При этом здесь, как и в предыдущей задаче,.

Входным напряжениям и токам соответствуют напряженности Ё₂ и Н₂, а выходным напряжениям и токам соответствуют напряженности Еj и Н_г.

Параметры Г-образной схемы замещения четырехполюсника, изображенной на рис. 3.9, определяются выражениями:

Далее необходимо соединить четырехполюсники, соответствующие расчетным полосам, в каскад и получить схему замещения, изображенную на рис. 3.10. При этом следует учесть, что на оси симметрии проводника электрическая напряженность равна нулю, поэтому левые зажимы крайнего левого четырехполюсника должны быть замкнуты накоротко.

Определим значение эквивалентной ЭДС, которую надо подключить к каскадной схеме. Полагаем, что заданным является интегральный магнитный поток в сечении проводника:

Рис. 3.10.

Магнитную индукцию определим из (3.27):

После подстановки (3.34) в (3.33) имеем:

а после преобразования (3.35):

К правым выводам четырехполюсника, примыкающего к поверхности проводника, необходимо подключить источник, эквивалентный источнику ЭДС, равный по величине электрической напряженности на поверхности проводника и совпадающий по направлению с магнитной напряженностью (см. рис. 3.10). Из (3.36) выразим электрическую напряженность на поверхности проводника и получим выражение для источника Ё₀:

Приведем пример составления системы уравнений Кирхгофа для случая трех расчетных полос (см. рис. 3.10). Система, записанная относительно неизвестных магнитных напряженностей, состоит из семи независимых уравнений:

После решения системы уравнений (3.38) относительно неизвестных магнитных напряженностей можно определить электрические напряженности: