Основные логические элементы и операции Булевой алгебры

1. Логический элемент ИЛИ выражает операцию дизъюнкции (логическое сложение) по следующим правилам:

Эту операцию математически представляют как двоичное сложение YXI + Х2 или, более строго, как логическое сложение Y= = XI v Х2, где v — символ логического сложения.

Устройство, осуществляющее такую операцию, называется логическое ИЛИ. Его условное графическое изображение имеет форму прямоугольника (рис. 2.7, а). Рассмотрим работу устройства на примере схемы, реализованной на диодах и резисторе (рис. 2.7, б). При подаче на любой из входов элемента ИЛИ положительного напряжения +1 В оно автоматически окажется на выходе Y (Y= 1). То же будет при подаче +1 В на оба входа (У= 1). Если на обоих входах будет 0 или отрицательное напряжение, то и на выходе будет 0.

Название элемента ИЛИ связано с его смысловым значением. Если на первом или втором входе появится 1, то на выходе будет 1.

Рис. 2.7. Логические элементы ИЛИ и И: а — У ГО элемента ИЛИ; б — диодно-транзисторная схема элемента ИЛИ; в — У ГО элемента И; г — диодно-транзисторная схема элемента И Связь между двоичными значениями на входе и выходе логического элемента ИЛИ выражается таблицей соответствия, в которой каждой комбинации входных переменных соответствует значение выходной функции (табл. 2.1).

Логический элемент ИЛИ может иметь не два, а п входов. При появлении хотя бы на одном входе значения 1, на его выходе формируется 1. Если на всех входах 0, то на выходе будет также 0.

Математически многовходовое логическое суммирование выражается следующей формулой:

Логическое суммирование отличается от обычного суммирования тем, что при любом количестве единичных значений на входах на выходе будет одна и та же величина Y= 1.

2. Логический элемент И выражает операцию конъюнкции (логическое умножение). Эту операцию математически представляют как двоичное произведение Y — XI Х2 или, более строго, как логическое умножение Y= XI а Х2. Если на входах будут логические 0 или 1, то результаты логического умножения будут напоминать обычное умножение:

Таблица 2.1.

Таблица 2.2.

Устройство, осуществляющее такую операцию, называется логическое И. Его условное графическое изображение также имеет форму прямоугольника (рис. 2.7, в). Рассмотрим его работу на примере устройства, реализованного на диодах и резисторе (рис. 2.7, г). Если на один из входов XI или Х2подать положительное напряжение + 1 В, а на другой 0, то все равно на выходе будет О (У= 0), гак как один из диодов замкнется на 0. То же будет при 0 на обоих входах (Y= 0). Если на обоих входах будет 1, то на выходе будет 1 (К= 1).

Связь между двоичными значениями на входе и выходе логического элемента И выражается таблицей соответствия (табл. 2.2).

Логический элемент И может иметь нс два, а п входов. При наличии хотя бы на одном входе значения 0, на его выходе формируется 0. Если на всех входах 1, то на выходе будет 1.

Математически многовходовое логическое умножение записывается следующим образом:

Логическое умножение практически не отличается от обычного. Если в произведении есть хотя бы один 0, то на выходе будет 0 при любом количестве единичных значений на других входах. Только если на все входы поданы 1, на выходе Y- 1.

3. Логический элемент НЕ — осуществляет операцию инверсии (логическое отрицание). Если на вход подается 0, то на выходе будет 1 и наоборот, если на входе 1, то на выходе будет 0.

Математически операция отрицания в Булевой алгебре записывается следующим образом:

где чертой сверху обозначается операция отрицания.

Рассмотрим условное графическое изображение логического устройства НЕ и вариант его схемной реализации на транзисторе (рис. 2.8, б). При подаче на вход XI положительного напряжения + 1 В транзистор откроется и на выходе будет 0 (Y= 0). Если на вход.

Рис. 2.8. Условное графическое изображение логического элемента НЕ (а) и его транзисторная схема (б).

Таблица 2.3 подан 0, то транзистор будет заперт и на его выходе будет положительное напряжение, соответствующее 1.

Транзисторное устройство, схематически представленное на рис. 2.8, б, называется также инвертором (от лат. inversio — переворачивание, перестановка). Установив на выходе схемы разделительный конденсатор, получим отрицательные импульсы на выходе инвертора при положительных на входе.

Связь между двоичными значениями на входе и выходе логического элемента НЕ выражается таблицей соответствия (табл. 2.3).

Операция НЕ выполняется только над одной переменной.