Тесты на стационарность ряда

Расширенный тест Дики — Фуллера является одним из основных методов проверки нестационарности ряда. В основе этого теста лежит предпосылка, что любой ряд можно аппроксимировать с заданной точностью процессом типа AR (p) необходимого порядка:

Сначала введем понятие первой и второй разностей значений ряда у;.

Рис. 12.7. Визуализация нестационарных процессов (2):

а — AR (2) с двумя корнями +1; б — AR (2) с двумя корнями -1; в — AR (2) с корнями +1 и -1; г — AR (2) с корнями 0,4 и +1; д — AR (2) с корнями 0,4 и -1; е — у₍ = 0,1 + 0,2f + y_t__x + ?,;

во всех случаях s_f~ i.i.d: N (0; 1).

Оригинальный ряд у_{ называется рядом в уровнях.

Вычтем у_{, из обеих частей уравнения (12.1).

Затем вычтем и прибавим к правой части уравнения a_py_t__(l)__u:

На следующем шаге добавим и вычтем (а_/;_, + a_p)y_t__(p_₂₎:

Эту процедуру необходимо повторить для каждого лага, и в итоге получится следующее выражение:

р.

где у = а, — 1, Д = -? а-.

j-i+1

Существует три спецификации расширенного теста Дики — Фуллера.

1. Без константы:

SO 100 150 200 250 300 350 400 450 S00 550 600 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600.

в г

Рис. 12.8. Визуализация необратимых процессов:

а — y_t = в, + 8,_б — y_t = е₍ — в,_в — МЛ (2) с двумя корнями -1; г — МА (2) с двумя корнями +1; во всех случаях s, ~ i.i.d:. N (0; 1).

2. С константой:

3. С трендом и константой:

Для каждой спецификации нулевая и альтернативная гипотезы выглядят следующим образом:

Мы предполагаем, что с, ~ i.i.d.: N (0; а²). Тестовая статистика рассчитывается по формуле, аналогичной с формулой^{-статистики} на значимость у коэффициента у: -, где s.e. — квадратный корень из выборочной дис;

sM У) Персии оценки коэффициента (стандартная ошибка), однако распределение этой тестовой статистики отлично от привычного^{-распределения.} Более того, этот тест односторонний, а значит, область неотвергания нулевой гипотезы лежит левее критического значения, а область отвергания, соответственно, правее. Можно заметить, что по факту мы тестируем нулевую гипотезу о том, что среди корней есть один X, = 1, а в альтернативную гипотезу попадают все другие варианты значений X_jy которые в том числе могут привести и к нестационарное™ процесса (например, в диапазон у < 0 попадает случай, когда < -1).

Более того, в случае спецификации с трендом процесс является нестационарным, поэтому при неотвергании нулевой гипотезы ряд является процессом с UR и трендом^[1], а в случае отвергания — стационарным вокруг тренда. При использовании этого теста необходимо точно подобрать спецификацию, так как результаты отвергания/неотвергания нулевой гипотезы сильно зависят от формы модели. Иногда начинающие исследователи считают, что если они выберут наиболее общую спецификацию, то тест даст правильные результаты, однако на практике это не совсем так, потому что при изменении формы модели меняется распределение тестовой статистики, что может привести к некорректным выводам, поэтому необходимо дать точную спецификацию модели.

Если в ряде нет ярко выраженной инерции или закономерности, среднее значение ряда примерно равно нулю, то желательно использовать первую спецификацию. Если в ряде присутствуют значимая инерционность и его среднее значение явно не равно нулю, то более корректной является вторая спецификация. Третья спецификация применима, когда в данных присутствует значимый квадратичный тренд. Более того, нет однозначного критерия выбора числа лагов, но существует большое количество эвристических критериев. Например, зачастую используют информационные критерии Акаике (AIC) и Шварца (BIC) для определения наилучшего в каком-то смысле числа лагов. Критерии, соответственно, выглядят следующим образом:

где 1п?* — значение логарифма функции правдоподобия оцениваемой модели в точке максимума; k — количество оцениваемых параметров; Т — количество наблюдений.

Как можно заметить, формулы для данных критериев состоят из двух частей. Первое слагаемое обозначает штраф за введение дополнительных параметров. Критерий Акаике вводит меньший штраф за добавление параметров, чем критерий Шварца^[2]. Первое слагаемое, домноженное на -1, 21п?*, обозначает качество подгонки модели (чем выше значение, тем качественнее модель).

Исходя из всего вышесказанного можно сделать вывод о том, что чем меньше значение информационного критерия, тем лучше модель. Однозначно корректного метода выбора того или иного информационного критерия для оценивания качества моделей нет. Обычно при исследовании временных рядов лучше пользоваться критерием AIC. Однако применение этих критериев обосновано с теоретической точки зрения лишь для независимых наблюдений, что не выполнено естественным образом для временных рядов, таким образом, применение этих критериев носит эвристический характер. Более того, опираться на результаты этих критериев можно лишь при достаточно большом количестве наблюдений.

Отдельно хочется отметить тот факт, что на практике не всякий ряд может хорошо аппроксимироваться процессом типа AR (p), так как AR (p) это линейный процесс как по параметрам, так и по переменным, а значит, он не может описывать иррегулярные колебания в данных.

Распределение тестовой статистики при верной нулевой гипотезе отличается от привычного распределения Стьюдента (в силу того что в этом случае процесс является нестационарным) и называется распределением Дики — Фуллера. Критические значения данного распределения приведены, например, в приложении 2.

Многие исследователи отмечают достаточно низкую мощность этого теста. На малых выборках (Т < 50) этот тест склонен не отвергать нулевую гипотезу. В современных пакетах для этого теста также рассчитывается p-value.

Второй важный тест — тест Квятковски — Филлипса — Шмидта — Шина (KPSS). Предполагается, что процесс задается моделью вида.

Пусть г_{ и и_{ являются стационарными, независимыми и одинаково распределенными случайными величинами с нулевыми математическими ожиданиями. Положим, что г₀ фиксировано и выступает в роли среднего для ряда. Мы также предполагаем, что если дисперсия и₍ постоянна, то тогда г, приближенно можно считать константой, в таком случае г_{ нс будет нестационарным процессом. Поэтому, если е, является неслучайной величиной, то оригинальный ряд у₍ является стационарным. Тогда Н₀: у = 0 (процесс нестационарен), Н_{: у < 0 (процесс стационарен). Также распространена спецификация теста, при которой р = 0. Тестовые статистики имеют специфическое распределение¹.

Если в результате проведенного теста было получено, что процесс имеет единичные корни лагового полинома^[3][4][5], то необходимо взять столько разностей зависимой переменной, сколько есть единичных корней. Рассмотрим процесс AR{p) с k единичными корнями в лаговом полиноме (притом что остальные корни по модулю меньше единицы):

Применив оператор (1 — Ь)^к к у_{ и перейдя, таким образом, к разностям порядка k, получим

Мы рассматриваем A^ky_t как новую переменную, поэтому такой процесс является ARI (j) — k, k)^:i (последний параметр отвечает за то, сколько разностей мы взяли от наших данных). Этот процесс является стационарным, так как не содержит единичных корней. Таким образом, взяв необходимое количество разностей, мы привели процесс к стационарному виду.

Нестационарность ведет к нестандартным распределениям полученных оценок. Рассчитать математическое ожидание, дисперсию и автоковариацию в общем случае можно не для всех нестационарных рядов (в отличие от стационарных). Однако, но большей части эти проблемы возникают, когда размер выборки стремится к бесконечности.

• [1] То есть необходимо детрендировать ряд, чтобы сделать его стационарным.
• [2] Общее количество параметров в ARIMA (j), d, q) без константы и тренда моделях равнор + q + 1.

  Введение

  константы и тренда увеличивает число параметров на 2, т. е. обычно можно ограничиться максимум р + q + 3 параметрами.

• [3] Kwiatkowski D. et al. Testing the null hypothesis of stationarity against the alternative ofa unit root: IIow sure are we that economic time series have a unit root //Journal of econometrics. Elsevier, 1992. Vol. 54. № 1. P. 159−178.
• [4] На практике при подозрении на наличие двух единичных корней необходимо двигатьсяот разностей к уровням, используя знакомые вам тесты.
• [5] ARI (p — k, k) — AR (p) модель, приведенная к стационарному виду взятием k разностей.