Компьютерное моделирование теплонапряженных электрорадиоэлементов в блоке микроэлектронной аппаратуры

Особенности программной реализации метода конечных элементов

К существенным достоинствам МКЭ относится возможность составления программ численного расчета полей в областях, имеющих сложные конфигурации. Эти программы проще по своей логической структуре и, но заданию исходных данных, чем программы, реализующие метод конечных разностей для таких областей. При решении задачи методом конечных элементов в соответствии с рассмотренными выше этапами выполняются следующие процедуры:

• • разбиение области на элементы, нумерация узлов и формирование на этой основе индексной матрицы;
• • формирование матрицы и вектор-столбца системы разностных уравнений;
• • решение системы разностных уравнений;
• • расчет температур и тепловых потоков в различных точках элементов разбиения, проводимый на основе принятой аппроксимации температурного поля в элементе.

Основные трудности, возникающие при создании достаточно общей программы, реализующей МКЭ, связаны с автоматизацией первой процедуры. Это довольно сложная задача, и, как правило, ее программное решение дается пользователю в готовом виде. Для грамотной эксплуатации программного обеспечения пользователь должен иметь представление о применяемых в нем алгоритмах решений задач. Далее мы рассмотрим только принципы автоматизации первой процедуры. Проиллюстрируем их на примере двумерной области произвольной формы при треугольных элементах разбиения.

Как отмечалось выше, простейший, но наиболее трудоемкий способ состоит в ручном разбиении области на треугольные элементы, нумерации узлов и вводе в ЭВМ в качестве исходных данных массивов координат узлов и индексной матрицы. Но в реальных задачах число узлов и элементов может составлять несколько сотен или тысяч, и поэтому построение расчетной сетки вручную и ввод больших массивов чисел нецелесообразны. Для автоматизации процедуры построения сетки надо разработать алгоритм с исходной информацией в виде небольшого числа данных, описывающих геометрию области сложной формы и густоту сетки. На выходе получают массивы координат всех узлов сетки и индексную матрицу. Для конкретных конфигураций можно составить частные подпрограммы, реализующие построение сетки на основе данных о размерах области и шагах по осям координат. Для практических приложений более интересны универсальные программы автоматического разбиения областей различной сложной формы.

Разработаны различные способы описания геометрии и алгоритмы дискретизации областей для МКЭ. Один из подходов таков. Область сложной формы разбивается вручную на подобласти, которые называются макроэлементами. Они должны описывать геометрию расчетной области. Обычно макроэлементы выбирают в форме треугольников и неправильных четырехугольников, иногда используют и подобласти, ограниченные кривыми второго порядка. Число таких макроэлементов обычно невелико — несколько единиц или десятков. Поэтому разбиение можно описать путем задания координат узлов макроэлементов и некоторой условной нумерации макроэлементов и их узлов.

Затем реализуется автоматическое разбиение каждого из макроэлементов на элементарные треугольные элементы. Для этого в исходных данных лишь указываются параметры, характеризующие густоту сетки в каждом из макроэлементов.

Приведем примеры автоматизации разбиения. В первом используются макроэлементы в виде неправильных четырехугольников (рис. 11.8). Для каждого из них задается следующая информация: номера узлов в вершинах и признаки принадлежности сторон границе, числа дроблений на отрезки k_v к₂ по двум смежным сторонам. Кроме того, вводятся массивы координат вершин всех четырехугольников. Каждый из макрочетырехугольников автоматически разбивается на маленькие четырехугольники прямыми линиями, проходящими через точки разбиения противоположных сторон на равные отрезки. Л полученные таким образом четырехугольники, в свою очередь, разбиваются короткими диагоналями на элементарные треугольники. В результате число треугольников в каждом макроэлементе равно 2kk₂ При этом способе для общих сторон макроэлементов должна задаваться одинаковая кратность дробления.

Другой способ автоматизации разбиения иллюстрируется на рис. 11.9. Здесь в качестве макроэлементов взяты треугольники. Информация о них задается почти в таком же виде, как и для элементарных треугольников (т.е. это массивы координат вершин и индексная матрица). Но есть одно отличие. Для каждого макротреугольника указывается еще одно число — кратность дробления к. Если к = 0, то треугольник не дробится и принимается в качестве конечного элемента. При к = 1 проводится разбиение макроэлемента на четыре подобных треугольника путем соединения центров сторон. При к = 2 каждый из полученных четырех треугольников еще раз разбивается на четыре подобных и т. д., т. е. число полученных из макроэлемента треугольников равняется 4^к. Кратность дробления соседних макроэлементов может различаться не более чем на единицу. При этом для того чтобы избежать появления лишних узлов на стороне треугольника с меньшей кратностью дробления, автоматически проводится построение еще нескольких треугольников, для чего узел, лежащий на стороне треугольника, соединяется с противоположной вершиной, как это показано на рис. 11.9 штриховыми линиями. Важным достоинством описанного способа разбиения является возможность резко сгущать сетку в областях с большими градиентами температур.

Рис. 11.8. Разбиение области, представленной четырехугольными микроэлементами.

Рис. 11.9. Разбиение области, представленной треугольными микроэлементами.

В процессе автоматического разбиения области проводится и нумерация получившихся элементов разбиения. После этого возникает задача оптимальной перенумерации узлов. В ряде случаев такую перенумерацию целесообразно проводить последовательно вдоль направлений, содержащих меньшее число узлов. В некоторых программах нумерацию проводят последовательно в пределах каждого макроэлемента в порядке их обхода. При этом, однако, в треугольниках, лежащих у границ макроэлементов, могут возникать большие разности номеров узлов. Существуют и другие подходы. Например, хорошо зарекомендовал себя для решения многих практических задач следующий способ перенумерации узлов. Узел номер 1 выбирают где-либо на границе области. Далее номера 2, 3 и т. д. присваиваются узлам, которые соединены с узлом 1 стороной элементарного треугольника. После того как пронумерованы все узлы, соединяющиеся с узлом 1, в качестве опорного берется узел 2, и продолжается нумерация узлов, соединенных с ним и не пронумерованных ранее. Подобная процедура последовательной нумерации узлов, соединенных с имеющим наименьший из ранее присвоенных номеров, продолжается до полной нумерации всех узлов расчетной области (рис. 11.10).

Рис. 11.10. Нумерация узлов.

В табл. 11.1 указаны рассеиваемые мощности на теплонапряженных электрорадиоэлементах (ЭРИ); температура окружающей среды — +50°С. На рис. 11.11 изображена геометрическая (теплофизическая) модель (треугольники), построенная с использованием метода МКЭ для теплонапряженных ЭРИ в конструкции блока. Она получена с помощью программы SolidWorks, используемой для расчетов тепловых полей, с помощью программного обеспечения Cosmos Works 5.0.

Таблица 11.1

Исходные данные по теплонапряженным ЭРИ.

Рис. 11.11. Геометрическая модель, реализующая МКЭ в блоке с теплонапряженными ЭРИ

Результаты расчета тепловых полей представлены на рис. 11.12, 11.13.

Рис. 11.12. Результаты расчета тепловых полей теплонапряженных ЭРИ.

в корпусе блока:

1 — 7'_1]шх; 2,3 — промежуточные значения температуры 7'; 4 — Г_т|п

Рис. 11.13. Распределение температур на теплонанряженных ЭРИ (крупным планом):

1 — max; 4 — min; 2, 3 — промежуточные состояния.