Модель регрессии в случае двумерной нормальной генеральной совокупности

Рассмотрим генеральную совокупность с двумя признаками х и у, совместное распределение которых задано плотностью двумерного нормального закона.

где

определяемого пятью параметрами: двумя математическими ожиданиями и «двумя дисперсиями и и коэффициентом корреляции.

где

Имея эти параметры, можно получить линейные уравнения регрессии, показывающие изменение условных математических ожиданий одной величины в зависимости от изменения значений соответствующих случайных аргументов:

- линейная регрессия у по х;

- линейная регрессия х по у

- коэффициент регрессии у на х]

- коэффициент регрессии х на у.

Из этих выражений следует, что знаки при коэффициентах регрессии и корреляции всегда совпадают и !.

Квадрат коэффициента корреляции р2 называют коэффициентом детерминации. В рассматриваемой модели он показывает долю дисперсии одной случайной величины, обусловленную вариацией другой.

Коэффициент регрессии показывает, на сколько единиц своего измерения в среднем увеличится (при р > 0) или уменьшится (при Р < 0) величина у, т. е. Му/х, если х увеличить на единицу своего измерения.

Задача двумерного регрессионного анализа состоит прежде всего в оценке пяти параметров, определяющих генеральную совокупность.

В качестве точечных оценок неизвестных начальных моментов первого и второго порядка генеральной совокупности берутся соответствующие выборочные моменты.

Точечные же оценки других параметров получают как функции от начальных моментов. Таким образом, будем иметь:  — оценка для оценка для  — оценка для - оценка для ' - оценка для . Отсюда получаем: - оценка для оценка для  — оценка для .

Оценки генеральных коэффициентов регрессии и получаются соответственно по формулам.

(4.25).

откуда оценки уравнений регрессии имеют вид.

При этом и являются оценками условных математических ожиданий и генеральной совокупности.

Следует отмстить, что вышеприведенные точечные оценки являются состоятельными, а и  — несмещенными и эффективными. Кроме того, распределение выборочных средних () не зависит от распределения ().

На примере двумерного распределения мы показали, что в случае многомерного (^-мерного) нормального закона распределения легко прослеживается связь между переменными, характеризирующими тесноту и вид связи в моделях корреляционного и линейного регрессионного анализа.