Судьба программ обоснования математики

Большой интерес к спорам вокруг оснований математики и особую симпатию к позиции логицизма выказывали члены Венского кружка и другие сторонники логического позитивизма (см. гл. 5). В сентябре 1930 г. по инициативе редакции журнала «Erkenntnis», главного печатного органа логического позитивизма, в Кенигсберге был организован симпозиум, в рамках которого полемизировали представители трех главных школ в основаниях математики. Позицию логицизма представлял один из лидеров Венского кружка, Р. Карнап, интуиционизма — голландский математик А. Гейтинг, формализма — Д. фон Нейман. Как вспоминал позднее Гейтинг, «каждый был убежден, что именно его точка зрения единственно правильная, что никакая другая не имеет права называться математикой и что его точка зрения обязательно победит в недалеком будущем» 130, с. 2241. Однако именно 1930 г. оказался переломным в истории этих споров, завершив классический период в исследованиях по основаниям математики, начатый работами Фреге в 1870—1880-е гг. 172, с. 1].

Хотя в своем взгляде на математику Венский кружок ближе всего стоял к логицизму, однако уже в манифесте «Научное миропонимание — Венский кружок» (1929), подписанном Карнапом, Гансом Ганом и Нейратом, было сказано о соотношении логицизма, формализма и интуиционизма следующее: «Некоторые придерживаются мнения, что данные направления не настолько различны, как это представляется. Можно предположить, что существенные черты этих направлений в ходе дальнейшего развития сблизятся и, вероятно, используя важные мысли Витгенштейна, объединятся в конечном решении» [31, с. 67—681. Правда, это конечное решение виделось им усовершенствованным логицизмом. Однако они охотно признавали заслуги и других двух направлений, а также определенное родство с ними. В интуиционизме они готовы были принять, по словам Карнапа, «конструктивную тенденцию в образовании понятий». Их же родство с формализмом оказывалось куда серьезнее: «С формализмом нас связывает методологическое родство. Логицизм стремится строить логико-математическую систему таким образом, что хотя исходные формулы и операции принимаются с учетом значения основных понятий, внутри самой системы цепи дедукций и определений развертываются чисто формально, т. е. без всяких ссылок на значение основных понятий» [31, с. 237—238].

Философия Венского кружка (логический позитивизм — см. гл. 5) доминировала в философии науки с 1930;х и вплоть до 1960;х гг., и характерное для нее стремление снять противостояние трех программ в едином взвешенном подходе оказалось главной, хотя и не единственной, тенденцией в судьбе программ обоснования математики.

В докладе на конгрессе в Болонье в 1928 г. Гильберт сформулировал ряд еще не решенных проблем в сфере оснований математики, среди которых была и проблема полноты системы аксиом для теории чисел. Исследованием поставленной Гильбертом проблемы полноты в то время занимался молодой австрийский логик К. Гёдель. В 1930 г., на том самом симпозиуме по основаниям математики в Кенигсберге, Гёдель анонсировал, а в 1931 г. опубликовал свои знаменитые результаты о неполноте формальной арифметики. Его статья называлась «О формально неразрешимых предложениях „Principia Mathematica“ и родственных систем» [62, с. 144—195), и содержала две впоследствии знаменитые теоремы Гёделя о неполноте.

Гёдель строил свои рассуждения для определенной формальной теории, близкой к той, которую использовали Рассел и Уайтхед в своем фундаментальном трехтомнике. Первая его теорема утверждает, что существует предложение, не доказуемое и не опровержимое в рамках этой формальной теории. Вторая же говорит, что в качестве такого предложения можно взять формализацию в этой теории утверждения о ее собственной непротиворечивости [3, с. 63—64].

Гёдель (возможно, не желая прямого столкновения с мэтром) подчеркивал в своей работе отсутствие конфликта между его второй теоремой и формалистской программой Гильберта, ссылаясь на то, что могут существовать финитные доказательства, невыразимые в изучаемом им формализме [62, с. 194—195]. Да и сам Гильберт, в предисловии к первому тому «Оснований математики» (1934), писал: «Я хотел бы подчеркнуть, что возникшее на определенное время мнение, будто из некоторых недавних результатов Гёделя следует неосуществимость моей теории доказательств, является заблуждением. Этот результат на самом деле показывает только то, что для более глубоких доказательств непротиворечивости финитная точка зрения должна быть использована некоторым более сильным образом, чем это оказалось необходимым при рассмотрении элементарных формализмов» [12, с. 19].

Однако, несмотря на приведенные заверения, в дальнейшем возобладала точка зрения, согласно которой теоремы Гёделя о неполноте 1931 г. нанесли сокрушительный удар программе обоснования математики Гильберта. Поскольку финитные средства формализуемы не только в системе, рассмотренной Гёделем, но и в существенно более слабых формальных системах 13, с. 641, то гильбертово «более сильное» использование финитной точки зрения могло означать, увы, лишь расширение допущенных на финитном уровне средств. Этот ход сработал. Так, в 1936—1938 гг. ученик Бернайса и ассистент Гильберта Герхард Генцен доказал непротиворечивость формальной арифметики, по с использованием трапсфинитной индукции (распространения математической индукции с натуральных на трансфинитные порядковые числа) [13, с. 439—456]. Повторилась история, произошедшая ранее с логицизмом. Как мы помним, Расселу и Уайтхеду пришлось расширить представление о том, что относится к логике, без чего их проект не удавалось довести до конца; однако это расширение в значительной степени обесценило полученный результат. Гильберту и его ученикам также пришлось расширить финитные средства; результат был достигнут, но вряд ли он позволяет говорить о том, что исходная программа, наконец, реализована.

Однако сказанное не означает, что усилия Гильберта и его учеников не принесли никакого плода. Крах гильбертовой программы обоснования математики привел к тому, что разработанные ими методы и полученные результаты стали рассматриваться просто как часть математики. Гильберт, с этой точки зрения, создал новую интересную область математических исследований. Она благополучно продолжала развиваться и далее, постепенно освобождаясь от связанных с нею философских ожиданий.

Нечто похожее еще ранее произошло с логицизмом. Уже Рассел, как мы видели, разочаровался в логицизме в результате детальной реализации этой программы в годы перед Первой мировой войной. После окончания войны Л. Витгенштейн издал «Логико-философский трактат», вобравший в себя и причудливо переработавший логицистские представления [39]. В середине 1920;х гг. свою версию логицизма разрабатывал друг Витгенштейна — Ф. Рамсей [34; 40]. Однако и Витгенштейн, и Рамсей к концу 1920;х гг. начали отходить от логицизма.

В течение 1920;х гг. Гильберт и его ученики, отвергая логицизм как программу, активно осваивали наследие логицизма и постарались вобрать все ценное, что было в работе Рассела и Уайтхеда, в свою теорию доказательств. Наконец, в 1930;е гг. объединенные логицистские и формалистские идеи легли в основу трактовки математики в рамках логического позитивизма [91]. Согласно этому взгляду математика и логика образуют единое целое в качестве «формальных наук», которые противопоставляются содержательным эмпирическим наукам. Формальные науки состоят из аналитических истин, и ничего не говорят о мире (по крайней мере, непосредственно).

Когда в 1960 г. знаменитый американский математик и логик Алонзо Чёрч выступил на тему «Математика и логика» на Первом Международном конгрессе по логике, методологии и философии науки в Стэнфорде, он вынужден был охарактеризовать тему своего выступления как «старый вопрос, изучение которого пришло уже к завершению или, по крайней мере, приостановилось». Вывод же его звучит вполне предсказуемо: «Любое обоснование математики или логики действительно в какой-то степени содержит круг, так как в нем всегда имеются не обосновываемые предпосылки, которые должны быть приняты на веру или интуитивно. Мы можем пытаться уменьшить число этих предпосылок, но не можем их уничтожить. Как назвать минимум предпосылок, оставшихся после такого сокращения, математикой, или логикой, или тем и другим, или ни тем, ни другим, — это вопрос терминологии» [30, с. 209—215].

Однако история логицизма в философии математики этим не заканчивается. Несколько позднее логицизм пережил своего рода ренессанс — появился неологицизм. Причем это возрождение оказалось связано не столько с дальнейшим переосмыслением логицизма Рассела, сколько с возрастанием интереса к наследию Готлоба Фреге, которое наблюдается начиная с 1960;х гг. Основополагающими работами нового направления стали книги британских философов К. Райта «Понятие чисел как объектов у Фреге» (1983) [92] и Р. Хэйла «Абстрактные объекты» (1987) [64]. С тех пор неологицизм продолжает быть одним из важнейших и бурно обсуждаемых направлений в современной философии математики.

В чем был главный недостаток подхода Фреге? — Его система оказалась противоречивой. Считается, что главным виновником этого был принцип неограниченного свертывания, «основной закон V» в терминологии «Основных законов арифметики» Фреге. Согласно этому принципу для любого понятия можно разделить все объекты на те, к которым это понятие применимо, и те, к которым оно не применимо, и в результате для каждого понятия четко определен его логический объем. Неологицисты отвергают основной закон V и делают ставку на другой принцип абстракции — принцип Юма: любые два понятия имеют одно и то же кардинальное число, если они равночисленны. Способность последнего порождать противоречия пока не установлена.

С их точки зрения в подходе к понятию натурального числа в работах Фреге имеется еще одно неоцененное по заслугам сокровище — теорема Фреге. Так Райт назвал утверждение, согласно которому логика второго порядка (в отличие от логики первого порядка в ней допустимо применение кванторов общности и существования не только к переменным, но и к предикатам)^[1], усиленная принципом абстракции Юма, позволяет вывести (без использования основного закона V!) систему аксиом Дедекинда — Пеано для натуральных чисел. Сам Фреге не использовал в полной мере возможности, предоставляемые принципом Юма, и это создает неологицистам поле для деятельности. При этом Райт и Хэйл отказываются от логицистского тезиса о сводимости арифметики к логике в строгом смысле, но настаивают на аналитическом, и тем самым априорном, характере истин арифметики.

Обратимся теперь к судьбе интуиционизма. Тенденция к смягчению крайностей позиции Брауэра нашла выражение уже в том, что ближайший его последователь и пропагандист идей интуиционизма А. Гейтинг в 1930 г. опубликовал формализацию интуиционистской логики.

Свое выступление на международном конгрессе в Стэнфорде в 1960 г. Гейтинг назвал «Тридцать лет спустя», имея в виду 30 лет, прошедшие со времени проведения симпозиума по основаниям математики в Кенигсберге. Здесь он отметил в качестве оформившейся за эти годы общей тенденции: «Дух мирного сотрудничества одержал победу над духом непримиримой борьбы. Ни одно из направлений теперь не претендует на право предоставлять единственно верную математику. Философское значение исследований по основаниям математики состоит, по крайней мере частично, в разделении формальных, интуитивистских, логических и платонистских элементов в структуре классической математики и в точном определении областей действия и ограничений этих элементов. Появилась новая форма математики, в которой мы в каждый момент знаем, работаем ли мы на интуиционистской основе или нет, какая часть работы является чисто формалистической и какие платонистские допущения мы делаем» [30, с. 225].

Однако на фоне указанных примирительных тенденций интуиционистские идеи Брауэра дали также начало и конструктивным направлениям в математике, занимающим радикальную позицию по отношению к классической математике. В конце 1940;х гг. (сразу после Второй мировой войны) возникает конструктивизм А. А. Маркова-младшего, ставшего основателем русской (советской) школы конструктивизма [29], а в середине 1960;х гг. появляется конструктивизм американца Э. Бишопа [50].

Названные направления уточнили и сделали более объективным представление о конструктивности в математике, отвергнув при этом некоторые из брауэровских идей, например идею свободно становящихся последовательностей. Так, Марков-младший видел главную особенность конструктивной математики в опоре ее на точно сформулированное понятие алгоритма (сам он предпочитал написание «алгорифм», желая отделить свою строгую концепцию от интуитивного представления о пошаговом процессе вычисления). Это освобождает от расплывчатости и субъективизма брауэровского представления о конструктивности, считал он.

Конструктивисты отмежевывались и от мистицизма Брауэра. Как писал Бишоп в своем «конструктивистском манифесте»: «По словам Кронекера, натуральные числа создал Бог^[2]. Кронекер выразился бы еще лучше, если бы сказал, что натуральные числа Бог создал для человека (и других конечных существ). Математика — достояние человека, а не Бога. Нас не интересуют те свойства натуральных чисел, которые не обладают дескриптивным значением для конечного человека. Когда какой-то человек доказывает, что некоторое натуральное число существует, ему следует показать, как его найти. Если Бог обладает собственной математикой, которой нужно заниматься, пусть он и занимается ею сам» [50, с. 2]. Другими словами, классическая математика имеет явную теологическую подоплеку, подлинно же человеческая математика — это конструктивная математика, делающая основной акцент на процедурах пошагового вычисления и хорошо знающая свои границы.

Одна из сформулированных Гильбертом в докладе 1928 г. проблем это проблема разрешимости (Entscheidungsproblem) [ 10, с. 4551. Гильберт был убежден в возможности найти решение для любой математической проблемы. В контексте проекта формализации математики эта убежденность вела к формулировке следующей задачи. Нужно для произвольной формулы выяснить, выводима она или нет в рамках заданной аксиоматической системы. Возможно ли построить общий алгоритм, на «входе» получающий проблему, в виде конечной цепочки знаков, а на «выходе» выдающий ответ в форме «да» или «нет»?

В 1930;е гг. несколько крупных логиков и математиков (К. Гёдель, С. Клини, А. Чёрч, Э. Пост, А. Тьюринг) занимались этой проблемой, что привело их к понятию абстрактной вычислительной машины и к доказательству существования неразрешимых математических проблем |58|. В результате интерес к конструктивным процессам в математике и к результатам, связанным с ограниченностью возможностей формализации в этой области, оказался связан с нарождавшимися сферами computer science (см. гл. 21) и искусственного интеллекта.

Формализм, начиная с 1930;х гг. также меняет свой характер. Возьмем в качестве характерного примера позицию ученика Гильберта и Бернайса 137, с. 246—247] американского математика и логика X. Карри.

Для формализма Карри (в версии 1939 г.) характерны примирительные настроения, сближающие его с логическим позитивизмом. Формалистская концепция математики с его точки зрения — это самая толерантная концепция, поскольку будучи «свободной от метафизических склонностей» она «является совместимой практически с любым видом философии» [56, с. 58]. Он определяет математику как «науку о формальных системах» (в более поздних версиях последнее слово было заменено на «методы», а потом — на «структуры») [56, с. 56; 19, с. 36; 84]. Последняя замена — весьма знаменательна, подлинным наследником формализма стал математический структурализм, к рассмотрению которого мы сейчас и перейдем.

• [1] Следует ли считать логику второго порядка логикой или замаскированной теорией множеств — предмет споров среди исследователей. Для неологицистов, как и для Фреге, это логика.
• [2] Бишоп имел в виду известные слова немецкого математика Л. Кронекера: «Целыечисла создал Бог, все же остальное — дело рук человеческих» [60, v. II, с. 942].